第3节 全等三角形.ppt

第 四 章 三角形 第 3 节 全等三角形 考 点 精 讲 考点特训营 全等三角形 性质 判定 常见模型 性质 返回 1. 全等三角形的对应边① _____ ，对应角② ______ 2. 全等三角形的周长相等，面积③ _____ 3. 全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线、中位线）相等 相等 相等 相等 返回 判定 1.④ 分别相等的两个三角形全等（简写成“ SSS” ） 2. 两边及其⑤ 分别相等的两个三角形全等（简写成“ SAS” ） 3. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“ ASA” ） 4. 两角分别相等且其中一组等角的⑥ 相等的两个三角形全等（简写成“ AAS” ） 5. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“ HL” ） 三边 夹角 对边 常见模型 未完继续 模型 图形示例 平行模型 主要是利用平行线性质得到一组相等的角 平移模型 常见模型 模型 图形示例 平移 + 旋转模型 对称模型 未完继续 常见模型 模型 图形 示例 旋转模型 注：若 AC = BC , CD = CE ,∠ ACB =∠ DCE , 则此模型也叫手拉手模型 角平分线模型 三垂线模型 返回 重难点突破 满 分 技 法 与全等三角形有关的证明及计算 找夹角 → SAS 找直角→ HL( 或 SAS) 找第三边→ SSS 已知两边对应相等 边为角的对边→找另一角→ AAS 边为角 找夹角的另一边→ SAS 的一边 找夹边的另一角→ ASA 找边的对角 → AAS 已知一边和一角对应相等 已知两角对应相等 找夹边→ ASA 找一角的对边→ AAS 例 已知等腰△ ABC 中， AB ＝ AC . (1) 如图①，点 P 是 BC 的中点， BD ⊥ AE , BP ＝ BD ，连接 PD ，交线段 AB 于 M ，若 AD ＝ 2 ，且∠ BDP ＝ 30° ，求线段 AM 的长； 【 思维教练 】 考虑到 P 是等腰三角形的中点， 可 连接 AP ，用“三线合一”的性质，结合三角形全 等的判定和性质，得 AB 垂直平分 PD ，再利用 角 的等量代换以及锐角三角函数定义求解． 【 自主作答 】 解：如解图①，连接 AP . ∵ AB ＝ AC , P 为 BC 中点，∴ AP ⊥ BC , ∴∠ APB ＝ 90° ， ∵ BD ⊥ AE ，∴∠ ADB ＝∠ APB ＝ 90° ， 在 Rt△ ADB 和 Rt△ APB 中， ， ∴△ ADB ≌△ APB (HL), ∴ AP ＝ AD . 又∵ BP ＝ BD ，∴ AB 垂直平分 PD ， ∴∠ BAD ＝∠ BDP ＝ 30° ， ∴ AM ＝ AD ·cos30° ＝ ＝ 3. (2) 如图②， AB ＝ BE , AE ＝ 2 AF , ∠ CAB ＝∠ FAE , 若 D 是 AE 中点，连接 BD 、 DF ，延长 DF 交 BC 于点 P ，求证： BP ＝ CP . 【 思维教练 】 利用等腰三角形“三线合一”的性质，可证明△ ACF 和△ ABD 全等，从而得到 CF ＝ BD ，∠ AFC ＝ 90° ，再利用平角和等腰三角形的性质，得到∠ CFP ＝∠ PDB , 再添加辅助线，构造 PC 、 BD 所在三角形全等， 并根据等量代换即可证明． 【 自主作答 】 解：如解图②，在 DP 上取点 Q ，使 DQ ＝ PF ，连接 BQ . ∵ AB ＝ BE ，点 D 是 AE 中点， ∴ BD ⊥ AE ， AD ＝ DE ＝ AE ，∴∠ ADB ＝ 90° ， ∵ AE ＝ 2 AF ，∴ AF ＝ AD ， ∵∠ FAD ＝∠ CAB , ∴∠ BAD ＝∠ CAF . 在△ ACF 和△ ABD 中， ， ∴△ ACF ≌△ ABD (SAS) ，∴∠ AFC ＝∠ ADB ＝ 90° ， CF ＝ BD . ∴ ∠ AFD ＋∠ CFP ＝ 90°. ∵ AF ＝ AD , ∴∠ AFD ＝∠ ADF , ∵∠ ADF ＋∠ QDB ＝ 90° ， ∴∠ CFP ＝∠ QDB . 在△ CFP 和△ BDQ 中， ， ∴△ CFP ≌△ BDQ (SAS) ， ∴ PC ＝ BQ ，∠ CPF ＝∠ BQD , ∴∠ BPQ ＝∠ BQP , ∴ BP ＝ BQ , ∴ BP ＝ CP . (3) 如图③，过点 A 作 AP ⊥ BC ，过点 B 作 BD ⊥ AC ，∠ ADB 的平分线 DE 交 AP 于 E ，连接 DP ，若 AD ＝ BD ，求证： AE ＝ DP . 【 思维教练 】 要证明 AE ＝ DP ，可连接 BE ，通过已知条件能判定△ ADE 和△ BDE 全等，则 AE ＝ BE ，考虑等腰三角形“三线合一”的性质及直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可证明△ BPE 是等腰直角三角形，即 BE 2 ＝ 2 PB 2 ，则 AE 2 ＝ 2 PB 2 . 【 自主作答 】 证明：如解图③，连接 BE ， ∵ DE 平分∠ ADB ，∴∠ ADE ＝∠ BDE ， 在△ ADE 和△ BDE 中， ， ∴△ ADE ≌△ BDE (SAS) ， ∴ BE ＝ AE ，∠ DAE ＝∠ DBE . ∵ BD ⊥ AC ，∴∠ BDA ＝ 90° ， ∵ AD ＝ BD ，∴∠ DAB ＝ DBA ＝ 45°. ∵ AB ＝ AC , AP ⊥ BC , ∴∠ CAP ＝∠ BAP ＝ 22.5° ， ∴∠ DBE ＝ 22.5° ，∴∠ EBA ＝ 22.5° ， ∴∠ PEB ＝ 2∠ EBA ＝ 45° ，∴△ PEB 是等腰直角三角形， ∴ BE 2 ＝ PE 2 ＋ PB 2 ＝ 2 PB 2 . ∵ DP ＝ BC ＝ BP ， AE ＝ BE ， ∴ AE 2 ＝ 2 DP 2 , ∴ AE ＝ DP . (4) 如图④， AD ⊥ BD ，连接 CD 交 AB 于 E ，若∠ ACB ＝∠ ADE ＝ 2∠ BDE ，试猜想 AD 与 BD 的数量关系，并证明你的结论． 【 思维教练 】 根据∠ ADE ＝ 2∠ BDE ，可知△ ABC 是等边三角形，要探索 AD 与 BD 的数量关系，可添加辅助线，利用等边三角形的特点构造全等三角形，再利用等腰三角形的性质和判定，结合特殊角 30° 建立边角关系求解． 【 自主作答 】 解： BD ＝ AD . 证明：如解图④，在 CE 上取点 F ，使 CF ＝ AD , ∵ AD ⊥ BD ，∴∠ ADB ＝ 90° ， ∵∠ ACB ＝∠ ADE ＝ 2∠ BDE , ∴∠ ACB ＝∠ ADE ＝ 60° ，∠ BDE ＝ 30° ， ∴△ ACB 是等边三角形， ∴ AC ＝ BC , ∠ ACD ＋∠ BCF ＝ 60° ， ∠ ACD ＋∠ CAD ＝∠ ADE ＝ 60° ， ∴∠ CAD ＝∠ BCF . 在△ ACD 和△ CBF 中， ， ∴△ ACD ≌△ CBF (SAS) ，∴ CD ＝ BF ，∠ ADC ＝∠ BFC ， ∴∠ BFE ＝∠ ADE ＝ 60° ， ∴∠ DBF ＝ 60° －∠ BDF ＝ 30° ， ∴ DF ＝ BF , ∴ CF ＝ 2 BF ，∴ BF ＝ CF ＝ AD . ∵ BD ＝ BF ·cos30° ＝ BF , ∴ BD ＝ BF , ∴ BD ＝ AD .