高考理数完美复习专题十七不等式选讲完美

专题十七 不等式选讲 目 录 CONTENTS 考点 不等式选讲 考点 不等式选讲 必备知识 全面把握 核心方法 重点突破 考法例析 成就能力 必备知识 全面把握 1．几个重要的不等式 (1) 当且仅当a＝b时取等号． (2)基本不等式： 当且仅当a＝b时取等号． (3)平均数定理： 当且仅当a＝b＝c时取等号． 考点 不等式选讲 (1)等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用定理求函数的 最大(小)值时，应特别注意． (2)定理1还可以变形为 等号成立的充要条件是 (3)依据定理我们可以有以下推广： 考点 不等式选讲 2.绝对值不等式的解法 考点 不等式选讲 这里 若 则 的解集为 的解集为R. 考点 不等式选讲 3．柯西不等式与排序不等式 考点 不等式选讲 9 不等式成立的条件要准确把握，如 柯西不等式中， 均为实数等． 考点 不等式选讲 10 4．不等式的证明方法 (1)比较法． ①作差法：依据   ②作商法： 因此，用作商法时必须先判定B的符号． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的 推理论证得出命题成立的方法．它是由因导果的方法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条 件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明过的定理、性质等)， 从而得出要证明的命题成立的方法．它是执果索因的方法． 考点 不等式选讲 11 (4)反证法：证明不等式时，首先假设要证明的命题不成立，把它作为 条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理、性质等基本 原理进行正确推理，逐步推理出一个与命题的条件或已证明过的定理、 性质，或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设不正确，从而 肯定原命题成立． (5)放缩法：证明不等式时，根据需要把要证明的不等式的一边适当放 大或缩小，如欲证 可通过证明 得到． 用换元法证明不等式时，要注意换元后，新元的取值范围会 发生变化，而有时忽视这种变化会导致错误结论或无法进行下去． 考点 不等式选讲 12 核心方法 重点突破 方法1 绝对值不等式的解法 含绝对值不等式的常用解法 (1)基本性质法：对 (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号，适用于 型的 不等式的求解． (3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法 脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解． (4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距 离求解． (5)图像法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图像，利用函数 图像求解． 考点 不等式选讲 13 例1. 考点 不等式选讲 14 例2. [四川绵阳2018模拟]已知函数 考点 不等式选讲 15 (1)解决含参数的绝对值不等式问题的两种方法： ①将参数分类讨论，将其转化为分段函数问题来解决． ②借助于绝对值的几何意义，先求出相应式子的最值或值域，然后根据题目要求进 行求解． (2)对于不等式恒成立求参数取值范围问题，常见类型及其解法如下： ①分离参数法：运用 可解决恒成立中的参 数取值范围问题． ②更换主元法：对于不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可 能解决问题时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法． ③数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的 几何背景，发挥形象思维与抽象思维的优势，可直观解决问题． 方法2 含有不等式的恒成立、存在性、参数范围问题的求解 考点 不等式选讲 16 例3 [河南2018月考]设f(x)＝|x＋1|－|2x－1|. (1)求不等式 的解集； (2)若不等式满足 对任意实数x≠0恒成立，求实数a的取值范围． 考点 不等式选讲 17 考点 不等式选讲 18 考点 不等式选讲 例4 [辽宁铁东2018二模]已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x－1|. (1)求不等式f(x)＜2的解集； (2)若关于x的不等式 有解，求a的取值范围． 19 考点 不等式选讲 例4 [辽宁铁东2018二模]已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x－1|. (1)求不等式f(x)＜2的解集； (2)若关于x的不等式 有解，求a的取值范围． 20 方法3 不等式中的最值问题的求解 解决最值问题时，一般有以下思路： (1)分类讨论去绝对值符号，将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图 像，求得最值． (2)利用性质 来求最值或证明，这时常要对绝 对值内的式子进行分析、组合、添项、拆项，使要证明的式子与已知联系起 来，从而完成证明． (3)利用基本不等式求出相应函数的最值，注意“一正、二定、三相等”的要 求． 考点 不等式选讲 21 例5 [黑龙江2018仿真模拟]已知函数f(x)＝|x－a|. (1)当a＝2时，解不等式 (2) 考点 不等式选讲 22 考点 不等式选讲 23 例6 [河南开封2018一模]已知关于x的不等式 的解集为 (1)求实数m，n的值； (2)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝n－m，求 的最小值. 考点 不等式选讲 24 方法4 证明不等式的方法 (1)证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法．如果已知条件与 待证结论的联系不明显，可考虑用分析法．其中，利用基本不等式、绝对 值三角不等式、绝对值的含义等将问题转化为分段函数及函数的性质问题 是常用的解题思路． (2)若待证命题是否定性命题或唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出， 则考虑用反证法． (3)若待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法证明．在必要的情况 下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明． 考点 不等式选讲 例7 [江苏南通2018模拟]已知x>0，y>0，z>0，2x＋2y＋z＝1，求证： 考点 不等式选讲 26 例8、已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝2. (1)求证： (2)若a，b，c都小于1，求a2＋b2＋c2的取值范围． 考点 不等式选讲 27 方法5 柯西不等式的应用 (2)在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等 式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时， 按照“一看、二构造、三判断、四运用”可快速求解此类问题． 考点 不等式选讲 28 例9、已知函数f(x)＝|x＋3|，g(x)＝m－2|x－11|，若 恒成立，实数m的 最大值为t. (1)求实数m的最大值t； (2)已知实数x，y，z满足2x2＋3y2＋6z2＝a(a>0)，且x＋y＋z的最大值为 求a的值. 考点 不等式选讲 29 考点 不等式选讲 30 考法例析 成就能力 本专题主要考查绝对值不等式的求解、恒成立问题、存 在性问题以及不等式的证明，多以解答题的形式出现，难 度中等，分值10分． 考点 不等式选讲 31 考法1 绝对值三角不等式的应用 例1、[课标全国Ⅱ2018·23]设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.  考点 不等式选讲 32 考法2 数形结合解绝对值不等式 例2、[课标全国Ⅲ2018·23]设函数f (x)＝|2x＋1|＋|x－1|. 考点 不等式选讲 33 考点 不等式选讲 34 考法3 求含参的绝对值不等式的参数范围 例3、[课标全国Ⅰ2017·23]已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|. 考点 不等式选讲 35 考点 不等式选讲 考法3 求含参的绝对值不等式的参数范围 例3、[课标全国Ⅰ2017·23]已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|. 36 考法4 不等式的证明 利用不等式的证明考查变形及转化与化归能力 例4、[课标全国Ⅱ2017·23]已知a>0，b>0，a3＋b3＝2，证明： 考点 不等式选讲 37 例5、[课标全国Ⅱ2016·24]已知函数f(x)＝ M为不等式f(x)＜2的解 集． (1)求M； (2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|. 考点 不等式选讲 38 考点 不等式选讲 例5、[课标全国Ⅱ2016·24]已知函数f(x)＝ M为不等式f(x)＜2的解 集． (1)求M； (2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|. 39 考法5 柯西不等式的应用 例6、[江苏2017·21D]已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明： 考点 不等式选讲