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特殊平行四边形培优习题
1、已知ＡＢCD 中，∠ABC 的平分线交 AD 于点 E，且 AE＝2，DE＝1，则ABCD 的周长等于 。
2、如上图 3，已知矩形 ABCD,P,R 分别是 BC 和 DC 上的点,E,F 分别是ＰA, PR 的中点．如果 DR=3,AD=4，
则 EF 的长为 。
3、在菱形 ABCD 中，如上图 2，∠BAD＝80°，AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F，E 为垂足，连
接 DF，则∠CDF＝ 。
4、如上图 4（图 6），在四边形 ABCD 中，顺次连接四边中点 E、F、Ｇ、H，构成一个新的四边形，
请你对四边形 ABCD 添加一个条件，使四边形ＥＦＧＨ成为一个菱形．这个条件是 ．
5、已知平面上四点 A(O,O），B(10,0），C(10,6），D(0,6），直线 y＝mx－3m＋2 将四边形 ABCD 分成
面积相等的两部分，则 m 的值为 。
6、四边形四边长分别是 a、b、c、d，其中 a、c 为对边，且满足等式 2 2 2 2 2 2a b c d ab cd ，
则顺次连结此四边形各边的中点所组成的四边形必是 。
7、下图 1，已知正方形ＡＢＣＤ，△ＢＣＥ是正三角形，则∠ＣＤＥ＝ 。
8、如上图 2，正方形 ABCD 的边长为 6cm，正方形ＥＦＧＨ边长为 3cm，则图中阴影部分面积
为 。
9、如上图 3，已知正方形纸片 ABCD,M，N 分别是 AD,BC 的中点．把 BC 边向上翻折，使 C 点恰好落
在 MN 的点Ｐ处，BQ 为折痕，则∠PBQ= 度．
10、如上图 4，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD= 4，点Ｐ在 AD 上，PE⊥AC 于点 E，PF⊥BD 于点 F，则
PE 十ＰF= 。
11、如上图 5，E, F, G, H 分别是正方形 ABCD 各边的中点．若中间阴影部分小正方形的面积为 5,
则大正方形的边长为 。
12、如下图 2，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM＝2，N 是 AC 上一动点，则 DN 十 MN 的最
小值为 。
13、如下图 3，边长为 3 的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 30°后，得到正方形 EFCG，EF 交
第１0 题
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AD 于点 H，则 DH= 。
14、如下图 1，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方
形，再将其中一个正方形剪成四个小正方形，如此继续剪下去……根据以上操作方法，请你填表：
15、如图是 4×4 正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一
个中心对称图形。
16、如图，将矩形 ABCD 纸片沿对角线 BD 折叠，使点 C 落在 C′处，BC′交 AD 于 E，若∠ＤBC＝22.5°，
则在不添加任何辅助线的情况下，图中 45°的角（虚线也视为角的边）有（ ）．
(Ａ）6 个 （B）5 个 (Ｃ）4 个 （D）3 个
17、如上图 3，已知∠AOB，OA＝OB，点 E 在 OB 边上，四边形 AEBF 是矩形．请你只用无刻度的直尺
在图中画出∠AOB 的平分线（请保留画图痕迹）．
18、如图,ABCD 各角的平分线分别相交于点 E、F、G、H，求证：四边形 EFGH 是矩形．
19、如图，菱形 ABCD 的对角线的长分别为 2 和 5，Ｐ为对角线 AC 上的一个动点（点 P 不与 A、C
重合），且 PE∥BC，交 AB 于点 E，PF∥CD 交 AD 于点 F，当点 P 在 AC 上运动时，问阴影部分的面积
是变大还是变小？并说明理由？
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20、如图，在菱形 ABCD 中，E,F 分别是 CB,CD 上的点，且 BE＝DF，求证：∠AEF＝∠AFE．
21、如图，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 边的中点，AC 与 BE 相交于点 F,连接 DF.
（1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；
（2）连接 AE，试判断 AE 与 DE 的位置关系，并证明你的结论；
(3）延长ＤＦ交ＢＣ于点 M，试判断 BM 与ＭC 的数量关系（直接写出结论）．
22、如图，ABCD 是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使 BC、AD 恰好落在 AＣ上，设ＦH 分别是 B、Ｄ落在
AC 上的两点，E、Ｇ分别是折痕ＣＥ、ＡＧ与ＡＢ、ＣＤ的交点。
（1）求证：四边形ＡＥＣＧ是平行四边形。（2）若ＡＢ＝4cm，ＢＣ＝3cm，求线段ＥＦ的长。
23、如图，取平行四边形纸片 ABＣＤ，AB＝6cm，ＢＣ＝8cm，∠B＝90°，将纸片折叠，使 C 点与
点Ａ重合，折痕为 EF，试问：（1)四边形 AECF 是菱形吗？（2）你能求折痕 EF 的长吗？
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24、如图，已知△ABC，分别以 AB、CA 为边向外作等边△PBA 和等边△QAC，并在 BC 上方作
等边△BCR．（1)求证：四边形 APRQ 是平行四边形；
(2)当△ABC 是 三角形时，四边形 APRQ 是菱形．
25、一勘测队员站在 P 点，对他到矩形土地 ABCD 的三个顶点的距离进行了测量，所得结果如图所
示（单位：m).为了确定他到第四个顶点的距离 x,是否还需要测量其他数据？
26、如图，点 M 是矩形 ABCD 边 AD 的中点，点 P 是 BC 边上一动点，PE⊥MC 于 E，PF⊥BM 于 F。当
矩形 ABCD 的长与宽满足什么条件时，四边形 PEMF 为矩形？并加以证明。
27、如图，在正六边形 ABCDEF 中，对角线 AE 与 BF 相交于点 M，BD 与 CE 相交于点 N.
（1)观察图形，写出图中两个不同形状的特殊四边形；(2)选择（1)中的一个结论加以证明．
A
B C
D
P
M
EF
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28、已知四边形 ABCD 为矩形 AD=20 cm,AB=10 cm. M 点从 D 到 A,P 点从 B 到 C 运动的速度为 2 cm/s;
N 点从 A 到 B,Q 点从 C 到 D 运动的速度为 1 cm/ s.若四个点同时出发．
(1)判断四边形 MNPQ 的形状．
(2)四边形 MNPQ 能为菱形吗？若能，请求出此时运动的时间；若不能，请说明理由．
29、如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 AC 上．
（1）求证：ＢＥ＝ＤＥ；（2）你能用文字概括上面这个命题吗？
(3)你能用这个命题证明下面这道题吗？请你写出证明过程．
已知：如图，点Ｐ在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，PE⊥AB, PF⊥BC, E，F 为垂足．求证：EF＝ＰＤ.
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30、如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB＝BC＝ＣＤ，∠BAD 和∠CDA 均为锐角，点 P 是对角线ＢD 上
的一点，ＰＱ∥BA 交 AD 于点Ｑ，ＰＳ∥BC 交 DC 于点 S，四边形ＰＱＲＳ是平行四边形。
（1)当点 P 与点Ｂ重合时，图 1 变为图 2，若∠ABD＝90°。求证：△ＡＢＲ≌△ＣＲＤ。
(2）对于图 1，若四边形ＰＲＤＳ也是平行四边形，此时，你能推出四边形ＡBCD 还应满足什么条
件？
31．如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以 4 cm/s
的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以 2 cm/s 的速度向点 B 匀速运动，当其中
一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 D，E 运动的时间是 t s(0 < t ≤ 15)．过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，连接 DE，EF。(1)求证：AE＝DF； (2)四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t 值；如果不能，请说明理由； (3)当 t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由． 图 1 图 2
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