第3节 全等三角形.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第3节　全等三角形 ‎(必考，1～2道，近5年每年1道，7～16分)‎ 玩转重庆10年中考真题(2008～2017年)‎ 命题点　(必考，多在解答题中涉及)‎ 类型一　三角形全等的相关证明(2016，2015，A、B卷，2012，2011年考查)‎ 与平行线有关 ‎1. (2016重庆B卷19题7分)如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD.‎ 求证：∠B＝∠E.‎ ‎　‎ 第1题图 ‎2. (2016重庆A卷19题7分)如图，点A、B、C、D在同一条直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD.求证：AE＝FB.‎ 第2题图 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎3. (2015重庆B卷20题7分)如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC＝DE，AB∥EF，AB＝EF.‎ 求证：BC＝FD.‎ 第3题图 含公共边 ‎4. (2015重庆A卷20题7分)如图，在△ABD和△FEC中，点B，C，D，E在同一直线上，且AB＝FE，BC＝DE，∠B＝∠E.‎ 求证：∠ADB＝∠FCE.‎ 第4题图 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎5. (2011重庆19题6分)如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC.‎ 求证：BC∥EF.‎ 第5题图 含公共角(旋转型)‎ ‎6. (2012重庆18题6分)已知：如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E.‎ 求证：BC＝ED.‎ 第6题图 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 拓展训练　‎ ‎1. 如图，已知AB⊥AC，AB＝AC，DE过点A，且CD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D，E.‎ 求证：CD＝AE.‎ 第1题图 类型二　三角形全等的证明及计算(涉及辅助线)(2017，2014，2013，A、B卷，2008～2010年考查)‎ 等腰三角形中的辅助线 ‎7. (2014重庆B卷24题10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG.‎ 求证：(1)AF＝CG；‎ ‎(2)CF＝2DE.‎ 第7题图 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 倍长中线 ‎8. (2017重庆A卷24题10分)在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M.点C是BM延长线上一点，连接AC.‎ ‎(1)如图①，若AB＝3，BC＝5，求AC的长；‎ ‎(2)如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点．求证：∠BDF＝∠CEF.‎ 第8题图 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 构造直角三角形 ‎9. (2017重庆B卷24题10分)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连接BE.‎ ‎(1)如图①，若AB＝4，BE＝5，求AE的长．‎ ‎(2)如图②，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD，CF.当AF＝DF时，求证：DC＝BC.‎ 第9题图 拓展训练　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2. 在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC.在等腰Rt△BDE中，∠BDE＝90°，BD＝DE.连接AD，CD，点F是AD的中点．‎ ‎(1)如图①，当点E和点F重合时，若BD＝，求CD的长；‎ ‎(2)如图②，当点F恰好在BE上，AB＝AD时，求证：BD＝CD.‎ 第2题图 答案 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎1. 证明：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BAC＝∠ECD，(2分)‎ 在△ABC和△CED中，，‎ ‎∴△ABC≌△CED(SAS)，(5分)‎ ‎∴∠B＝∠E.(7分)‎ ‎2. 证明：∵CE∥DF，‎ ‎∴∠ACE＝∠FDB，(2分)‎ 在△ACE和△FDB中， ‎∴△ACE≌△FDB(SAS)，(5分)‎ ‎∴AE＝FB.(7分)‎ ‎3. 证明：∵AB∥EF，点C、D在线段AE上，‎ ‎∴∠A＝∠E，(3分)‎ ‎∵AC＝ED，AB＝EF，‎ ‎∴△ABC≌△EFD(SAS)，(5分)‎ ‎∴BC＝FD.(7分)‎ ‎4. 证明：∵BC＝DE，‎ ‎∴BC＋CD＝DE＋CD，即BD＝EC.(3分)‎ 又∵∠B＝∠E，AB＝FE，‎ ‎∴△ABD≌△FEC(SAS)，(5分)‎ ‎∴∠ADB＝∠FCE.(7分)‎ ‎5. 证明：∵AF＝DC，‎ ‎∴AF＋FC＝DC＋FC，即AC＝DF.‎ 又∵AB＝DE，∠A＝∠D，‎ ‎∴△ABC≌△DEF(SAS)，(4分)‎ ‎∴∠ACB＝∠DFE，(5分)‎ ‎∴BC∥EF.(6分)‎ ‎6. 证明：∵∠1＝∠2，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，(1分)‎ 即∠EAD＝∠BAC，‎ 在△EAD和△BAC中，，(2分)‎ ‎∴△ABC≌△AED(ASA)，(5分)‎ ‎∴BC＝ED.(6分)‎ 拓展训练1　证明：∵AB⊥AC，CD⊥DE，BE⊥DE，‎ ‎∴∠BAC＝∠D＝∠E＝90°，‎ ‎∴∠CAD＋∠BAE＝90°，∠DCA＋∠CAD＝90°，‎ ‎∴∠DCA＝∠EAB，‎ 在△ADC和△BEA中，，‎ ‎∴△ADC≌△BEA(AAS)．‎ ‎∴CD＝AE.‎ ‎7. 证明：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，‎ ‎∴∠CAB＝45°，‎ ‎∵CG平分∠ACB，‎ ‎∴∠BCG＝∠ACB＝45°，‎ ‎∴∠CAB＝∠BCG，(2分)‎ 在△ACF和△CBG中，，‎ ‎∴△ACF≌△CBG(ASA)，(4分)‎ ‎∴AF＝CG.(5分)‎ ‎(2)如解图，延长CG交AB于点H.‎ ‎∵AC＝BC, CG平分∠ACB，‎ ‎∴CH⊥AB，且点H是AB的中点，‎ 又∵AD⊥AB，‎ ‎∴CH∥AD，‎ ‎∴∠D＝∠CGE，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又∵点H是AB的中点，‎ ‎∴点G是BD的中点，‎ ‎∴DG＝GB，‎ ‎∵△ACF≌△CBG，‎ ‎∴CF＝BG，‎ ‎∴CF＝DG，(7分)‎ ‎∵E为AC边的中点，‎ ‎∴AE＝CE，‎ 在△AED和△CEG中，，‎ ‎∴△AED≌△CEG(AAS)，(8分)‎ ‎∴DE＝GE，‎ ‎∴DG＝2DE，‎ 又∵CF＝DG，‎ ‎∴CF＝2DE.(10分)‎ 第7题解图 ‎8. (1)解：∵AM⊥BM，点C是BM延长线上一点，‎ ‎∴∠AMB＝∠AMC＝90°，‎ ‎∴△AMB和△AMC是直角三角形，‎ ‎∵∠ABM＝45°，AB＝3，‎ ‎∴AM＝BM＝3，‎ ‎∵BC＝5，‎ ‎∴MC＝5－3＝2，‎ 在Rt△AMC中，AM＝3，CM＝2，‎ ‎∴AC＝＝.(4分)‎ ‎(2)证明：延长EF至点H，使FH＝FE，连接BH，如解图①，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第8题解图①‎ ‎∵点F是BC的中点，‎ ‎∴BF＝CF，‎ 在△BFH和△CFE中，，‎ ‎∴△BFH≌△CFE(SAS)，(7分)‎ ‎∴BH＝CE，∠H＝∠CEF，‎ 又∵∠BMD＝∠AMC＝90°，AM＝BM，MD＝MC，‎ ‎∴△BMD≌△AMC(SAS)，‎ ‎∴BD＝AC，‎ 又∵AC＝EC，EC＝BH，‎ ‎∴BD＝BH，‎ ‎∴∠BDF＝∠H＝∠CEF，‎ ‎∴∠BDF＝∠CEF.(10分)‎ ‎【一题多解】∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，点C是BM延长线上一点．‎ ‎∴BM＝AM，∠BMD＝∠AMC＝90°.‎ 在△BMD和△AMC中，‎ ‎∵BM＝AM，∠BMD＝∠AMC，MD＝MC，‎ ‎∴△BMD≌△AMC(SAS)．(6分)‎ ‎∴BD＝AC.‎ ‎∵EC＝AC，‎ ‎∴BD＝EC.‎ 延长DF到点G，使FG＝FD，连接CG，如解图②，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第8题解图②‎ ‎∵点F是线段BC的中点，‎ ‎∴CF＝BF.‎ ‎∵∠CFG＝∠BFD，FG＝FD，‎ ‎∴△CFG≌△BFD(SAS)．‎ ‎∴CG＝BD，∠G＝∠BDF.‎ ‎∵BD＝EC，‎ ‎∴CG＝EC.‎ ‎∴∠G＝∠CEF.‎ ‎∵∠G＝∠BDF，‎ ‎∴∠BDF＝∠CEF.(10分)‎ ‎9. (1)解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，‎ ‎∴∠BAC＝∠ABC＝45°，‎ ‎∴AC＝BC＝AB·sin45°＝4，(2分)‎ ‎∴在Rt△BCE中，CE＝＝3，‎ ‎∴AE＝AC－CE＝4－3＝1.(4分)‎ ‎(2)证明：如解图，过C点作CM⊥CF交BD于点M，‎ ‎∴∠FCM＝90°，‎ ‎∵∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠FCA＝∠MCB，‎ ‎∵AF⊥BD，‎ ‎∴∠AFB＝90°，‎ ‎∴∠AFE＝∠ACB，‎ ‎∵∠AEF＝∠BEC，‎ ‎∴∠CAF＝∠CBM，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在△ACF和△BCM中，，‎ ‎∴△ACF≌△BCM(ASA)，(7分)‎ ‎∴FC＝MC，‎ 又∵∠FCM＝90°，‎ ‎∴∠CFM＝∠CMF＝45°，‎ ‎∴∠AFC＝∠AFB＋∠CFM＝90°＋45°＝135°，‎ ‎∠DFC＝180°－∠CFM＝180°－45°＝135°，‎ ‎∴∠AFC＝∠DFC，‎ 在△ACF和△DCF中，，‎ ‎∴△ACF≌△DCF(SAS)，(9分)‎ ‎∴AC＝DC，‎ ‎∵AC＝BC，‎ ‎∴DC＝BC.(10分)‎ 第9题解图 拓展训练2‎ ‎ (1)解：如解图①，∵∠1＋∠ABD＝90°，‎ 在Rt△ABD中，∠2＋∠ABD＝90°，‎ 第2题解图①‎ ‎∴∠1＝∠2，‎ ‎∵BD＝ED，F为AD的中点，点E和点F重合，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴AE＝ED＝BD，‎ 在△ABE和△BCD中，，‎ ‎∴△ABE≌△BCD(SAS)，‎ ‎∴BE＝CD.‎ 在Rt△BED中，BE2＝BD2＋ED2，‎ ‎∵BD＝ED＝，‎ ‎∴BE＝，‎ ‎∴CD＝.‎ ‎(2)证明：过点A作AN⊥BD于点N，交BE于点M，如解图②，‎ 第2题解图②‎ ‎∵AB＝AD，‎ ‎∴N是BD的中点，∠3＝∠4，‎ ‎∵∠ANB＝∠BDE＝90°，‎ ‎∴AN∥ED，‎ ‎∴∠4＝∠5，∠6＝∠7＝45°，‎ ‎∵F是AD的中点，‎ ‎∴AF＝FD，‎ 在△AFM和△DFE中，，‎ ‎∴△AFM≌△DFE(AAS)，‎ ‎∴AM＝ED，‎ ‎∵BD＝ED，‎ ‎∴BD＝AM，‎ ‎∵AB＝AD，‎ ‎∴∠8＝∠ABD，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵∠8＋∠5＝90°，∠ABD＋∠9＝90°，‎ ‎∴∠5＝∠9，‎ ‎∵∠3＝∠4＝∠5，‎ ‎∴∠3＝∠9，‎ 在△ABM和△BCD中，，‎ ‎∴△ABM≌△BCD(SAS)，‎ ‎∴BM＝CD.‎ 在等腰Rt△BMN中，BM＝BN，‎ ‎∵BN＝BD，‎ ‎∴BD＝BM，‎ ‎∴BD＝CD.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费