2012朝阳区高三一模有答案(数学理)

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学试卷（理工类） 2012.3 （考试时间 120分钟 满分 150分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分 第一部分（选择题 共 40 分） 注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项. 1. 复数 10i 1 2i   A. 4 2i  B. 4 2i C. 2 4i D. 2 4i 2. 已知平面向量 ,a b 满足 ( )=3a a + b ，且 2, 1= =a b ，则向量a与b 的夹角为 A. 6  B. 3  C. 3  D. 6  3.已知数列{ }na 的前 n项和为 nS ，且 2 1( )n nS a n N   ，则 5a  A. 16 B. 16 C. 31 D. 32 4. 已知平面 ，直线 , ,a b l，且 ,a b   ，则“ l a 且 l b ”是“ l  ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5. 有 10件不同的电子产品，其中有 2件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试， 直到 2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好 3次就结束测试的方法种数是（ ） A. 16 B. 24 C. 32 D. 48 6.已知函数 ( )f x 是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 x R ，都有 ( 2) ( )f x f x  .当 0 1x  时， 2( )f x x .若直线 y x a  与函数 ( )y f x 的图象在[0,2]内恰有两个 不同的公共点，则实数 a的值是 A.0 B. 0或 1 2  C. 1 4  或 1 2  D. 0或 1 4  7. 某工厂生产的 A种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一 年 A种产品定价为每件 70元，年销售量为 11.8万件. 从第二年开始，商场对 A种产品 征收销售额的 %x 的管理费（即销售 100元要征收 x元），于是该产品定价每件比第一年 增加了 70 % 1 % x x   元，预计年销售量减少 x万件，要使第二年商场在 A种产品经营中收取的 管理费不少于 14万元，则 x的取值范围是 A. 2 B. 6.5 C. 8.8 D. 10 8. 已 知 点 集  2 2( , ) 4 8 16 0A x y x y x y      ，  ( , ) 4,B x y y x m m是常数    ，点集 A所表示的平面区域与点集 B所表示的平 面区域的边界的交点为 ,M N .若点 ( , 4)D m 在点集 A所表示的平面区域内（不在边界 上），则△DMN的面积的最大值是 A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 4 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在答题卡上. 9. 已知双曲线的方程为 2 2 1 3 x y  ，则此双曲线的离心率为 ，其焦点到渐近 线的距离为 . 10. 已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为 . （第 10 题图） （第 11 题图） 11. 执行如图所示的程序框图，若输入 k的值是 4，则输出 S 的值是 . 12.在极坐标系中，曲线 2 3 sin  和 cos 1   相交于点 ,A B，则线段 AB 的中点 E 到极点的距离是 . 13.已知函数 2 1 3( ) , 2, ( ) 2 4 log , 0 2. x x f x x x        若函数 ( ) ( )g x f x k  有两个不同的零点，则 实数 k的取值范围是 . 14.已知△ ABC中， 90 , 3, 4C AC BC     .一个圆心为M ，半径为 1 4 的圆在△ ABC 内，沿着△ ABC的边滚动一周回到原位. 在滚动过程中，圆M 至少与△ ABC的一边相 切，则点M 到△ ABC顶点的最短距离是 ，点M 的运动轨迹的周长 2 1 1 3 3 正视图 侧视图 俯视图 2 1 开始 输入 k S=0，i=1 1+ ( 1) S S i i   i=i+1?i k 输出 S 结束 是 否 是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答 案答在答题卡上. 15. （本小题满分 13分） 已知函数 π( ) cos( ) 4 f x x  . （Ⅰ）若 7 2( ) 10 f   ，求 sin 2 的值； （II）设  ( ) 2 g x f x f x        ，求函数 ( )g x 在区间 π π, 6 3     上的最大值和最小值. 16. （本小题满分 13分） 某次有 1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定 85分及 其以上为优秀. （Ⅰ）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数 a, b的值； 区间 [75，80) [80，85) [85，90) [90，95) [95，100] 人数 50 a 350 300 b （II）现在要用分层抽样的方法从这 1000人中抽取 40人的成 绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数； （Ⅲ）在（II）中抽取的 40名学生中，要随机选取 2名学生参 加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为 X，求 X的 分布列与数学期望. 17. （本小题满分 14分） 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形， = 90ABD  ， EB  平面 ABCD， EF//AB， = 2AB ， = 3, =1EB EF ， = 13BC ，且M 是 BD的中点. （Ⅰ）求证： EM// 平面 ADF ； （Ⅱ）求二面角D-AF-B的大小； （Ⅲ）在线段 EB上是否存在一点 P， 使得CP与 AF所成的角为30？ 若存在，求出 BP的长度；若不 存在，请说明理由. 18. （本小题满分 13分） 设函数 2 e( ) , 1 ax f x a x R   . （Ⅰ）当 1a  时，求曲线 ( )y f x 在点 (0, (0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数 )(xf 单调区间. 8580 90 10095O 频率 组距 分数 75 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 C A F E B M D 19. （本小题满分 14分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a b a b     的两个焦点分别为 1( 2,0)F  ， 2 ( 2,0)F .点 (1, 0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）已知点 N 的坐标为 (3, 2)，点 P的坐标为 ( , )( 3)m n m  .过点M 任作直线 l与椭圆 C相交于 A， B两点，设直线 AN， NP， BN 的斜率分别为 1k ， 2k ， 3k ，若 1 3 22k k k  ，试求 ,m n满足的关系式. 20．（本小题满分 13分） 已 知 各 项 均 为 非 负 整 数 的 数 列 0 0 1: , , , nA a a a ( )n N ， 满 足 0 0a  ， 1 na a n   ．若存在最小的正整数 k，使得 ( 1)ka k k  ，则可定义变换T ，变换T 将 数列 0A 变为数列 0 0 1 1 1( ) : 1 , 1 , , 1 , 0 , , ,k k nT A a a a a a     ．设 1 ( )i iA T A  ， 0,1, 2i  ． （Ⅰ）若数列 0 : 0,1,1,3,0,0A ，试写出数列 5A ；若数列 4 : 4,0,0,0,0A ，试写出数列 0A ； （Ⅱ）证明存在唯一的数列 0A ，经过有限次T 变换，可将数列 0A 变为数列 , 0, 0, , 0 n n 个 ； （ Ⅲ ） 若 数 列 0A ， 经 过 有 限 次 T 变 换 ， 可 变 为 数 列 , 0, 0, , 0 n n 个  ． 设 1m m m nS a a a    ， 1, 2, ,m n  ，求证 [ ]( 1) 1 m m m Sa S m m     ，其中 [ ] 1 mS m  表示不超过 1 mS m  的最大整数． 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学试卷（理工类） 2012.3 一、选择题： 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案 A C B B C D D B 二、填空题： 题 号 （9） （10） （11） （12） （13） （14） 答 案 2 3 3 1 3 2 3 4 2 3( ,1) 4 2 4 9 三、解答题： （15）（本小题满分 13分） 解：（Ⅰ）因为 π 7 2( ) cos( ) 4 10 f     ， 所以 2 7 2(cos sin ) 2 10    ， 所以 7cos sin 5    . 平方得， 2 2sin 2sin cos cos     = 49 25 ， 所以 24sin 2 25   . ……………6 分 （II）因为   π( ) 2 g x f x f x       = π πcos( ) cos( ) 4 4 x x   = 2 2(cos sin ) (cos sin ) 2 2 x x x x   = 2 21 (cos sin ) 2 x x = 1 cos 2 2 x . ……………10分 当 π π, 6 3 x      时， π 2π2 , 3 3 x      . 所以，当 0x  时， ( )g x 的最大值为 1 2 ； 当 π 3 x  时， ( )g x 的最小值为 1 4  . ……………13 分 （16）（本小题满分 13分） 解：（Ⅰ）依题意， 0.04 5 1000 200, 0.02 5 1000 100a b        . ……………4分 （Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为 x，则 350 300 100 40 1000 x    ，解得：x=30， 即其中成绩为优秀的学生人数为 30名. ……………7分 （Ⅲ）依题意，X的取值为 0，1，2， 2 10 2 40 3( 0) 52 CP X C    ， 1 1 10 30 2 40 5( 1) 13 C CP X C    ， 2 30 2 40 29( 2) 52 CP X C    ， 所以 X的分布列为 X 0 1 2 P 3 52 5 13 29 52 3 5 29 30 1 2 52 13 52 2 EX        ，所以 X的数学期望为 3 2 . ……………13 分 （17）（本小题满分 14分） 证明：（Ⅰ）取 AD的中点 N ，连接MN,NF . 在△DAB中，M 是 BD的中点， N 是 AD的中点，所以 1= 2 MN//AB,MN AB， 又因为 1= 2 EF//AB,EF AB， 所以MN//EF且MN = EF . 所以四边形MNFE 为平行四边形， 所以 EM//FN . 又因为 FN 平面 ADF ， EM 平面 ADF ， 故 EM// 平面 ADF . …………… 4分 解法二：因为 EB 平面 ABD， AB BD ，故以 B为原点，建立如图所示的空间直角坐标 系 -B xyz . ……………1分 由已知可得 (0,0,0), (0,2,0), (3,0,0),B A D 3(3,-2,0), (0,0, 3), (0,1, 3), ( ,0,0) 2 C E F M （Ⅰ） 3= ( ,0,- 3) (3,-2,0) 2 EM ,AD=   ， = (0,-1, 3)AF  . ……………2分 设平面 ADF的一个法向量是 ( )x, y,zn  . 由 0, 0, AD AF n n         得 3 2 3 x - y= 0, -y+ z= 0.    令 y= 3，则 (2,3, 3)n  . ……………3 分 又因为 3( ,0,- 3) (2,3, 3) = 3+ 0 - 3 = 0 2 EM n    ， 所以 EM n  ，又 EM 平面 ADF，所以 //EM 平面 ADF . ……………4 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面 ADF的一个法向量是 (2,3, 3)n  . 因为 EB 平面 ABD，所以 EB BD . 又因为 AB BD ，所以 BD 平面 EBAF . 故 (3,0,0)BD   是平面 EBAF 的一个法向量. 所以 1cos < = 2 BDBD, BD nn n      ，又二面角D - AF - B为锐角， 故二面角 D - AF - B的大小为 60 . ……………10 分 （Ⅲ）假设在线段 EB上存在一点 P，使得CP与 AF所成的角为30 . 不妨设 (0,0, t)P （0 3t  ），则 = (3,-2,- ), = (0,-1, 3)PC AFt   . N C A F E B M D z C A F E B M D x y 所以 2 - 3 cos < 2 2 PC AF t PC,AF PC AF t +13           ， 由题意得 2 - 3 3 22 2 t t +13  ， 化简得 4 3 35 t ， 解得 35 0 4 3 t    . 所以在线段 EB上不存在点 P，使得CP与 AF所成的角为30 .…………14 分 （18）（本小题满分 13分） 解：因为 2 e( ) , 1 ax f x x   所以 2 2 2 e ( 2 )( ) ( 1) ax ax x af x x     . （Ⅰ）当 1a  时, 2 e( ) 1 x f x x   , 2 2 2 e ( 2 1)( ) ( 1) x x xf x x     , 所以 (0) 1,f  (0) 1f   . 所以曲线 ( )y f x 在点 (0, (0))f 处的切线方程为 1 0x y   . ……………4 分 （Ⅱ）因为 2 2 2 2 2 2 e ( 2 ) e( ) ( 2 ) ( 1) ( 1) ax axax x af x ax x a x x         ， ……………5分 （1）当 0a  时,由 ( ) 0f x  得 0x  ；由 ( ) 0f x  得 0x  . 所以函数 ( )f x 在区间 ( ,0) 单调递增, 在区间 (0, ) 单调递减. ……………6 分 （2）当 0a  时, 设 2( ) 2g x ax x a   ，方程 2( ) 2 0g x ax x a    的判别式 24 4 4(1 )(1 ),a a a      ……………7 分 ①当0 1a  时，此时 0  . 由 ( ) 0f x  得 21 1 ax a    ,或 21 1 ax a    ； 由 ( ) 0f x  得 2 21 1 1 1a ax a a       . 所以函数 ( )f x 单调递增区间是 21 1( , )a a    和 21 1( , )a a    , 单调递减区间 2 21 1 1 1( , )a a a a     . ……………9分 ②当 1a  时，此时 0  .所以 ( ) 0f x  ， 所以函数 ( )f x 单调递增区间是 ( , )  . ……………10 分 ③当 1 0a   时，此时 0  . 由 ( ) 0f x  得 2 21 1 1 1a ax a a       ； 由 ( ) 0f x  得 21 1 ax a    ,或 21 1 ax a    . 所以当 1 0a   时,函数 ( )f x 单调递减区间是 21 1( , )a a    和 21 1( , )a a    , 单调递增区间 2 21 1 1 1( , )a a a a     . ……………12 分 ④当 1a   时, 此时 0  ， ( ) 0f x  ，所以函数 ( )f x 单调递减区间是 ( , )  . …………13 分 （19）（本小题满分 14分） 解: （Ⅰ）依题意， 2c  ， 1b  ， 所以 2 2 3a b c   . 故椭圆C的方程为 2 2 1 3 x y  . ……………4 分 （Ⅱ）①当直线 l的斜率不存在时，由 2 2 1, 1 3 x x y      解得 61, 3 x y   . 不妨设 6(1, ) 3 A ， 6(1, ) 3 B  ， 因为 1 3 6 62 2 3 3 2 2 2 k k       ，又 1 3 22k k k  ，所以 2 1k  ， 所以 ,m n的关系式为 2 1 3 n m    ，即 1 0m n   . ………7 分 ②当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 ( 1)y k x  . 将 ( 1)y k x  代入 2 2 1 3 x y  整理化简得， 2 2 2 2(3 1) 6 3 3 0k x k x k     . 设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则 2 1 2 2 6 3 1 kx x k    , 2 1 2 2 3 3 3 1 kx x k    . ………9分 又 1 1( 1)y k x  ， 2 2( 1)y k x  . 所以 1 2 1 2 2 1 1 3 1 2 1 2 2 2 (2 )(3 ) (2 )(3 ) 3 3 (3 )(3 ) y y y x y xk k x x x x                1 2 2 1 1 2 1 2 [2 ( 1)](3 ) [2 ( 1)](3 ) 3( ) 9 k x x k x x x x x x            1 2 1 2 1 2 1 2 2 (4 2)( ) 6 12 3( ) 9 kx x k x x k x x x x          2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 62 (4 2) 6 12 3 1 3 1 3 3 63 9 3 1 3 1 k kk k k k k k k k k                2 2 2(12 6) 2. 12 6 k k     ………12 分 所以 22 2k  ，所以 2 2 1 3 nk m     ，所以 ,m n的关系式为 1 0m n   .………13 分 综上所述， ,m n的关系式为 1 0m n   . ………14 分 （20）（本小题满分 13分） 解：（Ⅰ）若 0 : 0,1,1,3,0,0A ，则 1 :1,0,1,3,0,0A ； 2 : 2,1, 2,0,0,0A ； 3 : 3,0, 2,0,0,0A ； 4 : 4,1,0,0,0,0A ； 5 : 5,0,0,0,0,0A ． 若 4 : 4,0,0,0,0A ， 则 3 : 3,1,0,0,0A ； 2 : 2,0, 2,0,0A ； 1 :1,1, 2,0,0A ； 0 : 0,0,1,3,0A ． ………4 分 （Ⅱ）先证存在性，若数列 0 0 1: , , , nA a a a 满足 0ka  及 0(0 1)ia i k    ，则定义变 换 1T  ，变换 1T  将数列 0A 变为数列 1 0( )T A ： 0 1 1 11, 1, , 1, , , ,k k na a a k a a     ． 易知 1T  和T 是互逆变换． ………5 分 对于数列 ,0,0, ,0n  连续实施变换 1T  （一直不能再作 1T  变换为止）得 ,0,0, ,0n  1T   1,1,0, ,0n   1T   2,0,2,0, ,0n   1T   3,1,2,0, ,0n   1T   1T   0 1, , , na a a ， 则必有 0 0a  （若 0 0a  ，则还可作变换 1T  ）．反过来对 0 1, , , na a a 作有限次变换T ， 即可还原为数列 ,0,0, ,0n  ，因此存在数列 0A 满足条件． 下用数学归纳法证唯一性：当 1,2n  是显然的，假设唯一性对 1n  成立，考虑 n的情形． 假设存在两个数列 0 1, , , na a a 及 0 1, , , nb b b 均可经过有限次T 变换，变为 ,0, ,0n  ， 这里 0 0 0a b  ， 1 2 1 2n na a a b b b n         若0 na n  ，则由变换T 的定义，不能变为 ,0, ,0n  ； 若 na n ，则 1 2 0na a a    ，经过一次T 变换，有0,0, ,0, n T 1,1, ,1,0 由于 3n  ，可知1,1, ,1,0 （至少 3个 1）不可能变为 ,0, ,0n  ． 所以 0na  ，同理 0nb  令 0 1, , , na a a T 1 21, , , , na a a   ， 0 1, , , nb b b T 1 21, , , , nb b b   ， 则 0n na b   ，所以 1 2 1 1na a a n       ， 1 2 1 1nb b b n       ． 因为 1 10, , , na a   T有限次 -1,0, ,0n  ， 1 10, , , nb b   T有限次 -1,0, ,0n  ， 故由归纳假设，有 i ia b  ， 1,2, , 1i n  ． 再由T 与 1T  互逆，有 0 1, , , na a a T 1 11, , , ,0na a   ， 0 1, , , nb b b T 1 11, , , ,0nb b   ， 所以 i ia b ， 1,2, ,i n  ，从而唯一性得证． ………9分 （Ⅲ）显然 ia i ( 1, 2, , )i n  ，这是由于若对某个 0i ， 0 0ia i ，则由变换的定义可知， 0i a 通过变换，不能变为0．由变换T 的定义可知数列 0A 每经过一次变换， kS 的值或者不变， 或者减少 k ，由于数列 0A 经有限次变换 T ，变为数列 ,0, ,0n  时，有 0mS  ， 1,2, ,m n  ， 所以 m mS mt ( mt 为整数 )，于是 1m m mS a S   1( 1)m ma m t    ，0 ma m  ， 所以 ma 为 mS 除以 1m  后所得的余数，即 [ ]( 1) 1 m m m Sa S m m     ．………13 分