专题十七：概率统计简答题专项训练（解析版）
1．（2021·湖南高三月考）2020 年 5 月 27 日，中央文明办明确规定，在 2020 年全国
文明城市测评指标中不将马路市场､流动商贩列为文明城市测评考核内容.6 月 1 日上午，
国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，
是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.其中套圈游戏凭借其趣味性和挑战
性深受广大市民的欢迎.现有甲､乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点 A，B 两点处
进行套圈，已知甲在 A，B 两点的命中率均为 1
3
，乙在 A 点的命中率为 1﹣p(0EY，求 p 的范围.
【答案】（1） 20
27
；（2）分布列答案见解析，数学期望分别为： 5 5 83 p， ；
（3）( 5
12
， 1
2
].
【详解】
解：（1）设“甲至多命中 1 次”为事件 C，则 P(C)=
3 2
0 1
3 3
2 1 2 20
3 3 3 27C C
，
故甲至多命中 1 次的概率为 20
27
.
（2）由题意知，X=0，2，3，5，Y=0，2，3，5，
P(X=0)=
22 4
3 9
，P(X=2)=P(X=3)= 1 2 2
3 3 9
，P(X=5)=
21 1
3 9
，
P(Y=0)=[1﹣(1﹣p)][1﹣(1﹣2p)]=2p2，
P(Y=2)=(1﹣p)[1﹣(1﹣2p)]=2p﹣2p2，
P(Y=3)=[1﹣(1﹣p)](1﹣2p)=p﹣2p2，
P(Y=5)=(1﹣p)(1﹣2p)=2p2﹣3p+1，
∴X 的分布列为
X 0 2 3 5
P 4
9
2
9
2
9
1
9
Y 的分布列为
X 0 2 3 5
P 2p2 2p﹣2p2 p﹣2p2 2p2﹣3p+1
∴E(X)=0× 4
9
+2× 2
9
+3× 2
9
+5× 1
9
= 5
3
，
E(Y)=0×2p2+2×(2p﹣2p2)+3×(p﹣2p2)+5×(2p2﹣3p+1)=5﹣8p.
（3）∵EX>EY，
∴ 5
3
>5﹣8p，即 p> 5
12
，
∴p 的取值范围是( 5
12
， 1
2
].
2．（2021·黑龙江大庆市·高三二模（理））随着新冠疫情防控进入常态化，人们的
生产生活逐步步入正轨.为拉动消费，某市政府分批发行 2 亿元政府消费券.为了解政府
消费券使用人群的年龄结构情况，在发行完第一批政府消费券后，该市政府采用随机抽
样的方法在全市市民中随机抽取了 200 人，对是否使用过政府消费券的情况进行调查，
部分结果如下表所示，其中年龄在 45 岁及以下的人数占样本总数的 3
5
，没使用过政府
消费券的人数占样本总数的 3
10
.
使用过政府消费券 没使用过政府消费券 总计
45 岁及以下 90
45 岁以上
总计 200
（1）请将题中表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为该市市民是否使用政府消
费券与年龄有关？
（2）为配合政府消费券的宣传，现需该市 45 岁及以下的 3 位市民参与线上访谈.用随
机抽样的方法从该市 45 岁及以下市民中每次抽取 1 人，共抽取 3 次，每次抽取的结果
相互独立.记抽取的 3 人中“没使用过政府消费券”的人数为 X ，以样本频率作为概率，
求随机变量 X 的分布列和数学期望 E X .
附：
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d .
2
0P K k 0.15 0.10 0.05 0.025
0k 2.072 2.706 3.841 5.024
【答案】（1）表格答案见解析，有90%的把握认为该市市民民是否使用政府消费券与
年龄有关；（2）分布列答案见解析，数学期望： 3
4
.
【详解】
解：（1）由题意得，总人数为 200 人，年龄在 45 岁及以下的人数为 3200 1205
人，
没使用过政府消费券的人数为 3200 6010
人，
完成表格如下：
使用过政府消费券 没使用过政府消费券 总计
45 岁及以下 90 30 120
45 岁以上 50 30 80
总计 140 60 200
由列联表可知
2
2 200 (90 30 50 30) 3.571140 60 80 120K
，
因为 3.571 2.706 ，
所以有90%的把握认为该市市民民是否使用政府消费券与年龄有关.
（2）由题意可知，从该市 45 岁及以下的市民中用随机抽样的方法每次抽取 1 人，
没使用政府消费券的频率为 1
4
，所以 1~ 3, 4X B
，
X 的所有可能取值为 0，1，2，3，
3
0
3
3 27( 0) 4 64P X C
，
2
1
3
1 3 27( 1) 4 4 64P X C
，
2
2
3
1 3 9( 2) 4 4 64P X C
，
3
3
3
1 1( 3) 4 64P X C
，
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P 27
64
27
64
9
64
1
64
所以 1 3( ) 3 4 4E X .
3．（2021·湖南高三二模）“练好射击本领，报效国家”，某警校大一新生进行射击
打靶训练，甲､乙在相同的条件下轮流射击.每轮中，甲，乙各射击一次，射中者得 1
分，未射中者得 0 分.已知甲､乙每次射中的概率分别为 1 1,3 2
，且各次射击互不影响.
（1）经过 1 轮射击打靶，记甲､乙两人的得分之和为 X，求 X 的分布列；
（2）试问经过第 2 轮还是第 3 轮射击打靶后，甲的累计得分高于乙的累计得分的可能
性更高？并说明理由.
【答案】（1）分布列答案见解析；（2）经过 3 轮射击后甲的累计得分高于乙的累计得
分的可能性更高，理由见解析.
【详解】
解：（1）X 的可能取值为 0，1，2，
由题意可知 P(X=0)= 1 1 11 13 2 3
，
P(X=1)= 1 1 1 1 11 13 2 3 2 2
，
P(X=2)= 1 1 1
3 2 6
，
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2
P 1
3
1
2
1
6
（2）经过 2 轮射击后甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况：
一是甲累计得 2 分，此时乙的累计得分低于 2 分，
二是甲累计得 1 分，此时乙累计得 0 分，
所以 1
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 7P 1 C 1 1 13 3 2 2 3 3 2 2 36
，
经过 3 轮射击后甲的累计得分高于乙的累计得分有三种情况：
一是甲累计得 3 分，此时乙的累计得分低于 3 分，
二是甲累计得 2 分，此时乙的累计得分低于 2 分，
三是甲累计得 1 分，此时乙累计得 0 分，
所以
3 2 3 2
2 1
2 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1P 1 1 13 2 2 2 3 3 2 2 2C C
2 3
1
3
1 1 1 431 3 3 2 216C
，
因为 P2>P1，
所以经过 3 轮射击后甲的累计得分高于乙的累计得分的可能性更高.
4．（2021·全国高三月考（理））元旦期间某牛奶公司做促销活动．一箱某品牌牛奶12
盒，每盒牛奶可以参与刮奖中奖得现金活动，但其中只有一些中奖．已知购买一盒牛奶
需要5元，若有中奖，则每次中奖可以获得代金券8 元（可即中即用）．顾客可以在一
箱牛奶中先购买 4 盒，然后根据这 4 盒牛奶中奖结果决定是否购买余下8 盒．设每盒牛
奶中奖概率为 0 1p p ，且每盒牛奶是否中奖相互独立．
（1）若 1
4p ，顾客先购买 4 盒牛奶，求该顾客至少有一盒中奖的概率；
（2）设先购买的 4 盒牛奶恰好有一盒中奖的最大概率为 0p ，以 0p 为 p 值．某顾客认
为如果中奖后售价不超过原来售价的四折（即 40% ）便可以购买如下的8 盒牛奶，据
此，请你判断该顾客是否可以购买余下的8 盒牛奶.
【答案】（1） 175
256
；（2）该顾客可以买下余下的8 盒牛奶.
【详解】
（1）依题意有 4 盒至少一盒中奖的概率为
4 1751 1 4 256
1
；
（2） 4 盒牛奶恰有1盒中奖的概率为 3 31
4 1 4 1C p p p p ，
令 34 1f p p p ，则 3 2 24 1 3 1 4 1 1 4p p p p pf p ，
当 10 4p 时， 0f p ，此时函数 f p 单调递增；
当 1 14 p 时， 0f p ，此时函数 f p 单调递减.
当 1
4p 时， f p 有最大值
3
1
0 4
1 3 27
4 4 64p C
，
设余下8 盒牛奶中奖为Y 盒，中奖后实际付款为 X 元， 27~ 8, 64Y B
， 27
8EY ，
5 8 8 40 8X Y Y ， 40 8 40 8 13 40 40% 16EX E Y EY ，
该顾客可以买下余下的8 盒牛奶．
5．（2021·江苏高三月考）今年两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的
重要性的阐述引起了全社会的共鸣.某大学学生发展中心对大一的 400 名男生做了单次
引体向上的测试，得到了如图所示的直方图(引体向上个数只记整数).学生发展中心为
进一步了解情况，组织了两个研究小组.
（1）第一小组决定从单次完成 1-15 个的引体向上男生中，按照分层抽样抽取 11 人进
行全面的体能测试，
①单次完成 11-15 个引体向上的男生甲被抽到的概率是多少？
②该小组又从这 11 人中抽取 3 人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上 1-5 个”
的人数为随机变量 X ，求 X 的分布列和数学期望；
（2）第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这 400 人的
学业成绩与体育成绩之间的 2 2 列联表.
学业优秀 学业不优秀 总计
体育成绩不优秀 100 200 300
体育成绩优秀 50 50 100
总计 150 250 400
请你根据联表判断是否有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？
参考公式及数据：
2
2 ( )n ad bcK a b c d a c b d
2
0P K k
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025
0.01
0.005 0.001
0k
0.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.84 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）① 1
20
；②分布列答案见解析，数学期望： 6
11
；（2）有99.5%的把握
认为体育锻炼与学业成绩有关.
【详解】
解：（1）① 0.02 0.03 0.06 2 3 6 ： ： ：：
2 3 611 2 11 3 11 611 11 11
， ， ，
即从 1-5 中选 2 个，6-10 个中选 3 个，11-15 个中选 6 个，
又因为单次完成 11-15 个引体向上的人共有 0.06 5 400 120 人，
记“单次完成 11-15 个引体向上的甲被抽中”为事件 A，则
5
119
6
120
6 1( ) 120 20
CP A C
.
② X 的可能取值为 0，1，2，
则
3
9
3
11
28( 0) 55
CP X C
，
1 2
2 9
3
11
24( 1) 55
C CP X C
，
2 1
2 9
3
11
3( 2) 55
C CP X C
，
X 的分布列为：
X 0 1 2
P 28
55
24
55
3
55
28 24 3 6( ) 0 1 255 55 55 11E X ．
（2）
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
=
2400 5000 10000 80 8.889 7.879300 100 150 250 9
（ ） .
有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关.
6．（2021·全国高三专题练习（文））某公司对某产品作市场调研，获得了该产品的
定价 x（单位：万元/吨）和一天销售量 y（单位：吨）的一组数据，制作了如下的数据
统计表，并作出了散点图．
x y z
10
2
1
i
i
x
10
2
1
i
i
z
10
1
i i
i
x y
10
1
i i
i
z y
0.33 10 3 0.164 100 68 350
表中 1z x
， 0.2 0.45 ， 4.8 2.19 ．
（1）根据散点图判断，y a bx 与 1y c k x 哪一个更适合作为 y 关于 x 的回归方
程；（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果，试建立 y 关于 x 的回归方程；
（3）若生产 1 吨该产品的成本为 0.20 万元，依据（2）的回归方程，预计定价为多少
时，该产品一天的利润最大，并求此时的月利润．（每月按 30 天计算，计算结果保留
两位小数）
（参考公式：回归方程 y bx a ，其中
1 1
2 2 2
1 1
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nxy
b
x x x nx
，
a y bx ）
【答案】（1） 1y c k x ；（2） 55y x
；（2）预计定价为 0.45 万元/吨吋，
该产品一天的利润最大，此时的月利润为 45.00 万元．
【详解】
解：（1）根据散点图知 1y c k x 更适合作为 y 关于 x 的回归方程．
（2）令 1z x
，则 y c k z ，
则
10
1
10 2
2 2
1
10 350 10 10 3 5100 10 310
i i
i
i
i
z y z y
k
z z
，
5c y k z ， 55y x
， y 关于 x 的回归方程为 55y x
．
（3）一天利润为
5 0.2( 0.20) 5 ( 0.2) 6 5 6 10 0.2 1.5T y x x xx x
．
（当且仅当 0.2x x
即 0.45x 时取等号）
每月的利润为30 1.5 45.00 （万元）
预计定价为 0.45 万元/吨吋，该产品一天的利润最大，此时的月利润为 45.00 万元．
7．（2020·新疆巴音郭楞蒙古自治州第二中学高三其他模拟（文））近年来，南宁大
力实施“二产补短板、三产强优势、一产显特色”策略，着力发展实体经济，工业取得
突飞猛进的发展.逐步形成了以电子信息、机械装备、食品制糖、铝深加工等为主的 4
大支柱产业.广西洋浦南华糖业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批
产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据
, 1,2, ,6i ix y i ，如下表所示，已知.
6
1
1 806 i
i
y y
，
6
1
3050i i
i
x y
，
6
2
1
271i
i
x
试销单价 x （元） 4 5 6 7 8 9
产品销量 y （件） q 84 83 80 75 68
（1）求出 q的值；
（2）已知变量 x ， y 具有线性相关关系，求产品销量 y （件）关于试销单价 x （元）
的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a ；
（3）用 ˆiy 表示用（2）中所求的线性回归方程得到的与 ix 对应的产品销量的估计值.当
销售数据 ,i ix y 对应的残差的绝对值 ˆ| | 1i iy y 时，则将销售数据 ( , )i ix y 称为一个
“好数据”.现从 6 个销售数据中任取 3 个，求“好数据”个数 的数学期望 E .
【答案】（1）90；（2） 4 106y x ；（3） 3
2
.
【详解】
（1）依题意 1 84 83 80 75 68 806y q ，解得 90q .
（2）依题意 1 4 5 6 7 8 9 6.56x ， 2
3050 6 6.5 80ˆ 4271 6 6.5b
，
80 4 6.ˆˆ 5 106a y b x ，所以 4 106y x .
（3）列表得：
x 4 5 6 7 8 9
y 90 84 83 80 75 68
ˆy 90 86 82 78 74 70
ˆy y 0 2 1 2 1 2
所以，“好数据”有三个.于是 的可能取值为 0，1，2，3.
则
3 0
3 3
3
6
10 20
C CP C
，
2 1
3 3
3
6
91 20
C CP C
，
1 2
3 3
3
6
92 20
C CP C
，
0 3
3 3
3
6
13 20
C CP C
.
所以数学期望为 1 9 9 1 30 1 2 320 20 20 20 2E .
8．（2021·陕西高三三模（理））某地处偏远山区的古镇约有人口 5000 人，为了响应
国家号召，镇政府多项并举，鼓励青壮劳力外出务工的同时发展以旅游业为龙头的乡村
特色经济，到 2020 年底一举脱贫.据不完全统计该镇约有 20% 的人外出务工.下图是根
据 2020 年扶贫工作期间随机调查本地 100 名在外务工人员的年收入(单位：千元)数据
绘制的频率分布直方图.
（1）根据样本数据怙计该镇外出务工人员的创收总额(同一组中的数据用该组区间的中
点值为代表)；
（2）假设该镇外出务工人员年收入服从正态分布 2,N ，其分布密度函数为
2
2
( )
21( )
2
x
f x e
，其中 为样本平均值.若 ( )f x 的最大值为 2
10
，求 的值；
（3）完成脱贫任务后，古镇党政班子并不懈怠，决心带领全镇人民在奔小康道路上再
上一个新台阶，出台了多项优惠政策，鼓励本地在外人员返乡创业.调查显示务工收入
在 , 2 和 2 , 3 的人群愿意返乡创业的人数比例分别为15% 和
20% .从样本人群收入在 , 3 的人中随机抽取 3 人进行调查，设 X 为愿意
返乡创业的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望.
【答案】（1）30000(千元)；（2） 5 ；（3）分布列答案见解析，数学期望：12
25
.
【详解】
（1）由频率分布直可知 100 名在外务工人员的平均年收入为
0.02 5 17.5 0.03 5 22.5 0.04 5 27.5 0.06 5 32.5 0.04 5 37.5
0.01 5 42.5 30 (千元)
∴该镇外出务工人员的创收总额为5000 20% 30 30000 (千元).
（2）∵概率密度函数为
2
2
( )
21( )
2
x
f x e
，在 , 上单调递增，在 , 上
单调递减
∴当 x 时，函数 ( )f x 取得最大值为 1
2
，
∴ 1 2
102
，解得 5 .
（3）∵ 30 ， 5 ，
∴样本中年收入在 , 2 (即 35,40 )和 2 , 3 (即 40,45 )内愿
意返乡创业的人数分别为100 0.04 5 15% 3 人和100 0.01 5 20% 1 人.
∴样本人群收入在 , 3 35,45 内共100 (0.04 0.01) 5 25 人，其中
愿意返乡创业的共 4 人，
∴随机变量 X 的可能取值分别为 0，1，2，3，
∴
3
21
3
25
665( 0) 1150
CP X C
；
1 2
4 21
3
25
420( 1) 1150
C CP X C
；
2 1
4 21
3
25
63( 2) 1150
C CP X C
，
3
4
3
25
2( 3) 1150
CP X C
.
∴随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 665
1150
420
1150
63
1150
2
1150
∴ 665 420 63 2 120 1 2 31150 1150 1150 1150 25E X .
9．（2021·江苏高三其他模拟）近年来，手机行业的竞争已经进入白热化阶段，各大
品牌手机除了靠不断提高手机的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费
也是逐年攀升，用“烧钱”来形容毫不为过小明对某品牌手机近 5 年的广告费投入(单
位：亿美元)进行了统计，具体数据见下表.
年份代号 x 1 2 3 4 5
广告费投入 y 5.8 6.6 7.2 8.8 9.6
并随机调查了 300 名市民对该品牌手机的喜爱情况，得到的部分数据见下表
喜欢 不喜欢
50 岁以下市民 50
50 岁以上市民 60 40
（1）求广告费投入 y 与年份代号 x 之间的线性回归方程；
（2）是否有99%的把握认为市民的年龄与对该品牌手机的喜爱度具有相关性？
（3）若以这 300 名市民的年龄与对该品牌手机的喜爱度的情况估计整体情况，则从这
300 名市民中随机选取 3 人，记选到喜欢该品牌手机且 50 岁以上的市民人数为 X .求 X
的分布列及数学期望 ( ) E X .
附：①回归直线中 y bx a $ $ $ ，
1
2
1
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
， a y bx ；②
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bc
a b c d a c b d
，其中 n a b c d .
k 2.706 3.841 6.635 10.828
2P k ≥
0.100 0.05 0.010 0.001
【答案】（1） ˆ 0.98 4.66y x ；（2）有99%的把握认为市民的年龄与对该品牌手机
的喜爱度具有相关性；（3）分布列答案见解析，数学期望： 3
5
.
【详解】
(1)依题意知 1 (1 2 3 4 5) 35x ， 1 (5.8 6.6 7.2 8.8 9.6) 7.65y ，
所以
5 2
1
4 1 0 1 4 10i
i
x x
，
5
1
( 2) ( 1.8) ( 1) ( 1) 0 ( 0.4) 1 1.2 2 2 9.8i i
i
x x y y
，
于是
1
2
1
9.8ˆ 0.9810
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
，
所以 ˆˆ 7.6 0.98 3 4.66a y bx ，
故广告费投入 y 与年份代号 x 之间的线性回归方程为 ˆ 0.98 4.66y x ；
（2）补充完整的 2 2 列联表如下：
喜欢 不喜欢
50 岁以下市民 150 50 200
50 岁以上市民 60 40 100
总计 210 90 300
所以
2
2 300 (150 40 50 60) 300 3000 3000 7.143 6.635200 100 210 90 200 100 210 90
，
故有99%的把握认为市民的年龄与对该品牌手机的喜爱度具有相关性；
（3）依题意知随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3.
从这 300 名市民中随机抽取 1 人，是喜欢该品牌手机且 50 岁以上的市民的概率为
60 1
300 5
，
所以
31 64( 0) 1 5 125P X
，
2
1
3
1 1 48( 1) C 1 5 5 125P X
，
2
2
3
1 1 12( 2) 1 5 5 125P X C
，
3
3
3
1 1( 3) C 5 125P X
，
故 X 的分布列如下：
X 0 1 2 3
P 64
125
48
125
12
125
1
125
因为 1~ 3, 5X B
，所以 1 3( ) 3 5 5E X .
10．（2021·陕西西安市·高三其他模拟（文））某地区 2021 年清明节前后
3 天每天下雨的概率为 50%，通过模拟实验的方法来计算该地区这 3 天中恰好有 2 天下
雨的概率．用随机数 x（ x N ，且 0 9x≤ ≤ ）表示是否下雨：当 0,x m m Z
时表示该地区下雨，当 1,9x m 时，表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得
20 组数如下：
332 714 740 945 593 468 491 272 073 445
992 772 951 431 169 332 435 027 898 719
（1）求出 m 的值，并根据上述数表求出该地区清明节前后 3 天中恰好有 2 天下雨的概
率；
（2）从 2012 年到 2020 年该地区清明节当天降雨量（单位： mm ）如表：（其中降雨
量为 0 表示没有下雨）．
时间
2012
年
2013
年
2014
年
2015
年
2016
年
2017
年
2018
年
2019
年
2020
年
年份 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
降雨量 y 29 28 26 27 25 23 24 22 21
经研究表明：从 2012 年至 2021 年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量 y 与年份 t
成线性回归，求回归直线方程 y bt a ，并计算如果该地区 2021 年（ 10t ）清明节
有降雨的话，降雨量为多少？（精确到 0.01）
参考公式：
1
2
1
n
i i
i
n
i
i
t t y y
b
t t
$ ， a y bt $ $ ．
参考数据： 9
1
58i i
i
t t y y
， 7
1
54i i
i
t t y y
， 9 2
1
60i
i
t t
，
7 2
1
52i
i
t t
．
【答案】（1） 4m ， 2
5
；（2） 29 179
30 6y t ；该地区 2020 年清明节有降雨的话，
降雨量为 20.2mm．
【详解】
解：（1）由题意可知， 1 50%10
m ，解得 4m ，即 0 ~ 4 表示下雨，5 ~ 9表示不下
雨，
所给的 20 组数据中 714,740,491,272,073,445,435,027,共 8 组表示 3 天中恰有两天下
雨，
故所求的概率为 8 2=20 5
；
（2）由题中所给的数据可得 5t ， 25y ，
所以
9
1
9 2
1
58 29
60 30
i i
i
i
i
t t y y
b
t t
， 29 17925 530 6a y bt
，
所以回归方程为 29 179
30 6y t ，
当 10t 时， 29 179 1211030 6 6y 20.2 ，
所以该地区 2020 年清明节有降雨的话，降雨量为 20.2mm．
11．（2021·山西高三二模（理））为了适应教育改革新形势，某实验高中新建实验楼、
置办实验仪器、开设学生兴趣课堂，将分子生物学知识和技术引入其中，激发了广大学
生的学习和科研热情．现已知该生物科研兴趣小组共有 9 名学生．在一次制作荧光标记
小鼠模型时，将 9 名学生分成 3 组，每组 3 人．
（1）若将实验进程分为三个阶段，各个阶段由一个成员独立完成．现已知每个阶段用
时 1 小时，每个阶段各成员成功率为 1
3
．若任意过程失败，则该实验须重新开始．求
一个组在不超过 4 个小时完成实验任务的概率；
（2）现某小组 3 人代表学校组队外出参加生物实验竞赛，其中一项赛程为小鼠灌注实
验．该赛程规则为：三人同时进行灌注实验，但每人只有一次机会，每个队员成功的概
率均为 2
3
．若单个队员实验成功计 2 分，失败计 1 分．
①设小组总得分为 X ，求 X 的分布列与数学期望；
②主办方预计通过该赛程了解全国生物兴趣课程的开设情况．现从所有参赛队员中抽取
n 人成绩计入总得分，若总得分大于 n 的概率为 nK ，求数列 nK 的前 15 项和．
【答案】（1） 5
81
；（2）①分布列见解析；期望为 5；② 15
29 1
2 2 3
．
【详解】
解：（1）一个组失误 0 次的概率为
3
0
1 1
3 27P
；
仅第一步失误一次的概率为
3
1
2 1 2
3 3 81P
，
则一个组在不超过 4 小时完成任务的概率为 0 1
1 2 5
27 81 81P P P ．
（2）①随机变量 X 的可能取值为 3，4，5，6，
31 1( 3) 3 27P X
，
2
1
3
1 2 2( 4) 3 3 9P X C
，
2
2
3
1 2 4( 5) 3 3 9P X C
，
32 8( 6) 3 27P X
．
则 X 的分布列为：
X 3 4 5 6
P 1
27
2
9
4
9
8
27
1 2 4 8( ) 3 4 5 6 527 9 9 27E X ．
②总得分大于 n 的概率为 11 3
n
nK
，
则 nK 的前 15 项和为
15
15 15
1 11 29 13 315 1 2 2 31 3
S
．
12．（2021·陕西西安市·高三一模（理））2020 年疫情期间，某公司为了切实保障
员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝
普查．为此需要抽验 480 人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种
可供选择的方案．
方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验 480 次．
方案②：按 k 个人一组进行随机分组，把从每组 k 个人抽来的血混合在一起进行检验，
如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这 k 个人的血就只需检验一次（这时
认为每个人的血化验 1
k
次）；否则，若呈阳性，则需对这 k 个人的血样再分别进行一
次化验．这样，该组 k 个人的血总共需要化验 1k 次．
假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为 p，且这些人之间的试验反应相互独
立．
（1）设方案②中，某组 k 个人中每个人的血化验次数为 X，求 X 的分布列；
（2）设 0.1p ．试比较方案②中，k 分别取 2，3，4 时，各需化验的平均总次数；并
指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结
果四舍五入保留整数）．
【答案】（1）答案见解析；（2）195 次.
【详解】
（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为 q，则 1q p ．
所以 k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为 (1 )k kq p ，
呈阳性反应的概率为1 1 (1 )k kq p ．
依题意可知 1 1, 1X k k
，所以 X 的分布列为：
X 1
k
11 k
P (1 )kp 1 (1 )kp
（2）方案②中．结合（1）知每个人的平均化验次数为：
1 1 11 1 1 1 1 1k k kE X p p pk k k
，
0.1p
∴当 2k 时， 21( ) 0.9 1 0.692E X ，此时 480 人需要化验的总次数为 331 次，
3k 时， 31 0.9 1 0.60433E X ，此时 480 人需要化验的总次数为 290 次，
4k 时， 41( ) 0.9 1 0.59394E X ，此时 480 人需要化验的次数总为 285 次，
即 2k 时化验次数最多， 3k 时次数居中， 4k 时化验次数最少．
而采用方案①则需化验 480 次，
故在这三种分组情况下，相比方案①，
当 4k 时化验次数最多可以平均减少 480 285 195 次．
13．（2021·安徽高三二模（理））某学校举行诗词知识选拔赛，通过微信小程序自行
注册并登录进行作答，选拔赛一共设置了由易到难的 A 、 B 、C 、 D 四道题，答题规
则如下：每次作答一题，按问题 A 、 B 、C 、 D 顺序作答；每位同学初始得分均为 10
分，答对问题 A 、 B 、C 、 D 分别加 1 分、2 分、3 分、6 分，答错任一题减 2 分；每
作答完一题，小程序自动累计分数，当累计分数小于 8 分时，答题结束；当累计分数大
于或等于 14 分时，答题结束，通过比赛；当作答完四题，累计分数仍不足 14 分时，答
题结束；假设小强同学对问题 A 、B 、C 、D 回答正确的概率依次为 2
3
、1
2
、1
3
、1
4
，
且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（Ⅰ）求小强同学前三道题都答对的概率；
（Ⅱ）用 X 表示小强同学答题结束时的得分，求 X 的分布列；
（Ⅲ）求小强同学能通过比赛的概率．
【答案】（Ⅰ） 1
9
；（Ⅱ）答案见解析；（Ⅲ） 17
72
．
【详解】
解：（Ⅰ）小强同学前三道题都答对的概率 2 1 1 1
3 2 3 9P ．
（Ⅱ） X 可能取 6，7，9，10，11，14，16，17，18，19．
答题得分情况如下：
初
始
分
A B C D
累计得
分
能否通
过比赛
对错 得分 对错 得分 对错 得分 对错 得分
10 √ 11 √ 13 √ 16 16 能
10 √ 11 √ 13 × 11 √ 17 17 能
10 √ 11 √ 13 × 11 × 9 9 否
10 √ 11 × 9 √ 12 √ 18 18 能
10 √ 11 × 9 √ 12 × 10 10 否
10 √ 11 × 9 × 7 7 否
10 × 8 √ 10 √ 13 √ 19 19 能
10 × 8 √ 10 √ 13 × 11 11 否
10 × 8 √ 10 × 8 √ 14 14 能
10 × 8 √ 10 × 8 × 6 6 否
10 × 8 × 6 6 否
∴随机变量 X 的分布列为：
X 6 7 9 10 11 14 16 17 18 19
P 1
4
2
9
1
6
1
12
1
24
1
36
1
9
1
18
1
36
1
72
（Ⅲ）小强同学能通过比赛的概率为：
2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 17
3 2 3 3 2 3 4 3 2 3 4 3 2 3 4 3 2 3 4 72P ．
14．（2021·江西萍乡市·高三二模（理））某贫困地区经过不懈的奋力拼搏，新农村
建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入、实现 2020 年脱
贫的工作计划，该地扶贫办统计了 2019 年 50位农民的年收入并制成如图频率分布直
方图：
（1）根据频率分布直方图，估计这50位农民的平均年收入 x（单位：千元，同一组数
据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）为推进精准扶贫，某企业开设电商平台，让越来越多的农村偏远地区的农户通过
经营网络商城脱贫致富．甲计划在 A 店，乙计划在 B 店同时参加一个订单“秒杀”抢
购活动，其中每个订单由 *2,n n n N 个商品W 构成，假定甲、乙两人在 A 、B 两
店订单“秒杀”成功的概率分别为 p 、q，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、商品
W 总数量分别为 X 、Y ．
①求 X 的分布列及数学期望 E X ；
②若
2
7sin
4
np n n
， sin
4
nq n
，求当Y 的数学期望 E Y 取最大值时正整数 n 的
值．
【答案】（1）17.4千元；（2）①分布列见解析，期望为 p q ；② 3n .
【详解】
（1）
12 0.04 14 0.12 16 0.28 18 0.36 20 0.10 22 0.06 24 0.04 17.4x
故估计这50位农民的年平均收人 x 为17.4千元；
（2）①由题知， X 可能取值为 0 ，1， 2 ．
0 1 1P X p q ， 1 1 1 2P X p q q p p q pq ，
2P X pq
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2
P 1 1p q 2p q pq pq
0 1 1 2 2E X p q p q pq pq p q ；
②因为Y nX ，所以
2
7sin sin
2sin4 4
n nE Y nE X n p q n n n n n n
，
令 1 10, 2t n
，设 2sinf t t t ，则 E Y f t ，
12 cos 2 cos 2f t t t
，且 0, 2t
，
当 10, 3t
时， 0f t ，所以 f t 在区间 10, 3
上单调递增，
当 1 1,3 2t
时， 0f t ，所以 f t 在区间 1 1,3 2
上单调递减．
所以当 1
3t ，即 3n 时， 1 33 3f t f
，
故当 E Y 取最大值时， n 的值为3．
15．（2021·安徽黄山市·高三二模（文））2021 年 3 月 5 日，人社部和全国两会政
府工作报告中针对延迟退休给出了最新消息，人社部表示正在研究延迟退休改革方案，
两会上指出十四五期间要逐步延迟法定退休年龄．现对某市工薪阶层关于延迟退休政策
的态度进行调查，随机调查了 50 人，他们月收入的频数分布及对延迟退休政策赞成的
人数如表．
月收入（单位百
元）
15,25 25,35 35,45 45,55 55,65 65,75
频数 5 10 15 10 5 5
赞成人数 1 2 3 5 3 4
（1）根据所给数据，完成下面的 2 2 列联表，并根据列联表，判断是否有 99%的把握
认为“月收入以 55 百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异；
月收入高于 55 百元的人数 月收入低于 55 百元的人数 合计
赞成
不赞成
合计
（2）若采用分层抽样从月收入在 25,35 和 65,75 的被调查人中选取 6 人进行跟踪
调查，并随机给其中 3 人发放奖励，求获得奖励的 3 人中至少有 1 人收入在 65,75 的
概率．
（参考公式：
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d ）
2P K k 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）表格见解析，没有；（2） 4
5
.
【详解】
（1）2×2 列联表如下：
月收入高于 55 百元的人数 月收入低于 55 百元的人数 合计
赞成 7 11 18
不赞成 3 29 32
合计 10 40 50
∴ 2
2 50 7 29 3 11 6.27 6.63510 40 32 18K
，
所以没有 99%的把握认为“月收入以 55 百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异．
（2）按照分层抽样方法可知，月收入在 25,35 的抽 4 人，记为 , , ,a b c d ，月收入在
65,75 的抽 2 人，记为 ,A B ，
则从 6 人中任取 3 人的所有情况为：
, ,A B a 、 , ,A B b 、 , ,A B c 、 , ,A B d 、 , ,A a b 、 , ,A a c 、 , ,A a d 、
, ,A b c 、 , ,A b d 、 , ,A c d 、 , ,B a b 、 , ,B a c 、 , ,B a d 、 , ,B b c 、
, ,B b d 、 , ,B c d 、 , ,a b c 、 , ,a b d 、 , ,a c d 、 , ,b c d ，共 20 种，
其中至少有一人月收入在 65,75 的情况有 16 种，
所以 3 人中至少有 1 人月收入在 65,75 的概率为 16 4
20 5= ．
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