27.2.1 点与圆的位置关系
教学目标
1、探索并掌握点与圆的三种位置关系，知道这三种位置关系中点与圆心的距离与半径的大
小关系；
2、知道经过不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形与圆的关系；
3、理解数形结合的方法。
教学重点、难点
重点：探索并掌握点与圆的三种位置关系，知道这三种位置关系中点与圆心的距离与半径的
大小关系；
难点：知道经过不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形与圆的关系。
教学准备：课件
教学方法：操作体验法
教学过程
一、引入
以课本的图片引入。
你玩边飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的，你知道击中靶子上不同的位置的成绩是计算的
吗？
这其中体现了平面内点与圆的位置关系。
二、操作1、画⊙O，在圆的外部、圆上、圆的内部分别画点 A、B、C，测量 OA、OB、OC 的长度，测
量圆的半径 R；
2、比较 OA、OB、OC 与半径 R 的大小关系；
3、思考点与圆的位置关系；
4、班级展示。
5、教师总结
（1）点与圆有三种位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外；
（2）点与圆的位置关系与点到圆心的距离与半径的大小关系。
6、提出问题：圆上的点有无数个，那么多少个点可以确定一个圆呢？
三、学习试一试
1、画出过点 A 的圆。
2、画出过点 A 和 B 的圆，这些圆的圆心在哪里？
3、班级展示。
4、老师总结。
过一个点 A 可以画无数个圆；
过两个点 A 和 B 可以画无数个圆，圆心在线段 AB 的垂直平分线上。
5、提出问题：经过三点一定能画出一个圆吗？如果能，那么如何找出这个圆的圆心呢？四、学习思考
1、分组操作：（4 人一组）画过三个点的圆。
2、班级展示；
3、老师总结：
（1）如果三个点在同一直线上，不能画圆；
（2）如果三个点不在同一直线上，可以画一个圆，圆心就是连接三个点的线段的中垂线的
交点。
五、学习三点共圆
1、不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2、这时三个点形成的三角形就是圆的内接三角形；圆就是三角形的外接圆，圆心叫做外心。
外心在三角形三条边的垂直平分线上。
3、提了问题：课本练习第 2 题。
六、补充例题
例 1、在平面内，⊙O的半径为 5cm，点P到圆心O的距离为 3cm，则点P与⊙O的位置关系
是 。
答案：点P在⊙O内
解析：∵OP＝3cm，r＝5cm，OP < r，
∴点 P 在⊙O 内。
例 2、指出下列描述的区域。
（1）到点 A 的距离小于 5cm，到点 B 的距离大于 3cm；
（2）到点 P 的距离等于 4cm，到点 Q 的距离等于 7cm。
解：（1）以点 A 为圆心，5cm 为半径的圆内；以点 B 为圆心，3cm 为半径的圆外的公共部分；（2）以点 P 为圆心，4cm 为半径的圆上；以点 Q 为圆心，5cm 为半径的圆上，两圆的并点。
七、小结
1、学生小结
2、老师小结：本节课学习了点与圆的三种位置关系，重点研究了不在同一直线上的三点确
定一个圆的事实。
八、作业设计
课本习题 27.2 第 1、2、3 题。
九、板书设计
十、教学反思
27.2.2 直线与圆的位置关系
教学目标
1、了解直线与圆的三种位置关系，知道这三种位置关系与圆心到直线的距离与半径的大小
关系之间的联系；
2、理解数形结合的方法。
教学重点、难点
27.2.1 点与圆的位置关系
一、引入 二、学习试一试 三、学习思考 四、例题重点：了解直线与圆的三种位置关系，知道这三种位置关系与圆心到直线的距离与半径的大
小关系之间的联系；
难点：理解数形结合的方法。
教学准备：课件
教学方法：讲授法
教学过程
一、复习
点与圆有哪些位置关系？每种关系中点与圆心的距离与半径的大小关系？
二、引入
大家也许看过日出，如图所示的照片中，如果我们把太阳看作一个圆，那么太阳升起的过程
中，和地平线会有怎样的位置关系？
三、学习试一试
1、分组活动。（4 人一组）在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，
你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗？如果直线与圆有公共点，那么公共点的个数
最少有几个？最多有几个？
2、班级展示
3、教师总结
四、直线与圆的位置关系1、三种位置关系：直线与圆没有公共点，就称直线与圆相离；直线与圆只有一个公共点，
就称直线与圆相切；直线与圆有两个公共点，就称直线与圆相交。
2、两种线：与圆相切的直线，叫做圆的切线，此时公共点叫做切点；和圆相交的直线，叫
做圆的割线。
3、圆心与直线的距离与半径的大小关系
五、学习例题
例 1、在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，以点 C 为圆心，分别以下面给出的 r
为半径作圆，试问所作的圆与斜边 AB 所在的直线分别有怎样的位置关系？请说明理由。
(1) r=4; (2) r＝4.8； （3）r=5。变式：当 r=8、9 时，⊙C 和线段 AB 有几个公共点？
答：当 r=8 时，有一个公共点；当 r＝9 时，没有公共点。
练习 1、课本练习第 1、2 题。
2、已知⊙O的半径为3cm，圆心 O到直线l的距离是4cm，则直线 l与⊙O的位置关系是________。
3、已知⊙O 的半径为 5cm，直线 l 与⊙O 相交，圆心 O 到直线 l 的距离为 d,则 d 的取值范围
是 。
六、小结
1、学生小结；
2、老师小结：本节课学习了直线与圆的三种位置关系。
七、作业设计1、课本练习第 3 题。
2、课本习题 27.2 第 5 题。
八、板书设计
九、课后反思
27.2.3 切线（一）
教学目标
1、理解切线的判定定理和性质定理；
2、能够利用切线的性质定理构造直角三角形。
教学重点、难点
重点：理解切线的判定定理和性质定理；
难点：能够利用切线的性质定理构造直角三角形。
教学准备：课件
教学方法：讲授法
教学过程
一、复习
27.2.2 直线与圆的位置关系
一、复习 二、学习试一试 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆有哪些位置关系？
2、直线与圆的位置关系与圆心到直线的距离与半径的大小关系是怎样的？
二、引入
下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着雨伞的边缘飞出，仔细观察一下，水珠
是顺着什么样的方向飞出的？
这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况。
三、学习做一做
1、小组活动。（4 人一组）
2、班级展示；
3、老师总结。
对直线 l 除点 A 以外的任一点 P，必有 OP>OA，即点 P 位于圆外，从而可知直线与圆只有一
个公共点，所以直线 l 是圆的切线。l
四、学习切线的判定定理
1、定理的内容：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、图形语言。
l
3、符号语言。
∵OA 是⊙O 的半径，OA⊥直线 l（已知），
∴直线 l 是⊙O 的切线（切线的判定定理）。
五、切线的性质定理
1、定理的内容：圆的切线垂直于经过切点的半径。
2、图形语言
l
3、符号语言
O
AP
O
A
O
A ∵OA 是⊙O 的半径，过点 A 的直线 l 是圆的切线（已知），
∴OA⊥直线 l（切线的性质定理）。
六、学习例题
例 2、如图，直线 AB 经过⊙O 上的点 A，且 AB＝OA，∠OBA＝45°。求证：直线 AB 是⊙O 的
切线。
补充例题：如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，弦 BD=BA，BE⊥DC 交 DC 的延长线于
点 E。
（1）求证：∠1=∠BAD；
（2）求证：BE 是⊙O 的切线。
证明：（1）∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD。
∵∠1=∠BDA，
∴∠1=∠BAD。
（2）如图，连接 BO，
∵∠ABC=90°，
又∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BCO+∠BCD =180°。
∵OB=OC，
∴∠BCO =∠CBO，
∴∠CBO +∠BCD =180°，
∴OB∥DE。
∵BE⊥DE，
∴BE⊥OB。
∵OB 是⊙O 的半径，
∴BE 是⊙O 的切线。
七、学生练习
1、课本练习第 1、2 题 。
2、补充练习
（1）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，CD 切⊙O 于点 C，交 AB 的延长线于点 D，∠
ACD=120°，BD=10cm，则⊙O 的半径为（ ）
A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm
（2）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点 C，交 AB 的延长线于点 D，且 CO=CD，则∠PCA=
（ ）
A．30° B．45° C．60° D．67.5°（3）如图，AB 是⊙O 的切线，A 为切点，点 C 在⊙O 上，连接 BC 并延长交 AD 于点 D，若∠
AOC=70°，则∠ADB=（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
（4）如图，AB 是⊙O 的直径，DB，DE 分别与 相切于 B、C 两点，若∠ACE=25°，则∠D
的度数为 。
八、小结
1、学生小结
2、老师小结：本节课学习了切线的判定定理和性质定理。
九、作业设计
1、课本练习第 3 题。
2、课本习题 27.2 第 7、8 题。
十、板书设计
O
27.2.3 切线（一）
一、复习 二、学习做一做 三、切线的判定 四、切线的性质十一、课后反思
27.2.3 切线（二）
教学目标
1、理解切线长定理；
2、理解三角形的内切圆和内心等概念，区别内切圆和外接圆。
教学重难点：
重点：理解三角形的内切圆和内心等概念；区别内切圆和外接圆。
难点：理解切线长定理。
教学准备：课件
教学方法：讲授法
教学过程
一、复习
1、切线的判定定理；
2、切线的性质定理。
二、学习切线长
1、切线长的定义：把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。2、探索：在纸上画出如图的图形，沿着直线 PO 将纸对折，由于直线 PO 经过圆心 O，所以 PO
是圆的一条对称轴。两半圆重合，PA 与 PB、∠APO 与∠BPO 有什么关系？
3、班级展示
4、教师总结
我们可以发现：PA＝PB，∠APO＝∠BPO。
三、学习切线长定理
1、定理的内容：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等。这一点和圆心的连
线平分这两条切线的夹角。
2、定理的证明
已知：如图，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为 A，B。
求证：PA＝PB，∠APO＝∠BPO。四、学习试一试
1、小组活动。（4 人一组）
2、班级展示。
3、老师总结。
在△ABC 中，如果有一个圆与 AB、AC、CB 都相切，那么该圆的圆心到这三边的距离都等于
半径。如何找到这个圆的圆心呢？
这个圆的圆心就是三个角的角平分线的交点。
五、学习三角形的内切圆
1、图形2、概念
内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆。
内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心；内心就是三角形三个角的平分线的交
点。
外切三角形：各边都与圆相切的三角形叫做圆的外切三角形。
六、补充例题
例 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°，点 O 在 AC 上，以 OA 为半径的⊙O 交 AB 于点 D，BD 的
垂直平分线交 BC 于点 E，交 BD 于点 F，连接 DE。
（1）判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若 AC=6，BC=8，OA=2，求线段 DE 的长。
解：（1）直线 DE 与⊙O 相切。理由如下：
如图，连接 OD，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA。
∵EF 是 BD 的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB。
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ODA+∠EDB=90°，
∴∠ODE=180°﹣90°=90°，∴直线 DE 与⊙O 相切。
（2）如图，连接 OE。
设 DE=x，则 EB=x，CE=8﹣x。
∵∠C=∠ODE=90°，
∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2=22+ x 2，
解得 x =4.75，
则 DE=4.75。
例 2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 为 AB 上一点，以 CD 为直径的⊙O 交 BC 于点 E，
连接 AE 交 CD 于点 P，交⊙O 于点 F，连接 DF，∠CAE=∠ADF。
（1）判断 AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若 PF：PC=1：2，AF=5，求 CP 的长。
解：（1）AB 是⊙O 的切线。
理由：如图，连接 DE、CF。
∵CD 是⊙O 的直径，
∴∠DEC=∠DFC=90°。
∵∠ACB=90°，
∴∠DEC+∠ACE=180°，
∴DE∥AC，
∴∠DEA=∠EAC=∠DCF。
∵∠DFC=90°，
∴∠FCD+∠CDF=90°。
∵∠ADF=∠EAC=∠DCF，∴∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AD，
∴AB 是⊙O 的切线。
（2）∵∠CPF=∠CPA，∠PCF=∠PAC，
∴△PCF∽△PAC，
∴ ，
∴PC2=PF•PA。
设 PF=a，则 PC=2a，
∴4 a 2= a（a +5），
解得 a= ，
∴PC=2a= 。
七、练习
1、课本练习第 1、2 题 ；
2、如图，AB 为⊙O 的直径，点 E 在⊙O 上，C 为 的中点，过点 C 作直线 CD⊥AE 于点 D，
连接 AC，BC。
（1）试判断直线 CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若 AD=2，AC= ，求 AB 的长。
PC PF
PA PC
=
5
3
10
3
BE
6八、小结
1、学生小结
2、老师小结：本节课学习了切线长定理和三角形的内切圆。
九、作业设计
1、课本习题 27.2 第 9、10、11。
2、课本复习题第 12、15 题 。
十、板书设计
十一、课后反思
27.2.3 切线（二）
一、复习 二、学习切线长 三、切线长定理 四、三角形与圆
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