第1练 函数性质（基础练）-决胜2021年全国高考数学考前保温练习（江苏等八省市新高考地区专用）（解析版）

决胜 2021 年全国高考数学考前保温练习 第 1 练 函数性质（基础练） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1.已知函数 2log , 0( ) 3 , 0,x x xf x x    则 1[ ( )]4f f =（ ） A． 1 9 B．9 C． 1- 9 D． 9 【答案】A 【解析】 2 1 1( ) log 24 4f    ， 所以 21 1[ ( )] ( 2) 34 9f f f     ，故选：A． 2. 设 sin 5a  ， 2log 3b  ， 2 31 4c      ，则（ ） A． a c b  B．b a c  C． c a b  D． c b a  【答案】C 【解析】由对数函数 2logy x 在 0,  单调递增的性质得： 2 2log 3 log 2 1b    ， 由指数函数 1 2 x y      在 R 单调递减的性质得： 2 4 13 31 1 1 4 2 2 1 2c                     ， 由三角函数 siny x 在 0, 2      上单调递增的性质得 1sin sin5 6 2a     . 所以 c a b  ，故选:C。 3.已知定义在 R 上的函数   2 xf x x  ，  3log 5a f ， 3 1log 2b f       ，  ln3c f ， 则 a ，b ， c 的大小关系为（ ） A. c b a  B. b c a  C. a b c  D. c a b  【答案】D 【解析】由题意，定义在 R 上的函数   2 xf x x  的定义域为 R ，关于原点对称， 且    2 2x xf x x x f x        ，所以函数   2 xf x x  为奇函数， 所以 3 3 3 1 1(log ) ( log ) (log 2)2 2b f f f     又由当 0x  时，结合初等函数的性质，可得函数   2xf x x  为单调递增函数， 又由对数的运算性质可得 3 3log 2 log 5 ln3  ， 所以 3 3(log 2) (log 5) (ln3)f f f  ，即 c a b  . 故选：D. 4.函数   22 1xf x e x   的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】      2 22 1 2 1x xf x e x e x f x         ，则  f x 是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 C， 当 0x  且 x   ，  f x   ，排除 A， 当 0x  时，   22 1xf x e x   ，则   4xf x e x   ， ∵  0 1 0f    ，  1 4 0f e    ，  10 0f   ，则   0f x  有两个不同的零点， 即当 0x  时，函数至少有三个单调区间，排除 B，故选：D． 5.已知函数   2 4 1, 0 12 , 02 x x x x f x x             ，若关于 x 的方程      1 0f x f x m   恰有 5 个不同的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） A. （1，2） B. （1，5） C. （2，3） D. （2，5） 【答案】A 【解析】由      1 0f x f x m   ，得   1f x  或  f x m ， 作出  y f x 的图象，如图所示，由图可知，方程   1f x  有 2 个实根， 故方程  f x m 有 3 个实根，故 m 的取值范围为 1,2 . 故选：A 6.已知函数 2( ) ln( 1) 2 2x xf x x     ，则使不等式 ( 1) (2 )f x f x  成立的 x 的 取值范围是（ ） A. ( 1) (1, )   ， B. (1,+ ) C. 1( , ) (1,+ )3     D. ( , 2) (1, )   【答案】D 【解析】由 2 1 0x   得 1x   或 1x  ，故函数的定义域为  | 1x x   或 1x  ，且    f x f x  ， 所 以 函 数  f x 为 偶 函 数 ， 且 当 1x  时 ， 令 2 2x xy   ， ' 1 4 12 ln 2 ln 2 02 2 x x x xy         ，所以 2 2x xy   在 1x  时递增，根据复合函数单调 性可知  2ln 1y x  在 1x  时递增，所以函数  f x 在 1x  时递增，故在 1x   时递减. 由 ( 1) (2 )f x f x  可知 1 2 1 1 2 1 x x x x         ，解得 ( , 2) (1, )x    .故选：D. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求,全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分． 7.已知函数 2 1, 0( ) cos , 0 x xf x x x      ， 则下列结论正确的是（ ） A． ( )f x 是偶函数 B． 3( ( )) 12f f   C． ( )f x 是增函数 D． ( )f x 的值域为[﹣1， ) 【答案】BD 【解析】很明显 ( )f x 既不是偶函数，也不是增函数，故选:BD． 8.关于函数     2 1lg 0xf x xx   ，则下列说法正确的是（ ） A．其图象关于 y 轴对称 B．当 0x  时，  f x 是增函数；当 0x  时，  f x 是减函数 C．  f x 的最小值是 lg 2 D．  f x 无最大值，也无最小值 【答案】AC 【解析】函数     2 1lg 0xf x xx   定义域为   0 0 ， ，+ ，又满足    f x f x  ， 所以函数  y f x 的图象关于 y 轴对称，A 正确； 函数     2 1lg 0xf x xx   ，当 0x  时，令 1t x x   ，原函数变为 lgy t ， 1t x x   在  01， 上是减函数，在[1, ) 上是增函数，所以  f x 在  01， 上是减函数，在[1, ) 上 是增函数， 1 2t x x    ，又是偶函数，所以函数  f x 的最小值是 lg 2 ，故 BD 不正确，C 正确;故选 AC． 9.高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一．高 斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．有这样一个函数就是以他 名字命名的：设 xR ，用 x 表示不超过 x 的最大整数，则  ( )f x x 称为高斯函数，又 称为取整函数．如： (2.3) 2f  ， ( 3.3) 4f    ．则下列正确的是（ ） A．函数 ( )f x 是 R 上单调递增函数 B．对于任意实数 a b， ，都有 ( ) ( ) ( )f a f b f a b   C．函数 ( ) ( )g x f x ax  （ 0x  ）有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是 3 4 4 3 4 5 3 2          ， ， D．对于任意实数 x，y，则 ( ) ( )f x f y 是 1x y  成立的充分不必要条件 【答案】BCD 【解析】对于 A 选项，    1 1.2 1f f  ，故 A 错误； 对于 B 选项，令  a a r  ，   ( ,b b q r  q 分别为 a，b 的小数部分 ) ， 可知  0 1r a a  „ ，  0 1q b b  „ ，  0r q  ， 则                    f a b a b r q a b r q a b f a f b              … ，故 B 错误； 对于 C 选项，可知当 1k x k   ， k Z 时，则    f x x k  ， 可得  f x 的图象，如图所示：  函数      0g x f x ax x   有 3 个零点， 函数  f x 的图象和直线 y ax 有 3 个交点，且  0,0 为  f x 和直线 y ax 必过的点， 由图可知，实数 a 的取值范围是  3 4 4 3, ,4 5 3 2     ，故 C 正确； 对于 D 选项，当    f x f y 时，即 r，q 分别为 x，y 的小数部分，可得 0 1r  ，0 1q  ，     1 0 1x y x r y q r q          ； 当 1x y  时，取 0.9x   ， 0.09y  ，可得  1x   ，  0y  ，此时不满足    f x f y ， 故    f x f y 是 1x y  成立的充分不必要条件，故 D 正确；故选:BCD． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，多空题，第一空 2 分，第二空 3 分，共 20 分． 10.已知函数 2 2 3, 1( ) lg( 1), 1 x xf x x x x         ，则 ( )f x 的最小值是______________． 【答案】 2 2 3 【解析】当 1x 时， 2 2( ) 3 2 3 2 2 3f x x xx x         ，当且仅当 2x  时，等号 成立， 当 1x  时， 2 1 [1,2)x   ，所以      2lg 1 0,lg 2f x x   ， 因为 2 2 3 0  ，所以 ( )f x 的最小值是 2 2 3 ． 故答案为: 2 2 3 11.若函数   2 1 1 xf x e x    ，若实数 x 满足    1 3 1f x f x   ，则实数 x 的取值范围 为______________． 【答案】 0 1x  【解析】因为 | | | | 2 2 1 1( ) ( )1 ( ) 1 x xf x e e f xx x         ， 所以 ( )f x 为偶函数，所以 ( ) (| |)f x f x ， 当 0x  时， 2 1( ) 1 xf x e x    为增函数， 所以    1 3 1f x f x   (| 1|) (| 3 1|)f x f x    ， 所以| 1| | 3 1|x x   ，所以 2 2( 1) (3 1)x x   ，即 2 0x x  ，得 0 1x  ． 故答案为: 0 1x  12.已知函数    2 2 1 , 0 log , 0 x xf x x x      ，若方程  f x a 有四个不同的解 1 2 3 4, , , ,x x x x 且 1 2 3 4x x x x< < < ，则  3 1 2 2 3 4 1x x x x x     的取值范围是____________ 【答案】   3 1 2 2 3 4 1 1,1x x x x x      【解析】 2 1log 1 2x x    ．先作  f x 图象， 由图象可得 1 2 3 4 3 12 1 ,1 .2x x x x x         ， ， 因此  3 1 2 32 3 4 3 1 12x x x xx x x       为 1 ,12     单调递减函数 ， 1 1 12 1, 2 1 112 1 2          ，从而    3 1 2 2 3 4 1 1,1x x x x x      ．故答案为:   3 1 2 2 3 4 1 1,1x x x x x      四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13. 已知函数   1 3 x bf x a a    （ 0a  且 1a  ）是奇函数，且 (1) 2f  ． （1）求 ,a b 的值及  f x 的定义域； （2）设函数 ( ) ( ) 2g x kf x  有零点，求常数 k 的取值范围； （3）若 2( 2) ( 3 ) 0f t f t    ，求 t 的取值范围． 【答案】（1） 3a  ， 6b   ， ( )f x 的定义域为 ( ,0) (0, )  ；（2）( 2,0) (0,2)  ； （3） ( 2, 1) (1,2)   . 【解析】（1）由 (1) 2f  得 12 b a   ……① 又 ( )f x 是奇函数， ( 1) (1) 2f f      即 2 33 ab a  ……② 联立①、②并注意到 0a  解得 3a  ， 6b   2( ) 1 3 1xf x    由3 1 0x   得 0x   ( )f x 的定义域为 ( ,0) (0, )  （2） 3, 6a b   ， 3 1( ) ( ) 2 23 1 x xg x kf x k     ( )g x 有零点，即关于 x 的方程 3 1 2 03 1 x xk    有实数解  2(3 1) 3 1 x xk   ( 0)x  有实数解 2(3 1) 423 1 3 1 x x x     ， 3 1 1x   且 3 1 2x    2(3 1)2 23 1 x x    且 2(3 1) 03 1 x x    k 的取值范围是 ( 2,0) (0,2)  （3）先证明函数 2( ) 1 3 1xf x    在 (0, ) 上单调递减 设 0m n  ，则 3 3 1m n  3 1 3 1 0m n     2 2 3 1 3 1m n   ， 2 21 13 1 3 1m n    即 ( ) ( )f m f n 函数 2( ) 1 3 1xf x    在 (0, ) 上单调递减 由 2( 2) ( 3| |) 0f t f t    得 2( 2) ( 3| |)f t f t    又 ( )f x 是奇函数 2( 2) (3| |)f t f t   2 2 3| |t t    1 | | 2t  所以t 的取值范围是 ( 2, 1) (1,2)   14.已知函数  y f x 的图象与    log 0, 1ag x x a a   的图象关于 x 轴对称，且  g x 的图象过点 4,2 . （1）若    3 1 5f x f x    成立，求 x 的取值范围； （2）若对于任意  1,4x ，不等式  2 04 xf x g m      恒成立，求实数 m 的取值范围. 【答案】（1） 1 3,3 2      ；（2） 9 4m  . 【解析】  4 log 4 2ag   ， 2 4a  ， 2a  ，   2logg x x  ； 由已知得   1 2 logf x x ，即   2logf x x  . （1）   1 2 logf x x 在 0,  上单调递减， 3 1 0 5 0 3 1 5 x x x x            ， 解得 1 3,3 2x     ， x\ 的取值范围为 1 3,3 2      . （2）  2 04 xf x g m       ，  2 4 xm f x g       对于任意  1,4x 恒成立等价于   max 2 4 xm f x g        ，    2 22 log 2 log4 4y f xxxx g              ，     2 2 2 2 21 log log 2 log log 2x x x x        ， 令 2logu x ，1 4x  ， 则  0,2u  ， 2 2 1 92 2 4y u u u             ， 当 1 2u  ，即 2 1log 2x  ，即 2x  时 max 9 4y  ， 9 4m  .