第3练 不等式（提升练）-决胜2021年全国高考数学考前保温练习（江苏等八省市新高考地区专用）（解析版）

决胜 2021 年全国高考数学考前保温练习 第 3 练 不等式（提升练） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1.设 0, 0a b  ，则下列结论错误的是（ ） A． 2 2 1a b a b    B． a b a b   C． 2 1 1 ab a b   D． 1 1 4 a b a b    【答案】D 【解析】对于 A，   2 2 2 2 2 2 1 1 11 1 02 2 2a b a b a a b b a b                        ， 所以 2 2 1a b a b    ，故 A 正确； 对于 B，当 a b 时， 0a b  ， 0a b  ，所以 a b a b   ， 当 a b 时，    2 2 2a b b a b a b b b a b a b b b a             ， 即 a b a b   ，当且仅当 a b 时取等号，故 B 正确； 对于 C， 0, 0a b  ， 2 2 2 1 1 2 ab ab aba b ab a b    ， 当且仅当 a b 时取等号，故 C 正确； 对于 D， 0, 0a b  ，   1 1 2 2 2 4b a b aa b a b a b a b              ， 1 1 4 a b a b     ，当且仅当 a b 时取等号，故 D 错误. 故选：D 2.不等式 2 1 0ax ax   对于任意的 xR 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A． 0,4 B． 0,4 C． 0,4 D．    ,0 4,   【答案】C 【解析】因为不等式 2 1 0ax ax   对于任意的 xR 恒成立， 所以函数   2 1 0f x ax ax    对于任意的 xR 恒成立， 当 0a  时，函数   1 0f x   ，满足题意； 当 0a  时，结合二次函数性质易知， 2 0 4 0 a a a     ，解得 0 4a  ， 综上所述，实数 a 的取值范围是 0,4 ，故选：C. 3.设函数   2 1f x mx mx   ，若对于  1,3x ，   2f x m   恒成立，则实数 m 的取 值范围（ ） A． 3, B． 3, 7     C． ,3 D． 3 ,7     【答案】A 【解析】由题意，   2f x m   可得 2 1 2mx mx m    ，即  2 1 3m x x   ， 当  1,3x 时，  2 1 1,7x x   ，所以 2 3 1m x x    在  1,3x 上恒成立， 只需 2 max 3 1m x x      ，当 1x  时 2 1x x  有最小值为 1，则 2 3 1x x  有最大值为 3， 则 3m  ，实数 m 的取值范围是 3, ，故选：A 4.已知 0x  ， 0y  ， 2 1 1x y   ，若 22 2x y m m   恒成立，则实数 m 的取值范围是 （ ） A． 4m≥ 或 2m   B． 2m  或 4m   C． 2 4m   D． 4 2m   【答案】C 【解析】若 22 2x y m m   恒成立，则  2 min2 2m m x y   ， 因为   4 42 2 2 1 4 2 4 2 2 84 y yx x x y x yx y x y x y                 ， 当且仅当 4 =y x x y ，即 4, 2x y  时取等号． 所以 min 82x y  所以 2 2 8m m  ，即 2 2 8 0m m   ， 解得： 2 4m   ． 故选：C 5.若关于 x 的不等式 2 2 0x ax   在区间 1,5 上有解，则实数 a 的取值范围为（ ） A． 23,5      B． 23,15     C． 1, D． 23, 5      【答案】A 【解析】关于 x 的不等式 2 2 0x ax   在区间[1，5] 上有解， 22ax x   在 [1x ，5] 上有解， 即 2a xx   在 [1x ，5] 上成立； 设函数 2( )f x xx   ， [1x ，5] ， ( )f x 在 [1x ，5]上是单调减函数，又  1 2 1 1f    ，   2 235 55 5f     所以 ( )f x 的值域为 23[ 5  ，1]， 要 2a xx   在 [1x ，5] 上有解，则 23 5a   ， 即实数 a 的取值范围为 23,5      ． 故选： A ． 6.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学 中有着广泛的应用.其定义黎曼函数 ( )R x 为：当 qx p  （ ,p q 为正整数， q p 是既约真分数） 时   1R x p  ，当 0x  或 1x  或 x 为[0,1] 上的无理数时   0R x  .已知 a 、b 、 a b都是 区间[0,1] 内的实数，则下列不等式一定正确的是（ ） A． ( ) ( ) ( )R a b R a R b   B． ( ) ( ) ( )R a b R a R b   C． ( ) ( ) ( )R a b R a R b   D． ( ) ( ) ( )R a b R a R b   【答案】B 【解析】设  | , ,qA x x p qp   为正整数， q p 是既约真分数  ，  | 0B x x  或 1x  或 x 为[0,1] 上的无理数  ，则根据题意有： ①当 a A b A    时，则      R a b R a R b   ，      R a b R a R b   ， ②当 a B b B    时，       0R a b R a R b    ，       0R a b R a R b    ； ③当 a A b B    时，        R a b R a R b R a    ，       0R a b R a R b    ； ④当 a B b A    时，        R a b R a R b R b    ，       0R a b R a R b    综上所述，      R a b R a R b   一定成立. 故选：B. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求,全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分． 7.在下列函数中，最小值是 2 的函数有（ ） A. 2 2 1( )f x x x   B. 1( ) cos (0 )cos 2f x x xx     C. 2 2 4( ) 3 xf x x   D. 4( ) 3 23 x xf x    【答案】AD 【解析】对于选项 A：∵x2＞0，∴由基本不等式可得 2 2 1 2x x   ，当且仅当 2 2 1x x  ，即 x＝1 或 1x   时，等号成立，故 A 正确； 对于选项 B：∵ 0 2x   ，∴0＜ cos x ＜1，由基本不等式可得 1cos 2cosx x   ，当且仅 当 1cos cosx x  ，即 cos 1x  时，等号成立，但是 cos x 取不到 1，所以等号不能成立，故 B 不正确； 对于选项 C：由基本不等式可得 2 2 2 2 2 2 4 3 1( ) 3 2 3 3 3 1x xf x x x x x            ，当 且仅当 2 2 13 3 x x    ，即 2 2x   时，等号成立，显然不可能取到，故 C 不正确； 对于选项 D：∵3x＞0，∴由基本不等式可得 4 4( ) 3 2 2 3 2 23 3 x x x xf x       ，当且 仅当 43 3 x x ，即 x＝log32 时，等号成立，故 D 正确．故选：AD． 8.若 1 11 2 2 b a           ， Rc ，则下列关系式中一定成立的是（ ）． A． 1 1 a b  B． 3 3a b C．    2 2ln 1 ln 1a b   D． 2 2c a c b 【答案】AC 【解析】因为 1 11 2 2 b a           ，由指数函数 1( )2 xy  的性质，可得 0a b  ， 对于 A 中，由 1 1 0b a a b ab    ，可得 1 1 a b  ，所以 A 正确； 对于 B 中，由 0a b  ，可得 3 3a b ，所以 B 不正确； 对于 C 中，由 0a b  ，可得 2 2a b ，根据对数函数的性质，可得    2 2ln 1 ln 1a b   ， 所以 C 正确； 对于 D 中，当 0c = 时，可得 2 2c a c b ，所以 D 不正确, 故选：AC. 9.已知 0, 0a b  ，若不等式 3 1 03 m a b a b    恒成立，则 m 的最大值为（ ）． A． 4 B．16 C．9 D．3 【答案】B 【解析】因为 a>0，b>0，所以由 3 m a b － 3 a － 1 b ≤0 恒成立得 m≤( 3 a ＋ 1 b )(3a＋b)＝10＋ 3b a ＋ 3a b 恒成立．因为 3b a ＋ 3a b ≥2 3 3b a a b  ＝6，当且仅当 a＝b 时等号成立，所以 10＋ 3b a ＋ 3a b ≥16，所以 m≤16，即 m 的最大值为 16，故选：B. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，多空题，第一空 2 分，第二空 3 分，共 20 分． 10.不等式    22 2 2 4 0a x a x     对 Rx 恒成立，则实数 a 的取值范围为_______. 【答案】 2,2 ； 【解析】① 当 2 0a   即 2a  时，不等式显然成立； ② 当 2 0a   ，欲使不等式   22 2 2 4 0a x a x     对 Rx 恒成立，则需满足 2 0 0 a      ，解之 2 2a   ；综合①②，则实数 a 的取值范围为 2,2 . 故答案为： 2,2 11. 已知函数 2( ) ( , )f x x ax b a b R     的值域为 ( ,0] ，若关于 x 的不等式 ( ) 1f x c  的解集为 ( 4, 1)m m  ，则实数 c 的值为____________. 【答案】 21 4  【解析】因为 2 2 2 2( ) ( )2 4 4 a a af x x ax b x b b           ，该函数的值域为 ( ,0] ， 所以 2 04 ab   ， 由 ( ) 1f x c  ，可得 2 21 1 0x ax b c x ax b c           ， 因为 ( ) 1f x c  的解集为 ( 4, 1)m m  ， 所以 4 1m m a    且 ( 4)( 1) 1m m b c      ，消去 m 可得： 2 25 14 a c b    ，而 2 04 ab   ，所以 21 4c   ， 故答案为： 21 4  12.若 10,x e     时，关于 x 不等式 3 2ln 0axax e x  恒成立，则实数 a 的最大值是______. 【答案】2e 【解析】当 0a  ， 10,x e     时， x 不等式 3 2ln 0axax e x  显然恒成立. 当 0a  时， 3 2ln 0axax e x  3 2lnaxax e x   . 由于 10,x e     2 2lnax xaxe x  ，即 2 2l lnnax ax xe e x   . 所以原不等式 3 2ln 0axax e x  恒成立，等价于 2 2lnlnax axe xxe   恒成立. 构造函数 ( ) lnf x x x ，  ' 1 lnf x x  . 易知 ( )f x 在 1(0, )e 上单调递减，在 1( , )e  上单调递增. 则原不等式等价于要证 2(( ) )axf f xe  . 因为 2 2( , )x e   ，要使实数 a 的最大，则应 2axe x . 即 2ln xa x  . 记函数 2ln 1( ) (0 )xg x xx e    ，则 2 2(1 ln )'( ) xg x x   . 易知 10 x e   ， 2 2(1 ln )'( ) 0xg x x    . 故函数 ( )g x 在 1(0, )e 上单调递减，所以 1( ) ( ) 2g x g ee   . 因此只需 2a e . 综上所述，实数 a 的最大值是 2e 。 故答案为：2e 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13.已知函数  2( ) 3f x x ax x R    . （Ⅰ）对任意 xR 时，关于 x 的不等式 ( )f x a 恒成立，求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）存在 ( ,1)x  时，关于 x 的不等式 ( )f x a 有实数解，求实数 a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ） | 6 2a a   ；（Ⅱ） 2a  . 【解析】（Ⅰ）即 2 3 0x ax a    对任意 xR 恒成立， 2 4(3 ) 0a a     ，解得 6 2a   a 的范围是 | 6 2a a   . （Ⅱ）即 2 3x ax a   0 在 ( ,1)x  有解， 设 2( ) 3g x x ax a    ， 依题意有 12 0 a     或 12 (1) 0 a g      ，解得 2a  . 14.设函数 2( ) , , ,f x ax bx c a b c R    . （1）若 1a  ，且关于 x 的不等式 ( ) 0f x  的解集是 1,2 ，解不等式 2 1 0bx cx   ； （2）若 0, 1 , 1a b a c     ，解关于 x 的不等式 ( ) 0f x  ； （3）若 0, ( )a f x 在区间[ 1,0] 上的最大值是 c ，且 (1) ( 3)f f  ，求 2 2 4 53 | |ab au a   的取值范围. 【答案】(1) 1 13     ， (2) 当 1a   时，不等式 ( ) 0f x  ，解集为空集.当 1a   时，不 等式 ( ) 0f x  ，解集为 1 ,1a     ,当 0 1a   时，不等式 ( ) 0f x  ，解集为 11 a     ， ; (3)  0,3 【解析】（1）当 1a  时， 2( )f x x bx c   不等式 2 0x bx c   的解集是 1,2 ，则1,2 是方程 2 0x bx c   的两个实数根. 所以 1+2 1 2 b c      ，所以 3 2 b c     所以不等式 2 1 0bx cx   化为 23 2 1 0x x    ，即 23 2 1 0x x   也即  3 1 1 0x x   ，解得 1 13   x 故不等式的解集为 1 13     ， （2）若 0, 1 , 1a b a c     时，         2 11 1 1 1 1f x ax a x ax x a x xa              当 1a   时，  2( ) 1 0f x x    ，解集为空集. 当 1a   时， 1 1a   ，则    1 1 0f x a x xa        ，即  1 1 0x xa       所以不等式的解集为： 1 ,1a     当 0 1a   时， 1 1a   ，则    1 1 0f x a x xa        ，即  1 1 0x xa       所以不等式的解集为： 11 a     ， 综上：当 1a   时，不等式 ( ) 0f x  ，解集为空集. 当 1a   时，不等式 ( ) 0f x  ，解集为 1 ,1a     当 0 1a   时，不等式 ( ) 0f x  ，解集为 11 a     ， （3）由  f x 在区间[ 1,0] 上的最大值是 c ，且  0f c 所以  1f c  ，即 a b c c   ，则 0a b  ， 由 (1) ( 3)f f  ，可得 9 3a b c a b c     ，即 2b a 又 0a  ，由 0a b  ， 2b a 可得1 2b a   2 2 4 53 | | 3 4 5ab a bu a a       所以 44 8b a   ，则 41 5 3b a     ，所以 0 4 5 3b a     所以 0 3 4 5 3b a      ，所以u 的范围是 0,3