宣武高三一模(数学理)有答案

北京市宣武区 2009—2010 学年度高三第二学期第一次质量检测 数 学 试 题（理） 2010．4 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，全卷满分 150 分，考试时 间为 120 分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分；在每个小题给出的四个选项中， 有且只有一个是符合题目要求的） 1．设集合 3.02 2},032|{  mxxxP ，则下列关系中正确的是 （ ） A． Pm  B． Pm  C． Pm }{ D． }{m   2．设平面向量 |3|,//),,2(),2,1( bay  则若 baba 等于 （ ） A． 5 B． 6 C． 17 D． 26 3．若复数 z 满足 ,21 ii z  则 z 对应的点位于 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．设函数 ,)2 1()( 23  xxxf 则其零点所在的区间为 （ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 5．若 }{ na 为等差数列， nS 是其前 n 项和，且 3 22 11 S ，则 6tan a 的值为 （ ） A． 3 B． 3 C． 3 D． 3 3 6．若椭圆 1 22  n y m x 与双曲线 qpnmq y p x ,,,(1 22  均为正数）有共同的焦点 F1，F2， P 是两曲线的一个公共点，则 |||| 21 PFPF  等于 （ ） A． 2mp  B． mp  C． pm  D． 22 pm  7．某单位员工按年龄分为 A，B，C 三级，其人数之比为 5：4：1，现用分层抽样的方法从 总体中抽取一个容量为 20 的样本，已知 C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是 ,45 1 则该 单位员工总数为 （ ） A．110 B．100 C．90 D80． 8 ． 设 函 数 )(xfy  的 定 义 域 为 R+ ， 若 对 于 给 定 的 正 数 K ， 定 义 函 数      ,)(),( ,)(,)( Kxfxf KxfKxf K ，则当函数 1,1)(  Kxxf 时，定积分 2 4 1 )( dxxf k 的值为 （ ） A．2ln2+2 B．2ln2-1 C．2ln2 D．2ln2+1 第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分） 9．把容量是 100 的样本分成 8 组，从第 1 组到第 4 组的频数分别是 15，17，11，13，第 5 组到第 7 组的频率之和是 0.32，那么第 8 组的频率是 . 10．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 cm3. 11．若 A，B，C 是⊙O 上三点，PC 切⊙O 于点 C，  40,110 BCPABC ，则 AOB 的大小为 . 12．若直线 03:  yxl 与曲线        sin2 cos2: y axC （ 为参数， 0a ）有两个公共点 A，B，且|AB|=2，则实数 a 的值为 ；在此 条件下，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线 C 的极坐 标方程为 . 13．若 A，B，C 为 ABC 的三个内角，则 CBA  14 的最小值为 . 14．有下列命题： ①若 )(xf 存在导函数，则 ;)]'2([)2(' xfxf  ②若函数 ;)]'2([)12(',sincos)( 44 xfhxxxh  则 ③若函数 )2100)(2009()2)(1()(  xxxxxg  ，则 ;!2009)2010(' g ④若三次函数 ,)( 23 dcxbxaxxf  则 "0"  cba 是“ )(xf 有极值点”的充 要条件. 其中真命题的序号是 . 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 80 分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题共 13 分） 已知函数 .cossin)32cos()( 22 xxxxf   （I）求函数 )(xf 的最小正周期及图象的对称轴方程； （II）设函数 ),()]([)( 2 xfxfxg  求 )(xg 的值域. 16．（本小题共 13 分） 如图，在四棱锥 P—ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，∠ABC= ∠BAD=90°， EADBCPBPA .2 1 为 AB 中点，F 为 PC 中点. （I）求证：PE⊥BC； （II）求二面角 C—PE—A 的余弦值； （III）若四棱锥 P—ABCD 的体积为 4，求 AF 的长. 17．（本小题共 13 分） 某公司要将一批海鲜用汽车运往 A 城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销 售收入 30 万元，每提前一天送到，或多获得 1 万元，每迟到一天送到，将少获得 1 万 元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路 1 或公路 2 中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示. 统计信息 汽车行驶 路线 不堵车的情况 下到达所需时 间（天） 堵车的情况下 到达所需时间 （天） 堵车的概率 运费（万元） 公路 1 2 3 10 1 1.6 公路 2 1 4 2 1 0.8 （I）记汽车走公路 1 时公司获得的毛利润为 （万元），求 的分布列和数学期望 ;E （II）假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？ （注：毛利润=销售收入-运费） 18．（本小题共 13 分） 已知函数 ).,()1(3 1)( 223 R babxaaxxxf （I）若 x=1 为 )(xf 的极值点，求 a 的值； （II）若 )(xfy  的图象在点（1， )1(f ）处的切线方程为 03  yx ， （i）求 )(xf 在区间[-2，4]上的最大值； （ii）求函数 )(])2()('[)( R  memxmxfxG x 的单调区间. 19．（本小题共 14 分） 已知椭圆 )0(12 2 2 2  ba b y a x 的离心率为 .3 6 （I）若原点到直线 0 byx 的距离为 ,2 求椭圆的方程； （II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为 45 的直线l 和椭圆交于 A，B 两点. （i）当 3|| AB ，求 b 的值； （ii）对于椭圆上任一点 M，若 OBOAOM   ，求实数 , 满足的关系式. 20．（本小题共 14 分） 已知数列 }{ na 满足 11 a ，点 ),( 1nn aa 在直线 12  xy 上. （I）求数列 }{ na 的通项公式； （II）若数列 }{ nb 满足 ),2(111, * 121 11 Nnnaaaa bab nn n   且 求 11 )1(   nnnn abab 的值； （III）对于（II）中的数列 }{ nb ，求证： nn bbbbbb  2121 3 10)1()1)(1(  ).( *Nn  参考答案 一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分；在每个小题给出的四个选项中， 有且仅有一个符合题目要求的） 1—4 DABB 5—8 CCBD 二、填空题（本大题共有 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分） 9．0.12 10．6 11．60° 12． 02cos4,2 2   13．  9 14．③ 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 80 分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题满分 13 分） 解：（I） xxxxxf 22 cossin2sin2 322 1)(  )62sin(2cos2sin2 32cos2 1  xxxx ∴最小正周期   2 2T 由 )(262 Zkkx   ， 得 )(32 Zkkx   函数图象的对称轴方程为 ).(32 Zkkx   …………7 分 （II） .4 1]2 1)62[sin()62sin()62(sin)()]([)( 222   xxxxfxfxg 当 2 1)62sin(  x 时， )(xg 取得最小值 4 1 ， 当 1)62sin(  x 时， )(xg 取得最大值 2，所以 )(xg 的值域为 ].2,4[  …………13 分 16．（本题满分 13 分） 解：（I） ABCDBCABCDPA 平面平面  , ∴PA⊥BC ,90ABC ABBC  ∴BC⊥平面 PAB 又 E 是 AB 中点，  PE 平面 PAB ∴BC⊥PE. …………6 分 （II）建立直角坐标系 ,1,  ABxyzA 设 则 B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1）， )0,0,2 1(E )0,1,2 1(),1,0,2 1(),0,1,0(  ECEPBC 由（I）知，BC⊥平面 PAE， BC 是平面 PAE 的法向量. 设平面 PEC 的法向量为 ),,,( zyxn  则 00  EPnECn 且 )1,1,2(,2 1,2 1  nxzxy ,6 6| |||| |cos    BCn BCn 二面角 C—PE—A 的余弦值为 .6 6 …………10 分 （III）连结 BC，设 AB=a， 2,422 2 3 1 3  aaaaaaV ABCDP PAC 是直角三角形， .32 1  PCAF …………13 分 17．（本题满分 13 分） 解：（I）汽车走公路 1 时不堵车时获得的毛利润 4.286.130  万元 堵车时公司获得的毛利润 4.2716.130  万元 ∴汽车走公路 1 时获得的毛利润 的分布列为  28.4 27.4 P 10 9 10 1 3.2810 14.2710 94.28  E 万元 …………6 分 （II）设汽车走公路 2 时获得的毛利润为 万元 不堵车时获得的毛利润 2.3018.030  万元 堵车时的毛利润 2.2728.030  万元 ∴汽车走公路 2 时获得的毛利润 的分布列为  30.2 27.2 P 2 1 2 1 7.282 12.272 12.30  E 万元  EE  ∴选择公路 2 可能获利更多. …………13 分 18．（本题洪分 13 分） 解：（1） .12)( 22  aaxxxf 1x 是极值点 0)1(  f ，即 022  aa 0 x 或 2.…………………………………………………………3 分 （2） ))1(,1( f 在 03  yx 上. 2)1(  f ∵（1，2）在 )(xfy  上 baa  13 12 2 又 11211)1( 2  aakf 3 8,10122  baaa .2)(,3 8 3 1)( 222 xxxfxxxf  （i）由 0)(  xf 可知 x=0 和 x=2 是 )(xf 的极值点. ,8)4(,4)2(,3 4)2(,3 8)0(  ffff )(xf 在区间[－2，4]上的最大值为 8.…………………………8 分 （ii） xemmxxxG  )()( 2 ])2([)()2()( 22 xmxemmxxeemxxG xxx   令 0)(  xG ，得 mxx  2,0 当 m=2 时， 0)(  xG ，此时 )(xG 在 ),(  单调递减 当 2m 时： x (－∞，2，－m) 2－m （2－m，0） 0 （0，+∞） G′（x） － 0 + 0 － G（x） 减 增 减 当时 G（x）在（－∞，2，－m），（0，+∞）单调递减，在（2－m，0）单调递增. 当 2m 时： x （－∞，0） 0 （0，2－m） 2－m （2－m+∞） G′（x） － 0 + 0 － G（x） 减 增 减 此时 G（x）在（－∞，0），（2－m+∞）单调递减，在（0，2－m）单调递增，综上所 述：当 m=2 时，G（x）在（－∞，+∞）单调递减； 2m 时，G（x）在（－∞，2－m），（0，+∞）单调递减，在（2－m，0）单调递增； 2m 时，G（x）在（－∞，0），（2－m，+∞）单调递减，在（0，2－m）单调递增. ………………………………………………………………13 分 19．（本题满份 14 分） 解：（1） 22 2  bbd 3 2 3 6 2 2  a c a ce 22222 3 24 aacba  解得 .4,12 22  ba 椭圆的方程为 .1412 22  yx …………………………………………4 分 （2）（i） .23 2,3,3 6 2 22222 bacbac  椭圆的方程可化为： 222 33 byx  ① 易知右焦点 )0,2( bF ，据题意有 AB： bxy 2 ② 由①，②有： 03264 22  bbxx ③ 设 ),(),,( 2211 yxByxA ， 334 2424 4872)11()()(|| 2 2 2 22 22 12 2 12  bbbbyyxxAB 1b …………………………………………………………8 分 （2）（ii）显然OA 与OB 可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一 平面内的向量OM ，有且只有一对实数λ，μ，使得等 OBOAOM   , 成立. 设 M（x，y）， ,,),,(),(),( 21212211 yyyxxxyxyxyx   又点 M 在椭圆上， 22 21 2 21 3)(3)( byyxx   ④ 由③有： 4 3, 2 23 2 2121 bxxbxx  则 2 212121212121 6)(234)2)(2(33 bxxbxxbxbxxxyyxx  0693 222  bbb ⑤ 又 A，B 在椭圆上，故有 22 2 2 2 22 1 2 1 33,33 byxbyx  ⑥ 将⑥，⑤代入④可得： .122   ………………………………14 分 20．（本题满分 14 分） 解：（1）∵点 ),( 1nn aa 在直线 12  xy 上， ,121   nn aa }1{),1(211   nnn aaa 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， ).(12  Nna n n ………………………………………………3 分 （2） 2(111 121   naaaa b nn n  且 ) Nn ， nn n n n nnn n aa b a b aaaaa b 1,1111 1 1 1211 1       2(0)1( 11   nabab nnnn 且 ) Nn ； 当 n=1 时， .3)1( 2112  abab …………………………7 分 （3）由（2）知 22 11 ),2(1 abna a b b n n n n   )11()11)(11( 21 nbbb   1 1 1 3 2 2 1 12 2 1 1 11111111     n n n n n n n bb b b b b b b b bb b b b b b  )111(2211 211 1 1 1 1 4 3 3 2 2 1 1 nn n n n n n n aaaa bba a a a a a a a b b b        2k 时， ) 12 1 12 1(2 )12)(12( 2 )12)(12( 12 12 1 11 1 1 1              kkkk k kk k k 12 1 3 11111 21   n naaa  3 5) 12 1 3 1(21)] 12 1 12 1() 12 1 12 1[(21 1132             nnn ， 3 10)11()11)(11( 21  nbbb  ， 即 .3 10)1()1)(1( 2121 nn bbbbbb   …………………………14 分