研究高考命题，提升复习效率
2021年高考数学复习专题课件★★
一、课程改革新阶段的数学高考命题导向
课程改革进入着眼学生素养提升的新阶段，高
考要坚持素质教育的导向，这是时代的要求。
近年来，高考题回归数学主干，在阅读理解基
础上，突出考查基本知识、
基本技能、基本思想、基本解题经验、
基本策略选择、基本数学素养。
一个基本特色，即难题也不偏不怪，很基本。
以2020年考题为例：
2020全国数学课标数学卷理1：
3题，金字塔---正四棱锥模型，求侧面三角形底
边上的高与底面正方形的边长的比值
考查阅读、抽象构图能力，以及直角三角形中的
基本计算。
2020年简答题出的很平实，但不俗。
17题数列
18题立体几何
19题概率（独立重复事件）
20题解析几何
上述题目上手都不难。
点评：
（1）利用导数研究单调性、极值(最值)、含切线
备考的重中之重；
（2）导数作为压轴题的位置不易改变，往往在含
参问题；分类讨论；导函数无法求零点，如何利
用构造新函数、二次求导等方法解决问题，等方
面设计难点。
（1）绝大多数题目回归基本概念、基本技
能、基本素养的考查，不挖坑埋雷。
（2）简答题除题序有变外，结构稳定，层
次感强，便于学生分步得分。
（3）即使求新、求变的题，也不偏不怪，
无需题海战术应对，性价比太低。
有效的途径在于，解题教学过程，学生最
大限度的主动参与、内化总结与反思，不
断提升数学悟性。
（4）预测未来数学高考绝对难度趋稳，继
续加大素质教育的导向力度，在阅读理解、
画图预测、基本运算、推理与构造、基本方
法、基本策略等诸方面，综合考查学生的数
学素养。
入口偏窄，方法别致的问题不会考。
（5）对于中等生来说，最保守计算，2020
高考选填题错4道，得60分问题不大；
数列、立体几何、加二选一共每题扣3分，
得25分；
概率、解析、导数题得15分；总分达到100
分，不是很高要求。
但我相信，很多学校达不到这样的平均成绩。
如此考风，就全国范围看，高考成绩两极分
化趋势明显。一个地区，基础中等或偏下学
校的老师往往比优质校还累，但效率低下。
所以，从一定意义上说，只要把基础中等或
偏下学校抓好了，高考工作就做好了。
两极分化的关键在于大量的基础校，容易题
会而不对，对而不全。
什么原因造成容易题会而不对，对而不全？
数学教学如果能解决这个问题，并在此基础
上培优，才不是“空中楼阁”。
根据上述分析，全面提升高考成绩，数学的着
力点应该放在解决基本题会而不对，对而不全
上。
那么，是什么原因，造成高考成绩不尽理想，
尤其是基本题会而不对，对而不全。
二、什么原因造成高考成绩不尽理想
对优等生来说，“两年新课”无障碍， “一年复
习”无异于花岗岩上盖茅草屋。
对后进生来说，“两年新课”似蜻蜓点水，“一年
复习”疲于奔命，统一检测，类似陪绑。
另外，不论什么学生，当前解题教学，普遍存在概
念理解不够，缺乏稳定的思想方法支撑解题策略，
缺乏回味反思，内化程度不高的问题，这一定是基
本题会而不对、对而不全的原因之一。
1、“两年新课、一年复习”的模式
面对高三一年的复习时间，缺少阶段性规
划
一轮、二轮复习的目的、意义不清楚，无
层次感，一本复习参考书滚动用。
夹生饭反复炒。
这也一定是基本题会而不对、对而不全的
原因之一。
（1）理念上过分依赖“题型覆盖”，希望以熟
面孔取胜，缺乏解题研究的心态，生题不难，却
束手无策。受惯性理念的影响，有的老师离开与
考点、知识点对应的习题训练，不会上复习课。
（2）实践上忽略概念、重视解题技巧的问题，
大量存在，课堂上，热衷“大容量、高起点、
快推进”的复习模式，内化程度严重不足。
（3）高三复习用书的教辅作用推波助澜，繁琐
的章节编排，条分缕析的题型训练，导致题海泛
滥。如此复习的效率，需要客观分析。
正面作用--通过复习，多数学生凭借大量
题型训练，基本实现了对知识与技能的覆
盖，能够模仿一些题型的解法，去应对一
些熟悉的题型。
负面影响---碰上不熟悉的题型，绝难做
到凭借相对稳定的思想方法，以研究者的
心态，独立思考、攻坚克难，平时作业还
可以消极的等待外援，但考场上，题型一
变，即使很容易，也往往束手无策。
尤其是当前高考题，回归“基本”，能说
出的题型特征，越来越不明显。
所以，依靠题型覆盖，淡化数学系统功能
的教学方法，其正面效果不断减损，负面
影响不断加强。
1、弹性履行“二年新课、一年复习”的模
式
就高三来说，不同的生源，需要不同的复习
时间，一刀切的方法一定不科学；
有些一学就会，一撂就忘的内容可以放高三
学习，不必学习新课与复习，两遍处理。
就高一、高二的教学来说，要顺利实现三年
功课两年完，教学就要突出“走大路”原则：
即“走大路，不向两边看，或少向两边看，
或多向两边看”。
其中“走大路”意指，知识的教学不走岔路、
小路，完成知识主干脉络的学习，进行最基
本的技能训练，落实通性通法。
“不向、少向、多向两边看”意指，根据生
源情况，选择性地控制教学中的综合程度。
例如，在基础最薄弱的班级可“不往两边看”，
即在教学中，突出重点，大幅降低综合程度，严
格筛选训练题，以巩固基本技能、不影响后续学
习为度，甚至在必要时，适度缩小知识外延，以
确保进度与大家一致。
对于基础中等或略好的班级，在“走大路”基础
上，根据学生实际，在“少向两边看”或“多向
两边看”上适度调剂，以确保进度的一致。
我们“不向、少向两边看”的目的，都是为了把
“大路”走好，确保落实“双基”，教学中可根
据学生接受情况，灵活把握。
课标卷彰显初中、高中数学，浑然一体、融
会贯通的特色，足以说明我们“走大路”的
教学，一定要强调从哪里来，到哪里去，从
知识结构上完整地把握中学数学。
但在教学实践中，能够做到完整的“走大
路”，并非易事。
按理说，在学生的固有经验中，解三角形的
方法首先是“作某边的高线”，把斜三角形
转化为直角三角形问题。
而正弦定理、余弦定理，是解三角形工具技
术革新的产物，其优势是广泛的，但此题使
用却像是“牛刀宰蚊子”。
从此例几乎没人想到运用初中方法求解，足
以说明，知识的教学，“走大路”能够“走
完整”，不“掐头去尾取中段”，很不容易。
如此执教，高考一定占优。
复习好比“盖大楼”，离不开三部曲：
打地基、建主体、精装修
第一轮复习相当于“打地基”；
第二轮复习相当于“建主体”；
第三轮复习相当于“精装修”。
① 强调整体布局、构建网络，相关概念逻
辑化与相关知识的结构化；
② 强调主干问题反映基本规律、通性通法，
“小问题、大道理”；
③ 控制难度，降低起点与综合性，深化概
念理解，落实通性通法，根往下扎；
④克服“见木不见林”弊端，帮学生树立
“战略上藐视敌人”的信心。
专题练习、适度综合、
巩固知识、熟练技法、
提炼思想、发展能力。
从心理上帮学生树立“战术上重视敌人”
的观念。
热身练习、教学诊断、
查漏补缺、细致讨论、
有错必究、考前辅导。
所以，三个轮次的复习目的要求不一，内容
错落有别，难度循序渐进，而不是简单地重
复，更不是“夹生饭”反复炒。
纵观三轮复习，运用教辅资料进行二、三轮复习，
影响不大。问题出在一轮复习。
按照“打地基”的要求做一轮复习，需要追求知识
的逻辑化、结构化把握，尤其体现控制习题难度，
降低技能、技巧的要求，深化理解基本概念和落实
通性通法的教学意图。
但是绝大多数教辅书的编写，不一定凸显这样的理
念。
所以，一轮复习的备课需要教师做深度的加工和再
创造。
逻辑化（纵向推理，特别是一轮）、结构化（横向
联系，特别是一轮）、层级化（技能训练回归主干、
落实通法、从易到难、因材施教。特别是一轮），
并体现如下原则：
①遵循基础性、兴趣性、量力性原则
（尊重学生基础，着眼广泛参与）
②数形结合，把观察猜想与推理论证结合
（着力数学学习方法的精髓）
③经典问题都要反映通性通法、主干技能
（以通性通法为本，提升教学效益）
④突出专题靶向作用，集中火力，培养习惯，纠正
错误。（伤十指，不如断一指）
一轮复习，要关注联系、控制难度、小问题、
大道理、体现三化。举几个示例。
通常，一提到逻辑化与结构化，就想到系列
定理与知识框图的展示与记忆，其实，罗列
式的复习，效果甚微。
不如在“问题解决”实战中，体现“三化”。
3、一轮复习案例举要
问题2、当a>0时，与“方程ax2+bx+c=0无实根”
等价的命题有哪些？
沟通两定理的联系，分析正弦定理、余弦定
理解决同一个问题的有效性，符合一轮复习
追求结构性把握的意图；
沟通联系可有两个途径：
其一，通过具体题目用多种方法解决；
其二，证明正、余弦定理等价。
例2：证明正、余弦定理等价
虽有一定难度，但恰好是对一轮复习降低综
合性要求的弥补，而化简、等价变形能力是
学好数学之本，可谓“难得其所”；
另外，推证过程如运用“分析与综合”等推
理方法，完全可回避和差化积，只需和角公
式、同角的平方关系、因式分解等技能即可
完成。
按照突出主干、通性通法、追求结构化的构
想，进行整章设计，根据当前考风，按某些
教辅书的顺序，严重影响复习效率。
设计要体现三个基本：
基本思想--用代数方法解决几何问题；
基本方法---坐标法（三部曲）
基本研究对象---几何问题主要分为四个层级：
（1）定点问题（中点、定比分点，对称点，
利用向量）
（2）动点轨迹问题（利用轨迹研究几何性质）
（3）直线与曲线的位置关系；
（4）运用函数思想解决几何问题。
这样设计，即展示层级，又有利于结构性把
握。
让学生感悟坐标法三步曲的优势，领会坐标法与综
合法的区别，享受“牛刀宰蚊子” 的快感，以极大
提高兴趣。
第一类：运用坐标法（结合向量），计算定点坐标；
第二类：论证三点共线（向量工具）；
第三类：证明一些简单的几何命题。
如：三角形中位线定理；平行四边形对角线互相平
分；等等
再如，求证三角形ABC的中位线平行于第三边，且等
于第三边的一半。
把直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线求轨迹问题放
在一起复习。
深化求轨迹的方法是对运动不变量的代数刻画（几
何条件代数化）。
直线的运动不变量是什么？斜率！以已知两点求斜
率公式为基础，强化点斜式奠基作用
把据条件求轨迹，反之利用轨迹方程研究曲线性质
结合复习，例如：直线的倾斜角、截距，曲线的长
短轴、顶点、离心率、渐近线等。
三个层次：
其一，研究直线间位置关系（平行、垂直、
相交），
其二，研究直线与圆的位置关系（运用几何
性质和一般代数方法）
其三，研究直线与一般圆锥曲线的位置关系。
三个层级，既独立，又整体，给学生渐次提
升的整体观。
第一类：涉及圆锥曲线性质的计算
通常根据a,b,c关系，构建方程组模型，求
离心率，渐近线等。
第二类：研究直线与一般圆锥曲线的位置关
系，要落实计算能力的培养，可从最简单的
问题入手。
例如，下气力解决求弦长问题：
①定直线与定圆、定椭圆相交，求弦长；
②直线y=x+b,y=kx+1,当b,k为何值时，与定
圆、定椭圆相交、相离、相切？弦长为某定
长？
③利用定义、相似比降维，简化运算。
又如，利用方程组解决问题，落实生成性方
法，与待定性方法（见数学通报2014.12期：
坐标法技能之我见）。
例：已知在单位圆O中，A，P，Q是圆周上任意三点。
请用坐标法求证：
AP⊥AQ的充要条件是PQ为圆O的直径。
意图：①如何建系？原点一定选在圆心，A,P,Q选一
点在坐标轴不失一般性，选两点失一般性，选AO为x
轴合理。
② 生成特征的解法
③ 待定特征的解法
④ 总结解析几何的主要解题方法
⑤ 复习充要条件。
本例首先要选择位置建系，如果以直线AO为
x轴，建立直角坐标系，有如下方法
（1）由垂直证直径：
方法①（生成特征）设AP:y=k(x+1)，求点P
坐标，类比点Q坐标，证P,O,Q共线；
方法②（待定特征）设P(x1,y1),Q(x2,y2),利
用点在圆上和垂直条件，证P,O,Q共线；
（2）由直径证垂直：
方法①（生成特征）设PQ:y=kx,求坐标，证AP⊥AQ;
（补斜率不存在情况）
方法②（待定特征）设P(x1,y1),据PQ是直径则P,Q关
于原点中心对称，推出Q(-x1,-y1)，证AP ⊥AQ。
注意：两种方法对比，待定方法更容易利用“直径
等价于垂直”证明。但往往对代数式恒等变形能力
要求较高
还可以直线PQ为x轴建系，相应得解。
如学生情况容许，可研究下面三例：
例：用解析法证明：在点P(1,-1)到直线x+y+2=0任
意点的连线中，垂线段最短。
此题需要（1）设Q(m,n)为直线上任意一点，消元，
用n表示m；
（2）构建函数|PQ|=f(n),求最小值点，并求点Q坐
标；
（3）证明直线PQ是已知直线的垂线。
例1：设直线y=kx与椭圆
相交弦长为d 。
求证：2
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