18.2《特殊的平行四边形》同步练习卷2020---2021学年人教版八年级数学下册

2021 年人教版八年级下册 18.2《特殊的平行四边形》同步练习卷 一．选择题 1．如图，菱形 ABCD 中，∠D＝150°，∠BAC 的度数为（ ） A．30° B．25° C．20° D．15° 2．菱形的面积为 12cm2，一条对角线是 6cm，那么菱形的另一条对角线长为（ ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 3．四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，从以下四个条件：①OA＝OC，OB＝OD； ②AB∥CD，AD＝BC；③AB＝BC；④AB⊥BC 中选两个，能推出四边形 ABCD 是矩形 的是（ ） A．①② B．②③ C．①④ D．①③ 4．如图，四边形 ABCD 是菱形，E、F 分别是 BC、CD 两边上的点，不能保证△AEC 和△ AFC 一定全等的条件是（ ） A．∠AEC＝∠AFC B．EC＝FC C．AE＝AF D．∠BAE＝∠DAF 5．如图，菱形的两条对角线长分别是 6 和 8，则此菱形的周长是（ ） A．5 B．20 C．24 D．32 6．如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则 DC 长 为（ ） A．4 B．4 C．3 D．5 7．如图，菱形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AC 的中点，若 EF＝3，则菱形 ABCD 的周长 为（ ） A．24 B．18 C．12 D．9 8．如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点 E， F，连接 AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝ EC； ④△APD 一定是等腰三角形．其中正确的结论有（ ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 二．填空题 9．下列说法： ①对角线互相垂直且相等的四边形是菱形； ②矩形的对角线互相垂直； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ④对角线垂直的矩形是正方形． 其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都填上） 10．笔直的公路 AB，AC，BC 如图所示，AC，BC 互相垂直，AB 的中点 D 与点 C 被建筑物 隔开，若测得 AC 的长为 6km，BC 的长为 8km，则 C，D 之间的距离为 km． 11．在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝2，则斜边上的中线＝ ． 12．如图，四边形 ABCD 是菱形，AC 与 BD 相交于点 O，添加一个条件： ， 可使它成为正方形． 13．如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是 BO，BC 的中点， 若 AB＝5，BC＝12，则 EF＝ ； 14．如图，延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E，使 CE＝BD，连接 AE．若∠ADB＝30°，则∠ E＝ ． 15．如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，若 EF＝2，则 AC 的长是 ． 16．如图，已知四边形 ABCD 是正方形，顶点 A、B 在坐标轴上，OA＝2，OB＝1，则点 D 的坐标是 ． 三．解答题 17．如图，▱ ABCD 的对角线 AC 平分∠BAD． 求证：▱ ABCD 是菱形． 18．如图，矩形 ABCD 的一条对角线 AC 长为 8cm，两条对角线的一个交角∠AOD＝120°， 求这个矩形的周长． 19．如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 为 AB 的中点．若菱形 ABCD 的 周长为 32，求 OE 的长． 20．如图，AC 为正方形 ABCD 的对角线，E 为 AC 上一点，且 AE＝AB，过 E 作 EF⊥AC， 交 BC 于点 F． 求证：BF＝EF． 21．在菱形 ABCD 中，点 P 是 BC 边上一点，连接 AP，点 E、F 是 AP 上的两点，连接 DE、 BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．求证：△ABF≌△DAE． 22．如图，矩形 ABCD，延长 CD 至点 E，使 DE＝CD，连接 AC，AE，过点 C 作 CF∥AE 交 AD 的延长线于点 F，连接 EF． （1）求证：四边形 ACFE 是菱形； （2）连接 BE，当 AC＝4，∠ACB＝30°时，求 BE 的长． 23．如图，已知平行四边形 ABCD 中，M，N 是 BD 上两点，且 BM＝DN，AC＝2OM． （1）求证：四边形 AMCN 是矩形； （2）若∠BAD＝135°，CD＝2，AB⊥AC，求对角线 MN 的长． 24．在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 AF∥BC 交 BE 的延长线于点 F． （1）证明：四边形 ADCF 是菱形； （2）若 AC＝3，AB＝4，求菱形 ADCF 的面积． 参考答案 一．选择题 1．解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠BAC＝∠DAC＝ DAB，CD∥AB， ∴∠D+∠DAB＝180°， ∵∠D＝150°， ∴∠DAB＝30°， ∴∠BAC＝ 30°＝15°， 故选：D． 2．解：设另一条对角线长为 xcm， 则 ×6•x＝12， 解得 x＝4． 故选：B． 3．解：A、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， 再由 AB∥CD，AD＝BC 无法判断四边形 ABCD 是矩形，故选项 A 不符合题意； B、由②AB∥CD，AD＝BC；③AB＝BC 无法判断四边形 ABCD 是矩形，故选项 A 不符 合题意； C∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴平行四边形 ABCD 是矩形，故选项 C 符合题意； D、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， 又∵AB＝BC， ∴平行四边形 ABCD 是菱形，故选项 D 不符合题意； 故选：C． 4．解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠ACE＝∠ACF， A、在△AEC 和△AFC 中， ， ∴△AEC≌△AFC（AAS），故选项 A 不符合题意； B、在△AEC 和△AFC 中， ， ∴△AEC≌△AFC（SAS），故选项 B 不符合题意； C、由 AE＝AF，∠ACE＝∠ACF，AC＝AC，不能判定△AEC 和△AFC 一定全等，故选 项 C 符合题意； D、∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠BAC＝∠DAC， ∵∠BAE＝∠DAF， ∴∠CAE＝∠CAF， 在△AEC 和△AFC 中， ， ∴△AEC≌△AFC（SAS）， 故选项 D 不符合题意； 故选：C． 5．解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，AB＝BC＝DC＝AD，AO＝CO，DO＝BO， ∵AC＝8，BD＝6， ∴AO＝4，BO＝3， 在 Rt△AOB 中，由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝5， 即 AB＝BC＝DC＝AD＝5， ∴菱形 ABCD 的周长是 AB+BC+DC+AD＝5+5+5+5＝20， 故选：B． 6．解：由矩形对角线相等且互相平分可得 AO＝BO＝ ＝4， 即△OAB 为等腰三角形， 又∠AOB＝60°， ∴△OAB 为等边三角形． 故 AB＝BO＝4， ∴DC＝AB＝4． 故选：B． 7．解：∵E、F 分别是 AB、AC 的中点， ∴BC＝2EF＝6， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝6， ∴菱形 ABCD 的周长＝4×6＝24， 故选：A． 8．解：延长 PF 交 AB 于点 G， ∵PF⊥CD，AB∥CD， ∴PG⊥AB，即∠PGB＝90°． ∵PE⊥BC，PF⊥CD， ∴四边形 GBEP 为矩形， 又∵∠PBE＝∠BPE＝45°， ∴BE＝PE， ∴四边形 GBEP 为正方形，四边形 PFCE 为矩形． ∴GB＝BE＝EP＝GP， ∴GP＝PE，AG＝CE＝PF， 又∠AGP＝∠C＝90°， ∴△AGP≌△FPE（SAS）． ∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP， 故①、②正确； 在 Rt△PDF 中，由勾股定理得 PD＝ ， 故③正确； ∵P 在 BD 上， ∴当 AP＝DP、AP＝AD、PD＝DA 时，△APD 才是等腰三角形， ∴△APD 是等腰三角形共有 3 种情况，故④错误． ∴正确答案有①②③， 故选：B． 二．填空题 9．解：①对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，说法错误； ②矩形的对角线互相垂直，说法错误； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，说法正确； ④对角线垂直的矩形是正方形，说法正确． 故答案为：③④． 10．解：在 Rt△ABC 中，AB2＝AC2+CB2， ∵AC 的长为 6km，BC 的长为 8km， ∴AB＝10km， ∵D 点是 AB 中点， ∴CD＝ AB＝5km． 故答案为：5． 11．解：∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝2， ∴BC＝ ＝ ＝ ， ∵AD 是斜边 BC 的中线， ∴AD＝ BC＝ ， 故答案为： ． 12．解：由于四边形 ABCD 是菱形， 如果∠BAD＝90°， 那么四边形 ABCD 是正方形． 故答案为：∠BAD＝90°． 13．解：在矩形 ABCD 中，∠ABC＝90°， ∵AB＝5，BC＝12， ∴AC＝ ＝13， ∴OC＝ AC＝ ， ∵点 E，F 分别是 BO，BC 的中点， ∴EF＝ OC＝ ． 故答案为： ． 14．解：连接 AC， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝30°， ∴∠E＝∠DAE， 又∵BD＝CE， ∴CE＝CA， ∴∠E＝∠CAE， ∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE， ∴∠E+∠E＝30°，即∠E＝15°， 故答案为：15°． 15．解：连接 BD，如图所示： ∵E、F 分别是 AB，AD 的中点，且 EF＝2， ∴EF 是△ABD 的中位线， ∴BD＝2EF＝2×2＝4， ∵AC、BD 是正方形 ABCD 的对角线， ∴AC＝BD＝4． 故答案为：4 16．解：作 DE 垂直于 y 轴于点 E， ∵∠DAB＝90°，DE⊥y 轴， ∴∠DAE+∠EDA＝90°，∠DAE+∠BAO＝90°， 又∵∠AOB＝90°，AD＝AB， ∴△DAE≌△ABO（AAS）， ∴AE＝BO＝1，DE＝AO＝2， ∴OE＝AO+AE＝3， 即点 D 的坐标为（2，3）． 故答案为：（2，3）． 三．解答题 17．证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵AC 平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴∠ACB＝∠BAC， ∴AB＝BC， ∴平行四边形 ABCD 是菱形． 18．解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC＝BD＝8（cm），AO＝BO＝CO＝DO＝4（cm）， ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOB＝60°， ∴△AOB 是等边三角形， ∴AB＝AO＝BO＝4（cm）， ∴BC＝ ＝ ＝4 （cm）， ∴矩形 ABCD 的周长＝2（AB+BC）＝（8+8 ）（cm）． 19．解：方法一：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AO＝CO， ∴∠AOB＝90°， ∵菱形 ABCD 的周长为 32， ∴AB＝8， ∵E 为 AB 边中点， ∴OE＝ AB＝4． 方法二、四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AO＝CO， ∴∠AOB＝90°， ∵菱形 ABCD 的周长为 32， ∴AB＝8， ∵AO＝CO，E 为 AB 边中点， ∴OE＝ BC＝4． 20．证明：连接 AF， ∵四边形 ABCD 为正方形，EF⊥AC， ∴∠B＝∠AEF＝90°， 在 Rt△ABF 和 Rt△AEF 中， ∴Rt△ABF≌Rt△AEF（HL）， ∴BF＝EF． 21．证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD＝AB，AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∵∠AED＝∠ABC， ∴∠AED+∠DAB＝180°， ∵∠AED+∠DEF＝180°， ∴∠DEF＝∠DAB， ∵∠DEF＝∠ADE+∠DAE，∠DAB＝∠DAE+∠BAF， ∴∠ADE＝∠BAF， ∵AD∥BC， ∴∠DAP＝∠BPF， ∵∠ABF＝∠BPF， ∴∠DAP＝∠ABF， 在△ABF 和△DAE 中 ， ∴△ABF≌△DAE（ASA）． 22．证明：（1）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∴AF⊥CE， 又∵CD＝DE， ∴AE＝AC，EF＝CF， ∴∠EAD＝∠CAD， ∵AE∥CF， ∴∠EAD＝∠AFC， ∴∠CAD＝∠CFA， ∴AC＝CF， ∴AE＝EF＝AC＝CF， ∴四边形 ACFE 是菱形； （2）∵AC＝4，∠ACB＝30°，∠ABC＝90°， ∴AB＝ AC＝2，BC＝ AB＝2 ， ∴CD＝AB＝2＝DE， ∴BE＝ ＝ ＝2 ． 23．（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵对角线 BD 上的两点 M、N 满足 BM＝DN， ∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即 OM＝ON， ∴四边形 AMCN 是平行四边形， ∵AC＝2OM， ∴MN＝AC， ∴平行四边形 AMCN 是矩形； （2）解：由（1）得：MN＝AC， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD＝2，AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∴∠ABC＝45°， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴AC＝AB＝2， ∴MN＝2． 24．（1）证明：∵E 是 AD 的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， 在△AEF 和△DEB 中， ， ∴△AEF≌△DEB（AAS）； ∴AF＝DB， 又∵AF∥BC， ∴四边形 ADCF 是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D 是 BC 的中点， ∴AD＝ BC＝CD， ∴平行四边形 ADCF 是菱形； （2）解：∵D 是 BC 的中点， ∴△ACD 的面积＝△ABD 的面积＝ △ABC 的面积， ∵四边形 ADCF 是菱形， ∴菱形 ADCF 的面积＝2△ACD 的面积＝△ABC 的面积＝ AC×AB＝ ×3×4＝6．