北京市朝阳区
2009—2010 学年度高三年级第二学期统一考试（一）
数学试题（理工类）
2010.4
（考试时间 120 分钟 满分 150 分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．复数
21
1 i
i
等于 （ ）
A．
2
1 i B．
2
1 i C．－
2
1 D．
2
1
2．右图是 2010 年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中 m
为数字 0—9 中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均
数分别为 21,aa ，则一定有 （ ）
A． 21 aa
B． 12 aa
C． 21 aa
D． 21,aa 的大小与 m 的值有关
3．下列函数中，最小正周期为 ，且图象关于直线
3
x 对称的是 （ ）
A． )62sin( xy B． )32sin( xy
C． )32sin( xy D． )62sin( xy
4．一个简单几何体的正视图，侧视图如图所示，则
其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；
④椭圆。其中正确的是 （ ）
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
5．在区间 ][ ， 内随机取两个数分别记为 ba, ，则使得函数 22 2)( baxxxf 有
零点的概率为 （ ）
A．
8
7 B．
4
3 C．
2
1 D．
4
1
6．已知点 )0,0(1)4,3( 2
2
2
2
ba
b
y
a
xP 是双曲线 渐近线上的一点，E，F 是左、右两
个焦点，若 0 FPEP ，则双曲线方程为 （ ）
A． 143
22
yx B． 134
22
yx C． 1169
22
yx D． 1916
22
yx
7．设 },min{ qp 表示 ,p q 两者中较小的一个，若函数 }log,log2
13min{)( 22 xxxf ，
则满足 xxf 的1)( 的取值范围是 （ ）
A．（0，2） B．（0，+∞） C． ),16()2,0( D． ),16
1(
8．一个空间四边形 ABCD 的四条边及对角线 AC 的长均为 2 ，二面角 D—AC—B 的余弦
值为
3
1 ，则下列论断正确的是 （ ）
A．空间四边形 ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 3
B．空间四边形 ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 4
C．空间四边形 ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 33
D．不存在这样的球使得空间四边形 ABCD 的四个顶点在此球面上。
第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
9．已知圆的极坐标方程为 cos2 ，则圆心的直角坐标是 ；半径长为 .
10．圆 422 yx 被直线 0323 yx 截得的劣弧所对的圆心角的大小
为 .
11．已知向量 baba 则),cos,1(),1,sin3( 的最大值为 .
12．如图，圆 O 是 ABC 的外接圆，过点 C 的切
线交 AB 的延长线于点 D， 3,72 BCABCD ，
则 BD 的长为 ；AC 的长为 .
13．右边程序框图的程序执行后输出的结果是 .
14．一个数字生成器，生成规则如下：第 1 次生成一个数 x ，
以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数 x 生成两
个数，一个是－x，另一个是 x+3，设第 )( *Nnn 次生成
的数的个数为 na ，则数列 }{ na 的前 n 项和 nS ；
若 1x ，前．n 次生成所有数．．．．．．中不同的数的个数为
4, TTn 则 .
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，
证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分 13 分）
在 ABC 中，角 A、B，C，所对的边分别为 cba ,, ，且 .5
5sin,4
3 AC
（1）求 Bsin 的值；
（2）若 105 ac ，求 ABC 的面积。
16．（本小题满分 13 分）
在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命
中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮。现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲
和乙每次投篮命中的概率分别是
2
1
3
1， 。两人投篮 3 次，且第一次由甲开始投篮，假设
每人每次投篮命中与否均互不影响.
（1）求 3 次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；
（2）若投篮命中一次得 1 分，否则得 0 分，用 表示甲的总得分，求 的分布列和数学
期望。
17．（本小题满分 14 分）
如图，在三棱柱 ABC—A1B1C1 中，每个侧面均为正方形，D 为底边 AB 的中点，E 为
侧棱 CC1 的中点。
（1）求证：CD//平面 A1EB；
（2）求证： 1AB 平面 A1EB。
（3）求直线 EB1 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值。
18．（本小题满分 13 分）
已知函数 bamxbaxmxxf ,,,)1(3)( 22
3
R
（1）求函数 )(xf 的导函数 )(xf ；
（2）当 1m 时，若函数 )(xf 是 R 上的增函数，求 baz 的最小值；
（3）当 2,1 ba 时，函数 )(xf 在（2，+∞）上存在单调递增区间，求 m 的取值范
围.
19．（本小题满分 13 分）
已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为
2
1 ，且经过点 )2
3,1( ，过点 P（2，
1）的直线l 与椭圆 C 在第一象限相切于点 M .
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）求直线 l 的方程以及点 M 的坐标；
（3））是否存过点 P 的直线 1l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A、B，满足
2
PMPBPA ？
若存在，求出直线 l1 的方程；若不存在，请说明理由.
20．（本小题满分 14 分）
若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列。已知
数 列 }{ na 是 调 和 数 列 ， 对 于 各 项 都 是 正 数 的 数 列 }{ nx ， 满 足
)( *
21
21 Nnxxx nAA n
n
n
n
n
n
（1）求证：数列 }{ nx 是等比数列；
（2）把数列 }{ nx 中所有项按如图所示的规律排成一个三角
形数表，当 128,8 73 xx 时，求第 m 行各数的和；
（3）对于（2）中的数列 }{ nx ，
证明： .21
1
1
1
1
1
3
1
2 13
2
2
1 n
x
x
x
x
x
xn
n
n
参考答案
一、选择题：
1—5DBDBB 6—8CCA
二、填空题：
9．（1，0） 1 10．
3
11．2 12．4
2
73 13．625 12 n
14．
)3(64
)2(3
)1(1
nn
n
n
三、解答题：
15．解：（1）因为
5
5sin,4
3 AC
所以
5
52sin1cos 2 AA
由已知得 AB
4
.
所以 AAAB sin4coscos4sin)4sin(sin
10
10
5
5
2
2
2
52
2
2 ……………………………………………………5 分
（2）由（1）知
4
3C 所以
2
2sin C 且
10
10sin B .
由正弦定理得
5
10
sin
sin
C
A
c
a .
又因为 105 ac ，所以 10,5 ac .
所以
2
5
10
105102
1sin2
1 BacS ABC ………………………………13 分
16．（1）解：记“3 次投篮的人依次是甲、甲、乙”为事件 A
由题意，得
9
2
3
2
3
1)( AP
答：3 次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是
9
2 ………………………………5 分
（2）解：由题意 的可能有取值为 0，1，2，3，则
9
5
3
2
2
1
3
2
2
1
3
2)0( P ,
3
1
3
2
3
1
3
1
2
1
3
2)1( P .
27
2
3
2
3
1
3
1)2( P ,
27
1
3
1
3
1
3
1)3( P .
所以 的分布列为
0 1 2 3
P
9
5
3
1
27
2
27
1
的数学期望
27
16
27
1327
223
119
50 E . ………………………13 分
17．解法一：证明：（1）设 AB1 和 A1B 的交点为 O，连接 EO，连接 OD，
因为 O 为 AB1 的中点，D 为 AB 的中点，
所以 OD//BB1，且 12
1 BBOD 又 E 是 CC1 中点，
则 EC//BB1 且 12
1 BBEC ，
所以 EC//OD 且 EC=OD.
所以四边形 ECDO 为平行四边形，所以 EO//CD.
又 CD 平面 A1BE， EO 平面 A1BE，
则 CD//平面 A1BE ……………………5 分
（2）因为三棱柱各侧面都是正方形，
所以 BCBBABBB 11 , ，
所以 BB1 平面 ABC
因为 CD 平面 ABC，所以 BB1 CD
由已知得 AB=BC=AC，
所以 CD AB
所以 CD 平面 A1ABB1。
由（1）可知 EO//CD，
所以 EO 平面 A1ABB1，
所以 EO AB1
因为侧面是正方形，所以 AB1 A1B
又 EOOBAEO ,1 平面 A1EB，
BA1 平面 A1EB
所以 AB1 平面 A1BE. ……………………………………………………10 分
（3）解：取 A1C1 中点 F，连接 B1F，EF
在三棱柱 ABC—A1B1C1 中，
因为 1BB 平面 ABC
所以侧面 11 AACC 底面 A1B1C1
因为底面 A1B1C1 是正三角形，且 F 是 A1C1 中点，
所以 B1F⊥A1C1，所以 B1F⊥侧面 ACC1A1。
所以 EF 是 B1E 在平面 ACC1A1 上的射影，
所以∠FEB1 是 B1E 与平面 AA1C1C 所成角
1
1
1
15sin .5
B FBE F B E
………………14 分
解法二：如图所示，建立空间直角坐标系。
设边长为 2，可求得 1 1(0,0,0), (0,2,0), (0,2,2), (0,0,2),A C C A
1
3 1 3 1( 3,1,0), ( 3,1,2), (0,2,1), ( , ,0), ( , ,1)2 2 2 2B B E D O .
（1）易知， 3 3( , ,0),2 2CD
3 3( , ,0), , / / .2 2FO CD EO EO CD 所以 所以
又 1 1,CD A BE EO A BE 平面 平面 ，则 CD//平面 A1BE…………5 分
（II）易得， 1 1 1( 3,1,2), ( 3,1, 2), (0,2, 1)AB A B A E
1 1 1 1
1 1 1 1
0, 0.
, .
AB A B AB A E
AB A B AB A E
所以
所以
又因为 1 1 1 1 1, ,A B A E A A B A E 平面 A1BE。
所以 AB1⊥平面 A1BE ………………10 分
（III）设侧面 AA1C1C 的法向量为 ( , , ).n x y z
1 1
1
(0,0,0), (0,2,0), (0,2,2), (0,0,2).
(0,2,0), (0,2,2), ( 3,1, 1).
A C C A
AC AC B E
因为
所以
由
1
0 0, 0,, 0. 0.0
n AC y y
y z zn AC
得 解得
不妨令 1 1 1(1,0,0),n B E AA C C 设直线 与平面 所成角为 .
所以 .5
15
5
3
||||
|||,cos|sin
1
1
1
EBn
EBnEBn
所以直线 B1E 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值为 5 .5
…………14 分
18．（I）解： 2 2( ) 2 (1 ).f x mx ax b ……3 分
（II）因为函数 ( )f x 是 R 上的增函数，
所以 ( ) 0f x 在 R 上恒成立，
则有 2 2 2 24 4(1 ) 0, 1.a b a b 即
设 cos ,( ,0 1).sin
a r rb r
为参数
则 )4sin(2)sin(cos rrbaz
当 ,1)4sin( 且 r=1 时， baz 取得最小值 2 .
（可用圆面的几何意义解得 baz 的最小值 2 ）…………………………8 分
（Ⅲ）①当 0m 时 12)( 2 xmxmf 是开口向上的抛物线，显然 )(xf 在（2，+
∞）上存在子区间使得 0)( xf ，所以 m 的取值范围是（0，+∞）.
②当 m=0 时，显然成立.
③当 0m 时， 12)( 2 xmxmf 是开口向下的抛物线，要使 )(xf 在（2，+∞）
上存在子区间使 0)( xf ，应满足
,0)1(
,21
0
mf
m
m
或
.0)2(
,21
,0
f
m
m
解得 ,02
1 m 或
2
1
4
3 m ，所以 m 的取值范围是 ).0,4
3(
则 m 的取值范围是 ).,4
3( ……………………………………………………13 分
19．解（Ⅰ）设椭圆 C 的方程为 )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x ，由题意得
222
22
2
1
1
4
91
cba
a
c
ba
解得 3,4 22 ba ，故椭圆 C 的方程为 134
22
yx .……………………4 分
（Ⅱ）因为过点 P（2，1）的直线 l 与椭圆在第一象限相切，所以 l 的斜率存在，故可调
直线 l 的议程为 .1)2( xky
由
1)2(
,134
22
xky
yx
得 081616)12(8)43( 222 kkxkkxk . ①
因为直线l 与椭圆相切，所以 .0)81616)(43(4)]12(8[ 222 kkkkk
整理，得 0)36(32 k 解得 .2
1k
所以直线 l 方程为 .22
11)2(2
1 xxy
将
2
1k 代入①式，可以解得 M 点横坐标为 1，故切点 M 坐标为 ).2
3,1( …………9 分
（Ⅲ）若存在直线 l1 满足条件，的方程为 1)2(1 xky ，代入椭圆 C 的方程得
.081616)12(8)43( 1
2
111
22
1 kkxkkxk
因为直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A，B，设 A，B 两点的坐标分别为 ),,(),,( 2211 yxyx
所以 .0)36(32)81616)(43(4)]12(8[ 1
222 kkkkkk
所以
2
1k .
又 2
1
1
2
1
212
1
11
21 43
81616,
43
)12(8
k
kkxx
k
kkxx
，
因为 2
PMPBPA 即
4
5)1)(1()2)(2( 2121 yyxx ，
所以 22
21 ||)1)(2)(2( PMkxx
4
5 .
即 .4
5)1](4)(2[ 2
12121 kxxxx
所以
4
5
43
44)1](4
43
)12(82
43
81616[ 2
1
2
12
12
1
11
2
1
2
2
1
k
kk
k
kk
k
kk ，解得 .2
1
1 k
因为 A，B 为不同的两点，所以
2
1k .
于是存在直线l 1 满足条件，其方程为 xy 2
1 ………………………………13 分
20．解：（1）证明：因为 2
2
1
1
nnn a
n
a
n
a
n xxx ，且数列 || nx 中各项都是正数，
所以 ,lglglg 2211 nnnnnn xaxaxa
设 pxaxaxa nnnnnn 2211 lglglg ①
因为数列 }{ na 是调和数列，故
21
112,0
nnn
n aaaa
所以
21
2
nnn a
p
a
p
a
p ②
由①得 2
2
1
3
lg,lg,lg
n
n
n
n
n
n
xa
pxa
pxa
p ，代入②式得，
所以 21 lglglg2 nnn xxx 即 )lg(lg 2
2
1 nnn xxx
故 21 2 nnn xxx ， 所以数列 || nx 是等比数列………………………………5 分
（2）设 || nx 的公比为 q ，则 2
4
3 xqx ，即 0.1288 4 nxq 由于 故 .2q
于是 nnn
n qxx 228 33
3
注意到第 ),3,2,1( nn 行共有 n 个数，
所以三角形数表中第 1 行至第 1m 行共含有
2
)1()1(321 mmm 个数
因此第 m 行第 1 个数是数列 || nx 中的第
2
212
)1( 2 mmmm 项.
故第 m 行第 1 个数是 2
1
1
1
2
2 2
mm
mmx
所以第 m 行各数的和为 )12(212
2 2
2)12(
2
2 2
2
m
mm
mm
m
m
S ………………9 分
（3）因为 ,2n
nx 所以 .2
1
)2
12(2
12
12
12
1
1
1
1
k
k
k
k
k
k
x
x
所以 .22
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
13
2
2
1 n
x
x
x
x
x
x
n
n
又
)12(2
1
2
1
12
12
1
1
11
1
kk
k
k
k
x
x
),,3,2,1(
2
1
3
1
2
1
2223
1
2
1 nkkkk
，
所以 ])2
1()2
1(2
1[3
1)2
1
2
1
2
1(1
1
1
1
1
1 2
13
2
2
1 n
n
n
x
x
x
x
x
x
.3
1
2])2
1(1[3
1
2
2
11
])2
1(1[2
1
3
1
2
nnn n
n
所以 .21
1
1
1
1
1
3
1
2 13
2
2
1 n
x
x
x
x
x
xn
n
n
………………………………14 分
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