五年级下册数学试题学年小学奥数专项训练：巧求表面积全国通用含答案

2021 小学奥数五年级下册数学专项训练：巧 求表面积 我们已经学习了长方体和正方体，知道长方体或正方体六个面面积的 总和叫做长方体或正方体的表面积.如果长方体的长用 a 表示、宽用 b 表 示、高用 h 表示，那么，长方体的表面积=（ab＋ah＋bh）×2.如果正方 体的棱长用 a 表示，则正方体的表面积=6a2.对于由几个长方体或正方体 组合而成的几何形体，或者是一个长方体或正方体组合而面的几何形体， 它们的表面积又如何求呢？涉及立体图形的问题，往往可考查同学们的看 图能力和空间想象能力.小学阶段遇到的立体图形主要是长方体和正方 体，这些图形的特点都是可以从六个方向去看，特别是求表面积时，就是 上下、左右和前后六个方向（有时只考虑上、左、前三个方向）的平面图 形的面积的总和.有了这个原则，在解决类似问题时就十分方便了。 例 1 在一个棱长为 5 分米的正方体上放一个棱长为 4 分米的小正方体（右 图），求这个立体图形的表面积。 分析 我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后 我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好 是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分： 上下方向：大正方体的两个底面， 解：上下方向：5×5×2=50（平方分米）； 侧面：5×5×4＝100（平方分米）， 4×4×4=64（平方分米）。 这个立体图形的表面积为： 50+100+64=214（平方分米）。 答：这个立体图形的表面积为 214 平方分米。 例 2 下图是一个棱长为 2 厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下 挖一个棱长为 1 厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱 分析 这道题的难点是洞里的表面积不易求.在小洞里，平行于上下表面的 所有面的面积和等于边长为 1 厘米的正方形的面积，这个边长为 1 厘米的 正方形再与图中阴影部分的面积合在一起正好是边长为 2 厘米的正方体 的上表面的面积.这个立体图形的表面积分成两部分： 上下方向：2 个边长为 2 厘米的正方形的面积， 解：平行于上下表面的各面面积之和： 2×2×2＝8（平方厘米）； 侧面：2×2×4=16（平方厘米）， 1×1×4＝4（平方厘米）， 这个立体图形的表面积为： 例 3 把 19 个棱长为 1 厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一 个立体图形.求这个立体图形的表面积。 分析 从上下、左右、前后看时的平面图形分别由下面三图表示。 因此，这个立体图形的表面积为： 2 个上面+2 个左面+2 个前面。 解：上面的面积为：9 平方厘米， 左面的面积为：8 平方厘米， 前面的面积为：10 平方厘米。 因此，这个立体图形的表面积为： （9＋8＋10）×2＝54（平方厘米）。 答：这个立体图形的表面积为 54 平方厘米。 例 4 一个正方体形状的木块，棱长为 1 米，沿着水平方向将它锯成 3 片， 每片又按任意尺寸锯成 4 条，每条又按任意尺寸锯成 5 小块，共得到大大 小小的长方体 60块，如下图.问这60 块长方体表面积的和是多少平方米？ 分析 原来的正方体有六个外表面，每个面的面积是 1×1＝1（平方米）， 无论后来锯成多少块，这六个外表面的 6 平方米总是被计入后来的小木块 的表面积的.再考虑每锯一刀，就会得到两个 1 平方米的表面，现在一共 锯了：2+3+4＝9（刀），一共得到 18 平方米的表面.因此，总的表面积为： 6＋（2+3＋4）×2＝24（平方米）。 解：每锯一刀，就会得到两个 1 平方米的表面， 1×2=2（平方米） 一共锯了：2+3＋4＝9（刀）， 得到：2×9＝18（平方米）的表面。 因此，这大大小小的 60 块长方体的表面积的和为： 6＋18＝24（平方米）。 答：这 60 块长方体表面积的和为 24 平方米. 例 5 有一些棱长是 1 厘米的正方体，共 1993 个，要拼成一个大长方体， 问表面积最小是多少？ 解：因为 1993 是一个质数，所以这 1993 个正方体只能摆成长 1993 厘米、宽 1 厘米、高 1 厘米的长方体，因此这个长方体的表面积为： 1993×1×4＋1×1×2＝7974（平方厘米）。 答：摆成的大长方体表面积最小是 7974 平方厘米。 例 6 用 12 个长 5 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米的长方体码放成一个表面积 最小的长方体.码放后得到的这个长方体的表面积是多少？ 分析 用这 12 个长方体可以码放出许多种不同的长方体，当然得到的表面 积就不会相同.我们可以把所有不同情况下的长方体的表面积都计算出 来，再选出最小值，但这样做，会浪费很多时间，情况还不一定考虑得周 全，因此，要考虑有没有巧妙的方法.先重申一下基本原理： 在体积固定的所有长方体中，只有各棱长相等的立方体，其各棱长之 和为最小，其表面积也最小。 因为所给长方体的长、宽、高都已确定，而且已知是 12 个长方体， 所以拼成的这个大长方体的体积就已固定（3×4×5×12＝720 立方厘米）. 因为这个大长方体的体积不是一个立方数，因而不可能使各棱长都相等， 但我们可以使长方体的长、宽、高这三个数尽可能地接近，这样使其各棱 长之和为最小，这个大长方体的表面积也最小。 解：一方面 12=22×3，另一方面，长、宽、高应尽量接近，观察到 720（立方厘米）＝8（厘米）×9（厘米）×10（厘米），并且有 5×2=10 （厘米），4×2=8（厘米），3×3＝9（厘米）. 拼成的大长方体的长、宽、高分别为 10 厘米、8 厘米、9 厘米，这时 长方体的表面积为： （10×9＋10×8＋9×8）×2=484（平方厘米）。 答：码放后得到的这个长方体的表面积为 484 平方厘米。 习题三 1.如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别 为 1 米、2 米、4 米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆， 则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？ 2.将高都是 1 米，底面半径分别是 1.5 米、1 米和 0.5 米的三个圆柱 体如右图所示组成一个物体，求这个物体的表面积（π取为 3.14）。 3.小明小制作时把 6 个棱长分别为 1、2、3、4、5、6（单位：分米） 的正方体按由大到小的顺序码放成一个宝塔，并且把重合部分用胶固定粘 牢，再把所有外露的部分涂上油漆，交给老师.所有涂上油漆部分的面积 是多少平方分米？ 4.有 30 个棱长为 1 米的正方体，在地面上摆成如右图的形式，求这 个立体图形的表面积是多少平方米？ 5.下面（a）中的一些积木是由 16 块棱长为 2 厘米的正方体堆成的， 它的表面积是多少平方厘米？ 6.一个正方体的棱长为 4 厘米，在它的前、后、左、右、上、下各面 中心各挖去一个棱长为 1 厘米的正方体做成一种玩具，求这个玩具的表面 积.如果把本题的条件“4 厘米”改换为“3 厘米”，那么这个玩具的表面 积是多少？（图（b））。 7.下图（c）中是一个表面被涂上红色的棱长为 10 厘米的正方体木块， 如果把它沿着虚线切成 8 个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所 有表面的面积和是多少平方厘米？ 8.有一个棱长为 5 厘米的正方体木块，从它的每一个面看都有一个穿 透“十字形”的孔（如图阴影部分），如果将其全部浸入黄漆后取出，晒 干后，再切成棱长为 1 厘米的小正方体，这些小正方体未被染上黄漆的面 积总和是多少？