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(教材 １１１~１１４ 页)
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?课前预习卡内容详见配赠小册子 Ｐ２６５
１ 通过比较、猜测、验证等活动ꎬ探索解决问题的策略ꎮ
(重点)
２ 学会用图形、符号等直观方式简明、清晰地表示数学思
考的过程ꎮ (难点)
３ 培养应用所学知识解决实际问题的能力ꎮ (难点)
解决问题的一些策略ꎮ
１ 多种策略解决问题
(教材第 １１１ 页例 １)
有 ３ 瓶钙片ꎬ其中 １ 瓶少了 ３ 片ꎮ 你能设法把它找出来吗?
要点提示
在工农业生产中ꎬ
把不符合生产规格的
产品都称为次品ꎮ 本
题中的次品比合格产
品轻ꎬ有时候次品也会
比合格产品重ꎮ
自我管理:上课专心听讲ꎬ勤于思考ꎬ积极参加讨论ꎬ勇于发表见解ꎮ
１４８
１.过程讲解:
(１)理解题意ꎬ明确解决思路
共有 ３ 瓶钙片ꎬ其中 １ 瓶少了 ３ 片ꎬ称之为不合格产品ꎬ即次品ꎮ 由于次
品少了 ３ 片ꎬ一定比其他两瓶都要轻ꎮ 如果用手掂ꎬ钙片的质量太小了ꎬ３ 片
的差异感觉不出来ꎮ 因此可以借助天平称一称ꎮ
(２)用天平实际称量ꎬ推理判断
天平两端各放一瓶钙片ꎬ如果平衡ꎬ剩下的那一瓶就是次品ꎻ如果不平
衡ꎬ轻的那瓶就是次品ꎮ 这样只需要称一次ꎬ就能找出次品ꎮ
(３)用模拟实验的方法表示找次品的过程
可以用数字卡片代表 ３ 瓶钙片ꎬ用铅笔代表天平进行模拟实验ꎬ然后进
行推理ꎮ 过程如下图所示:
２.规范解答:
天平两端各放一瓶钙片ꎬ如果平衡ꎬ剩下的那一瓶就是次品ꎻ如果不平
衡ꎬ轻的那瓶就是次品ꎮ 这样只需要称一次ꎬ就能找出次品ꎮ
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从上面的称量过程可以知道ꎬ在 ３ 瓶钙片中找出 １ 瓶次品ꎬ有多种解决方法ꎬ
用天平至少称 １ 次就能保证找出次品ꎮ
知识拓展
天平是一种最古
老的计量仪器ꎬ早在春
秋战国时期就已使用
天平ꎮ 春秋末期ꎬ楚国
已广泛使用小型的权
衡器称量黄金ꎬ它制作
精巧ꎬ最小的砝码只有
１.２ 克ꎮ
１.有 ５ 瓶钙片ꎬ其中一瓶少了 ３ 片ꎬ想办法把它找出来ꎮ
１４９
２ 运用最优化策略解决问题
(教材第 １１２ 页例 ２)
８ 个零件里有 １ 个是次品(次品重一些)ꎮ 假如用天平称ꎬ至少称几次能保证
找出次品?
将探索的情况填入下表ꎮ
每次每边放的个数 分成的份数 至少要称的次数
(１)表中哪种方法需要称的次数最少?
(２)如果 ９ 个零件中有 １ 个次品(次品重一些)ꎬ至少称几次能保证找出
次品? 是怎么称的?
(３)你能发现什么? 用你发现的方法找出 １０ 个、１１ 个零件中的 １ 个次
品(次品重一些)ꎬ看看是不是保证找出次品的次数也是最少的ꎮ
１.思维导引:
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? 把这些零件分一分 ➡
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? 找出次品
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要点提示
“能保证” 就是指
每一条“可能的途径”
都要考虑到ꎬ不能存在
“运气好”的情况ꎻ“至
少”就是保证一定能找
出次品的各种方法中ꎬ
称量次数最少的那种
方法ꎮ
自我管理:认真值日ꎬ保持教室、校园整洁优美ꎮ
１５０
２.过程讲解:
(１)探讨待测零件为 ８ 个时的解决方案ꎮ
方法一:把零件分成两份ꎬ每份分别是 ４ 个、４ 个ꎮ
８ 个零件
(４ꎬ４)
➡
天平两边
各放 ４ 个
➡
不平衡:
称有次品的
４ 个(２ꎬ２)
➡
天平两边
各放 ２ 个
➡
不平衡ꎻ
称有次品的
２ 个(１ꎬ１)
３ 次
方法二:把零件分成三份ꎬ每份分别是 ３ 个、３ 个、２ 个ꎮ
８ 个零件
(３ꎬ３ꎬ２)
➡天平两边各放 ３ 个
不平衡:称有次品的 ３ 个(１ꎬ１ꎬ１) ２ 次
平衡:称剩下的 ２ 个(１ꎬ１) ２ 次{
方法三:把零件分成四份ꎬ每份分别是 ２ 个、２ 个、２ 个、２ 个ꎮ
８ 个零件
(２ꎬ２ꎬ２ꎬ２)
➡
天平两边
各放 ２ 个
不平衡:称有次品的 ２ 个(１ꎬ１) ２ 次
平衡:称剩下
的 ４ 个(２ꎬ２)
➡
不平衡:称有次品
的 ２ 个(１ꎬ１)
３ 次
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(２)总结规律ꎮ
分成 ３ 份称ꎬ尽量平均分ꎬ需要称的次数最少ꎮ
(３)探索从更多个数的零件中ꎬ找次品的方法ꎮ
９ 个零件
(３ꎬ３ꎬ３)
➡
天平两边
各放 ３ 个
不平衡:称有次品的 ３ 个(１ꎬ１ꎬ１) ２ 次
平衡:称剩下的 ３ 个(１ꎬ１ꎬ１) ２ 次{
１０ 个零件
(３ꎬ３ꎬ４)
➡
天平两边
各放 ３ 个
平衡:称剩
下的 ４ 个
(１ꎬ１ꎬ２)
➡
天平两边
各放 １ 个
平衡:称剩下
的 ２ 个(１ꎬ１)
３ 次
不平衡:找到
次品
２ 次
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不平衡:称有次品的 ３ 个(１ꎬ１ꎬ１) ２ 次
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１１ 个零件
(４ꎬ４ꎬ３)
➡
天平两边
各放 ４ 个
平衡:称剩下的 ３ 个(１ꎬ１ꎬ１) ２ 次
不平衡:称有
次品的 ４ 个
(１ꎬ１ꎬ２)
➡
天平两边
各放 １ 个
平衡:称剩下
的 ２ 个(１ꎬ１)
３ 次
不平衡:找到
次品
２ 次
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３.规范解答:
每次每边放的个数 分成的份数 至少要称的次数
４ ２ ３
３ ３ ２
２ ４ ３
(１)表中第二种方法需要称的次数最少ꎮ
(２)至少称 ２ 次能保证找出次品ꎬ见过程讲解(３)中 ９ 个零件的称量
方法ꎮ
(３)尽量平均分成 ３ 份ꎬ能保证称的次数最少ꎮ
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找次品的最优方法:把待测物品平均分成 ３ 份ꎬ如果不能平均分ꎬ也应该使每
份的数量接近相等ꎮ
要点提示
尽管 天 平 只 有 ２
个托盘ꎬ但托盘外的第
三个物品也参与到比
较之中ꎬ所以天平可以
一次性比较出 ３ 个物
品的质量ꎮ
思想方法
从三种方法中找
出最优化的方法ꎬ蕴含
最 优 化 的 思 想 方 法ꎮ
最优化的思想方法就
是在有限的或无限种
可行方案(策略)中挑
选最优方案(策略)的
思想ꎮ
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２.有 ７ 瓶矿泉水ꎬ其中一瓶质量较轻ꎬ是次品ꎬ用天平至少称几次能保证找出次品?
易错点:忽略了可以用物体代替砝码来称量物体
一架天平只有 ５ 克和 ３０ 克两个砝码ꎬ要把 ３００ 克盐分成 ３ 等份ꎬ至少要称几次? 写出称法ꎮ
第一次称出 ３５ 克盐ꎬ第二次称出 ３５ 克盐ꎬ第三次称出 ３０ 克盐ꎬ３ 次称出 １００ 克盐ꎬ重复上面的做
法再称出 １００ 克盐ꎬ剩下 １００ 克盐ꎮ 所以至少要称 ６ 次ꎮ
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? 错点警示:此题没有想到可以
用已知质量的物体代替砝码ꎮ 当第
一次称出 ３５ 克盐后ꎬ第二次可以用盐
加砝码一起称ꎬ所以 ６ 次不是最少的ꎮ
正确解答:第一次:用 ５ 克和 ３０ 克的砝码称出 ３５ 克盐ꎮ 第
二次:天平一边放 ３０ 克砝码和 ３５ 克盐称出 ６５ 克盐ꎬ此时已称
出 １００ 克盐ꎮ 第三次:天平一边放已称出的 １００ 克盐称出另外
１００ 克盐ꎬ剩下 １００ 克盐ꎮ 所以至少要称 ３ 次ꎮ
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规避策略:当砝码不够用时ꎬ借助已知质量的物体称物体也是解决问题的一种方法ꎮ
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列表法 用表格的形式表示题中的已知条件和问题ꎬ使条件和条件之间ꎬ条件和问题之间的关
系条理化、明朗化ꎬ有利于探求解题的思路ꎬ从而达到解决问题的目的ꎮ
有 ８ 瓶矿泉水ꎬ编号是①至⑧ꎬ其中有 ６ 瓶一样重ꎬ是合格产品ꎬ另外 ２ 瓶都轻 ５ ｇꎬ是不合格
产品ꎮ 用天平称了 ３ 次ꎬ结果如下:第一次①＋②比③＋④重ꎻ第二次⑤＋⑥比⑦＋⑧轻ꎻ第三次①＋③＋⑤与
②＋④＋⑧一样重ꎬ那么这 ２ 瓶不合格产品分别是几号?
?思路提示 先列表分析第一、二次的称量结果ꎮ
称量次数 合格产品 不合格产品
第一次 ①② ③或④
第二次 ⑦⑧ ⑤或⑥
第三次称量①＋③＋⑤和②＋④＋⑧一样重ꎮ 由此可知①③⑤和②④⑧中各有一瓶不合格产品ꎬ从
②④⑧中去掉合格产品②和⑧ꎬ可知④是不合格产品ꎬ结合第一次称量结论③和④中有一个是不合格
产品ꎬ可知③是合格产品ꎬ最后去掉①③⑤中的合格产品①和③ꎬ可知⑤是不合格产品ꎮ
?规范解答 这 ２ 瓶不合格产品分别是④和⑤ꎮ
自我管理:积极参加学校组织的其它活动ꎬ遵守活动的要求和规定ꎮ
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有 １０ 盒零件ꎬ其中一盒是次品ꎬ次品那盒中的每个零件都比标准质量轻了 １０ 克ꎮ 由于管理员粗心ꎬ
记错了是哪一盒ꎬ一时难辨ꎮ 你能用一架天平称一次就把那盒次品零件找出来吗?
同学们ꎬ请认真阅读课本 Ｐ１１１~１１４ꎬ再把下面的知识点整理后放入你的小锦囊吧!
知识点 具体内容 自我提醒
找次品
找次品时ꎬ一是把待测的物品分成 ３ 份ꎬ二是要尽量平均
分ꎬ能够平均分的就平均分成 ３ 份ꎬ不能平均分的ꎬ也应
该使多的一份与少的一份只相差 １ꎮ
找次品的方法有很多ꎬ
要联系实际情况ꎬ灵活
处理ꎮ
开锁问题:是最大和最小问题的一种ꎬ解决此类问题时ꎬ一般从极端情况考
虑ꎬ逐步分析ꎬ找出解决问题的途径ꎬ从而求解ꎮ
一把钥匙开一把锁ꎮ 现在有 ６ 把钥匙和 ６ 把锁ꎬ但不知怎么相配ꎮ 最多要试多少次才能
确保钥匙和锁全部匹配?
?思路提示 将这 ６ 把钥匙按①~⑥进行编号ꎬ先拿出钥匙①ꎬ从最极端的情况考虑ꎬ连试 ５ 次
都不匹配ꎬ就不必再试ꎬ①一定是第 ６ 把锁的钥匙ꎮ 再拿出钥匙②ꎬ从最极端的情况考虑ꎬ连试 ４ 次都
不匹配ꎬ就不必再试ꎬ②一定是第 ５ 把锁的钥匙ꎮ 以此类推ꎬ共需试 ５＋４＋３＋２＋１＝ １５(次)ꎮ
?规范解答 ５＋４＋３＋２＋１＝ １５(次)
答:最多要试 １５ 次才能确保钥匙和锁全部匹配ꎮ
新来的教学楼管理员拿 １５ 把不同的钥匙去开 １５ 个教室的门ꎬ但是不知道哪一把钥匙开哪一个门ꎬ他
最多试开( )次就可将钥匙与教室门配对ꎮ
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