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7.4 综合与实践 排队问题
【知识与技能】
能根据实际问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组），解决简单的实际问题.
【过程与方法】
由实际问题中找出不等关系，培养学生观察、分析、归纳、概括的能力，体会列表法、
由特殊到一般等主要的数学思想和方法.
【情感态度】
有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中，培养学生分析问题、解决问题的能力，
通过合作与交流让学生体会成功的喜悦.
【教学重点】
利用不等式（组）解决简单实际问题.
【教学难点】
利用不等式（组）解决排队问题.
一、情境导入，初步认识
在日常生活和生产实践中经常遇到排队等待的现象（如教材第 38 页图 7 13 和图 7
14），例如：医院挂号付费、银行办理业务等.某些场合下、由于排队的人很多，人们将花费
很多的时间在等待，这使人们的工作和生活受到很大的影响.服务机构通常通过增加服务窗
口来减少排队，但窗口增加过多又会造成人力，物力的浪费.如何使投入的资源较少，而顾
客对得到的服务又较满意呢？
【教学说明】以学生非常熟悉的实际生活例子引入，容易激发学生的探求欲望，让学生
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相互交流，发表自己的见解，进一步感受数学与实际生活的紧密联系.
二、思考探究，获取新知
问题 某服务机构开设了一个窗口办理业务，并按顾客“先到达，先服务”的方式服务，
该窗口每 2min 服务一位顾客.已知当窗口开始工作时，已经有 6 位顾客在等待，在窗口开
始工作 1min 后，又有一位“新顾客”到达，且预计以后每 5min 都有一位“新顾客”到达.
（1）设 e1,e2,……，e6 表示当窗口开始工作时已经在等待的 6 位顾客，c1,c2，…，c6
表示在窗口开始工作以后，按先后顺序到达的“新顾客”，请将下面表格补充完整（这里假
设 e1,e2,…,e6 的到达时间为 0）.
（2）下面表格表示每一位顾客得到服务之前所需等待的时间，试将该表格补充完整.
（3）根据上述两个表格，能否知道“新顾客”中，哪一位是第一位到达服务机构而不
需要排队的？求出他的到达时间.
（4）在第一位不需要排队的顾客到达之前，该窗口已经服务了多少位顾客？为这些顾
客服务共花费了多长时间？
（5）平均等待时间是一个重要的服务质量指标，为考察服务质量，问排队现象消失之
前，所有顾客的平均等待时间是多少？
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【教学说明】教师给出问题，引导学生进行分析，然后相互进行交流，感受列表法对解
决此类问题所具有的优点.
【归纳结论】运用列表法可以比较方便的解决简单排队问题.
三、典例精析，掌握新知
例 1 在上面问题的条件中，当服务机构的窗口开始工作时，如果已经有 10 位顾客在
等待（其他条件不变），且当“新顾客”cn 离去时，排队现象就此消失了，即 cn+1 为第一
位到达后不需要排队的“新顾客”，问：
（1）用关于 n 的代数式来表示，在第一位不需要排队的“新顾客”cn+1 到达之前，
该窗口已经服务了多少位顾客？为这些顾客服务共花费了多长时间？
（2）用关于 n 的代数式表示 cn-1 的到达时间.
（3）根据（1）和（2）得到的代数式以及它们的数量关系，求 n+1 的值.
【解】（1）10+n(位) 2(10+n)=20+2n(min)
（2）5n+1(min)
（3）由题意得 20+2n≤5n+1
解得 n≥
3
19
又 n 为整数
∴n≥7
∴n+1=8
例 2 某校安排寄宿时，如果每间宿舍住 7 人，那么有 1 间虽有人住，但没有满，如果
每间宿舍住 4 人，那么有 100 名学生住不下.问该校有多少寄宿生？有多少间宿舍？
【解】设有 x 间宿舍，依题意得
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又 x 为整数，∴x=34,35.
当 x=34 时，4x+100=236（人）;
当 x=35 时，4x+100=240（人）.
答：该校有 236 个寄宿生，34 间宿舍，或者有 240 个寄宿生，35 间宿舍.
【教学说明】学生自主探究，选取部分同学上台展示自己的答案，然后相互交流各自的
心得，增强运用数学知识解决实际问题的能力.
【归纳结论】对于例 1，当使用列表法不方便时，可用代数式表示题中的数量，再根据
题中的数量关系来解决问题;对于例 2，分析题中的不等关系，建立不等式组来解决问题.
四、运用新知，深化理解
1.某公园出售的一次性使用门票，每张 10 元，为了吸引更多游客，新近推出购买“个
人年票”的售票活动（从购买日起，可供持票者使用一年），年票分 A、B 两类：A 类年票
每张 100 元，持票者每次进入公园无需再购买门票；B 类年票每张 50 元，持票者进入公园
时需要购买每次 2 元的门票.某游客一年中进入该公园至少要超过多少次时，购买 A 类年票
最合算?
2.某中学为了绿化校园，计划购买一批榕树和香樟树，经市场调查榕树的单价比香樟树
少 20 元，购买 3 棵榕树和 2 棵香樟树共需 340 元.
(1)请问榕树和香樟树的单价各多少？
(2)根据学校实际情况，需购买两种树苗共 150 棵，要使总费用不超过 10840 元，且购
买香樟树的棵数不少于榕树的 1.5 倍共有几种方案?
【教学说明】学生自主完成，教师巡视，对学生解题过程中出现的问题及时予以指正，
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对有困难的学生进行点拨.
【答案】1.解：设该游客一年中进入该公园至少要超过 x 次时，购买 A 类年票最合算，
根据题意得 ,解得 x＞25,即该游客一年中进入该公园至少要超过 25 次时，
购买 A 类年票最合算.
2.解：（1）设榕树的单价为 x 元/棵，则香樟树的单价为（x+20)元/棵，由题意得：
3x+2(x+20)=340.解得:x=60,∴x+20=80.答：榕树和香樟树单价分别是 60 元/棵，80 元/
棵.
（2）设购买榕树 a 棵，则购买香樟树（150-a)棵，由题意得
解得：58≤a≤60.
又 a 为整数，∴a=58、59、60
∴共有三种购买方案.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？请与同伴交流.
【教学说明】学生相互交流，发表自己的见解，反思问题，共同提高.
完成练习册中本课时练习.
运用数学知识解决实际问题，使学生进一步感受数学与生活的紧密联系，激发学生学好
数学，用好数学的兴趣.
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