勾股定理（1）
知识与技能：掌握勾股定理和他的简单的应用，理解定理的一般探究方法。
过程与方法：在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，让同
学们经历观察、归纳、猜想和验证的数 学发现过程，发展数与形结合的数学思
想。
情感态度与价值观：在数学活动中发现探索意识和合作交流的良好学习习惯。
教学重点：经历探索和验证勾股定理的过程，会利用两边求直角三角形的另一边的长。
教学难点：拼图法验证勾股定理，会利用两边求直角形另一边的长。
教具准备：方格纸、4 个全等的三角形，小黑板等。
教与学互动设计：
一、创设情境 导入新课
引导学生观察课本第 64 页的地面图形，说说你发现了什么？
提问：①图中有些什么形状？
②三个正方形之间有什么关系？
③通过 ②的结论你能有什么猜想？说 说看。
二、实验操作 探求新知
1.数格子
（1）要求学生在准备好的方格纸中作一个任意的等腰直角三角形，分别以三角形的边
为边向三角 形的外部作正方形。 观察三个正方形的面积之间有什么关系。
（2）要求学生在方格纸中作一个任意的直角三角形，分别以三角形的边为边向三角形
的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。
（3）要求学生在方格纸中作一个任意的非直角三角形，分别以三角形的边为边向三角
形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。
讨论、得出结论：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
2.证明猜想。
要求用四个全等到的直角三角形拼成一个以斜边为边长的正方形，推理得出
a2+b2=c210c
m
20cm
3.得出结论
定理：经过证明被确认的命题叫做定理。
勾股定理：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
三、应用迁移
例 1.求下图中的字母 A，B 所代表的正方形的面积。
例 2.一个文具盒的尺如
图，一根长 30cm 的细
木棒能否放进这个文具
盒，为什么？
练习：填空
（1）在 Rt∆ABC 中，∠C=90°，a=5,b=12,则 c =
(2) 在 Rt∆ABC 中，∠B=90°，a=3,b=4, 则 c =
(3) 在等腰 Rt∆ ABC 中，AC=BC，∠C=90°，AC：BC：AB=
（4）在 Rt∆ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC：AC：AB=
探究 2.如图，一个 3 m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 的距离为 2.5m，如 果梯
子的顶端 A 沿墙下滑 0.5m，那么梯子的底端 B 也外移 0.5m 吗？
练习：1.如图，阴影部分是一个正方形，求 此
正方形的面积。(单位：cm)
四、拓展应用
在 Rt∆ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c。
（1）a=6，b=8，求 c 及斜边上的高；
（2）a=40，c=41，求 b；
（3）a：b=3：4，c=15，求 b。
设计意图：在学生能熟念掌 握新知识后，为进一步培养学生对知识的运用能力，也为
进一步发展学生的几何思维，从而设计了这一习题对所学内容进行训练。
五、课堂小结
1.本节的教学内容是勾股定理及它的应用。
2.你认为在勾股定理的应用中要注意什么？
板书设计：
勾股定理 （1）
定理：经过证明被确认的命题叫做定理。
12
13勾股定理：在一个直角三角形中，两直 角边的平方和等于斜边的平方
勾股定理（2）
知识与技能
1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法．
2．运用勾股定理解决一些实际问题．
过程与方法
1．经历用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力．
2．在拼图的过程中， 鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识．
情感态度与价值观
1．利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献，借助此过程对学生
进行爱国主义的教育．
2．经历拼图的过程，并从中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣．
教学重点：经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样
性，进一步体会勾股定理的文化价值．
教学难点：经历用不同的拼图方法证明勾股定理．
教具准备：方格纸、4 个全等的三角形，多媒体课件演示．
教学过程：
一、知识回顾（活动 1）
上节课我们已经认识的勾股定理，请大家说说勾股定理的内容。
二、探索研究（活动 2）
我们已用数格子的方法发现了直角三角形三边关系，拼一拼，完成下列问题：
例 1（补充）已知：在△ABC 中，
∠C=90°，∠A、∠B、∠C 的对边为 a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：
⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的 吹塑纸，让
学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。其间让充分放手让
学生自主完成探究过程，进而得出结论。
⑵ 拼成如图所示，其等量关系为：
（2）4S△+S 小正=S 大正 4× ab＋（b－a）2=c2，化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷勾股定理的证明方法，达 3 00 余种。这个古 老的精彩的证法，出自我国古代无名数
学家之手。
活动 3
图（3）这个图案和 3 世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案一模一样，
人们称它为“赵爽弦图”，赵爽利用弦图证明
命题 1（即勾股定理 ）的基本思路如下，如图（7）。
2
1把边长为 a，b 的两个正方形连在一起，它的面积为 a2+b2，另一方面这个图形由四个全
等的直角三角形和一个正方形组成．把图（7）中左、右两个三角形移到图（9）所示的位置，
就会形成一个 c 为边长的正方形．
活动 4
议一议：
观察上图，用数 格子的方法判断图中两个三角形的 三边关系是否满足 a2+b2=c2．
设计意图：
前面已经讨论了直角三角形三边满足的关系，那么锐角三角形或钝角三角形三边是否也
满足这一关系呢？学生通过数格子的方法可以得出：如果一个三角形不是直角三角形，那么
它的三边 a，b，c 不满足 a2+b2=c2．通过这个结论，学生将对直角三角形的三边的关系有进
一步的认识．
师生行为：
学生分小组讨论交流，得出结论：
教师提出问题后，组织讨论，启发，引导．此活动教师应重点关注：
①能否积极参与数学活动；
②能否进一步体会到直角三角形非常重要的三边关系．
师：上图中的△ABC 和△A′B′C′是什么三角形？
师：△ABC 的三边上“长”出三个正方形，谁为帮我数一个每个正方形含有几个小格
子．
师：锐角三角形 A′B′C′中，如何呢？
师：通过对上面两个图形的讨论可进一步认识到只有在直角
三角形中，a，b，c 三边才有 a2+b2=c2（其中 a、b 是直角边，c
为斜边）这样的关系。
三、课堂练习
1、勾股定理的具体内容是：
2、如图，直角△ABC 的主要性质是：
∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系： ；
⑵若 D 为斜边中点，则斜边中线 ；
⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；
⑷三边之间的关系： 。
3、△ABC 的三边 a、b、c，若满足 b 2= a2＋c2， 则 =90°； 若满足 b2＞c2＋
a2，则∠B 是 角； 若满 足 b2＜c2＋a2，则∠B 是 角。
4、已知在 Rt△ABC 中，∠B=90°，a、b、c 是△ABC 的三边，则
⑴c= 。（已知 a、b，求 c）
⑵a= 。（已知 b、c，求 a）
⑶b= 。（已知 a、c，求 b）
五、课时小结
活动 5
你对本节内容有哪些 认识？会构造直角三角形，并理解构造原理，深刻理解勾股
定理的意义．
A
C B
D 设计意图：
这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位
学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会，并为程度不同的学生提供了充分展示
自己的机会，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，从而使小结活动不流于形式而
具有实 效性，为学生提供更好的空间以梳理自己在本节课中的收获．
小结活动既要注重引导学生体会勾股定理独特的证明方法又要从能力，情感态度方
面关注学生对课堂的整体感受．
师生行为：
由学生小组讨论小结．
在活动 5 中，教师应重点关注：
（1）不同层次的学生对本节知识的认同程序；
（2）学生要从我国古人对数学的钻研精神和聪明才智中得到启示，树立学好数学
的信心．
板书设计：
勾股定理（2）
定理：经过证明被确认的命题叫做定理。
勾股定理：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方
勾股定理（3）
一、教学目标
1．会用勾股定理解决简单的实际问题 。
2．树立数形结合的思想。
二、重点、难点
1．重点：勾股定理的应用。
2．难点：实际问题向数学问题的转化。
三、例题的意图分析
例 1（教材 P74 页探究 1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学
会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。例 2（教材 P75 页探究 2）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角
三角形三边的关系：保证一边不变，其它两边的变化。
四、课堂引入
勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使
用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运 用勾股定理解决一些问题，
你可以吗？试一试。
五、例习题分析
例 1（教材探究 1）
分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长
方形，四个角都是直角。⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条
最长？⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？ ⑷转化为
勾股定理的计算，采用多种方法。⑸注意给学生小结深化数学建模
思想，激发数学兴趣。
例 2（教材 P75 页探究 2）
分析：⑴在△AOB 中，已知 AB=3，AO= 2.5，利用勾股定
理计算 OB。
⑵ 在△COD 中，已知 CD=3，CO=2，利用勾股定理计算 OD。则 BD=OD－
OB，通过计算可知 BD≠AC。
⑶进一步让学生探究 AC 和 BD 的关系，给 AC 不同的值，计算 BD。
六、课堂练习
1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他 们沿着 45 度的坡路走了 500 米，看到了一棵红叶
树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。
2．如图，山坡上两株树木之间的坡 面距离是 4 米，则这两株树之间的垂直距离是
米 ， 水 平 距 离 是 米。
3
D
A B
C
30A B
C
C A
B2 题图 3 题图 4 题图
3．如图，一根 12 米高的 电线杆两侧各用 15 米的铁丝固定，两个固定点之间的距离
是 。
4．如图，原计划从 A 地经 C 地到 B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道
由 A 地到 B 地直接修建，已知高速公路一公里造价为 300
万元，隧道总长为 2 公里，隧道造价为 500 万元，AC=80
公里，BC=60 公里，则改建后可省工程费用是多少？
七、课后练习
1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取 B、C 两点，
在江对岸取一点 A，使 AC 垂直江 岸，测得 BC=50 米，
∠B=60°，则江面的宽度为 。
2．有一个边长为 1 米正方形的洞口，想用一个圆形盖
去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。
3．一根 32 厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在 P、Q
两点，PQ=16 厘米，且 RP⊥PQ，则 RQ= 厘米。
4．如图，钢索 斜拉大桥为等腰三角形，支柱高
24 米，∠B=∠C=30°，E、F 分别为 BD、CD 中点，试求
B、C 两点之间的距离，钢索 AB 和 AE 的长度。
（精确到 1 米）
R
P Q
A
CB DE F
微信/支付宝扫码支付