2012朝阳区高三一模试卷及答案(数学文)

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学试卷（文史类） 2012.3 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分 第一部分（选择题 共 40 分） 注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效. 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项. 1. 复数 10i 1 2i  A. 4 2i B. 4 2i  C. 2 4i D. 2 4i 2. 若集合  21,A m ，  3,4B  ，则“ 2m  ”是“  4BA ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 已知平面向量 ,a b 满足 ( )=3a a + b ，且 2, 1= =a b ，则向量 a 与 b 的夹角为 A. 6  B. 3  C. 3  D. 6  4. 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 2 1( )n nS a n    N ，则 5a  A. 16 B. 16 C. 31 D. 32 5. 关于两条不同的直线 m , n 与两个不同的平面 ,  ，下列命题正确的是 A．  //,// nm 且  // ，则 nm // B．   nm , 且   ，则 m // n C．  //,nm  且  // ，则 nm  D．  nm ,// 且   ，则 nm // 6. 已知中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的离心率 6 2e  ，其焦点到渐近线的距离为 1， 则此双曲线的方程为 A． 2 2 12 x y  B． 2 2 12 3 x y  C. 2 2 14 x y  D. 2 2 1x y  7. 某工厂生产的 A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一 年 A 种产品定价为每件 70 元，年销售量为 11.8 万件. 从第二年开始，商场对 A 种产品 征收销售额的 %x 的管理费（即销售 100 元要征收 x 元），于是该产品定价每件比第一年 增加了 70 % 1 % x x   元，预计年销售量减少 x 万件，要使第二年商场在 A 种产品经营中收取的 管理费不少于 14 万元，则 x 的最大值是 A. 2 B. 6.5 C. 8.8 D. 10 8. 函数 ( )f x 是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 x R ，都有 ( 2) ( )f x f x  .当 0 1x  时， 2( )f x x .若直线 y x a  与函数 ( )y f x 的图象有两个不同的公共点， 则实数 a 的值为 A. n  nZ B. 2n  nZ C. 2n 或 12 4n   nZ D. n 或 1 4n   nZ 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在答题卡上. 9.若 5sin 3   , ( , )2    ，则 tan  . 10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 . （第 10 题图） 11. 执行如图所示的程序框图，若输入 k 的值是 4 ，则输出 S 的值是 . （第 11 题图） 12. 设 ,x y 满足约束条件 0, , 2 3 0, y y x x y        则目标函数 2z x y  的最大值是 ； 使 z 取得最大值时的点 ( , )x y 的坐标是 . 开始 输入 k S=0，i=1 1+ ( 1)S S i i   i=i+1?i k 输出 S 结束 是 否 2 1 1 3 3 正视图 侧视图 俯视图 2 1 13. 已知函数 2 1 3( ) , 2,( ) 2 4 log , 0 2 x xf x x x        ， 则 ( (2))f f 的值为 ；函数 ( ) ( )g x f x k  恰有两个零点，则实数 k 的取值范围是 . 14. 已知集合  2 2( , ) 4A x y x y   ，集合 B    , ,x y y m x m 为正常数 .若O 为坐 标原点， M ， N 为集合 A 所表示的平面区域与集合 B 所表示的平面区域的边界的交 点,则 MON 的面积 S 与 m 的关系式为 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 把答 案答在答题卡上. 15. （本题满分 13 分） 已知函数 π( ) cos( )4f x x  . （Ⅰ）若 3( ) 5f   ，其中 π 3π ,4 4   求 πsin 4     的值； （II）设  ( ) 2g x f x f x       ，求函数 ( )g x 在区间 π π,6 3     上的最大值和最小值. 16. （本题满分 13 分） 某企业员工 500 人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第 1 组[25，30)，第 2 组[30， 35)，第 3 组[35，40)，第 4 组[40，45)，第 5 组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所 示． (Ⅰ)下表是年龄的频数分布表，求正整数 ,a b 的值； (Ⅱ)现在要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人，年龄在第 1,2,3 组的 人数分别是多少？ (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动，求至少有 1 人年 龄在第 3 组的概率． 17. （本题满分 13 分） 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形， = 90ABD  ， EB  平面 ABCD ， EF//AB ， 2AB= ， =1EF ， = 13BC ，且 M 是 BD 的中点. （Ⅰ）求证： //EM 平面 ADF ； （Ⅱ）在 EB 上是否存在一点 P ，使得 CPD 最大？ 若存在，请求出 CPD 的正切值；若不存在， 区间 [25，30) [30，35) [35，40) [40，45) [45，50] 人数 50 50 a 150 b 25 30 35 40 45 50 0.02 频率 组距 年龄 0.08 0.06 0.04 O C A F E B M D 请说明理由. 18. （本题满分 14 分） 已知函数  2( ) 1 e xf x ax   , aR . （Ⅰ）若函数 ( )f x 在 1x  时取得极值，求 a 的值； （Ⅱ）当 0a  时，求函数 ( )f x 的单调区间. 19.（本题满分 14 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的两个焦点分别为 1( 2,0)F  ， 2 ( 2,0)F ，点 (1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）过点 (1,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于 A ，B 两点,设点 (3,2)N ，记直线 AN ，BN 的斜率分别为 1k ， 2k ，求证： 1 2k k 为定值. 20（本题满分 13 分） 已 知 各 项 均 为 非 负 整 数 的 数 列 0 0 1: , , , nA a a a （ n  N ）， 满 足 0 0a  ， 1 na a n   ．若存在最小的正整数 k ，使得 ( 1)ka k k  ，则可定义变换T ，变换T 将 数列 0A 变为 0 0 1 1 1( ) : 1, 1, , 1,0, , ,k k nT A a a a a a     ．设 1 ( )i iA T A  ， 0,1,2i  ． （Ⅰ）若数列 0 :0,1,1,3,0,0A ，试写出数列 5A ；若数列 4 : 4,0,0,0,0A ，试写出数列 0A ； （Ⅱ）证明存在数列 0A ，经过有限次T 变换，可将数列 0A 变为数列 ,0,0, ,0 n n  个 ； （ Ⅲ ） 若 数 列 0A 经 过 有 限 次 T 变 换 ， 可 变 为 数 列 ,0,0, ,0 n n  个 ． 设 1m m m nS a a a    ， 1,2, ,m n  ，求证 [ ]( 1)1 m m m Sa S mm    ，其中 [ ]1 mS m  表示不超过 1 mS m  的最大整数. 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学试卷答案（文史类） 2012.3 一、选择题： 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案 B A C B C A D C 二、填空题： 题号 （9） （10） （11） （12） （13） （14） 答案 5 2  3 2 3 4 3 ; 3 ,02      0； 3 ,14      2 4 1 m m 注：若有两空，则第一个空 3 分，第二个空 2 分. 三、解答题： （15）（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）因为 π 3( ) cos( )4 5f     ，且 π π0 4 2    ， …………1 分 所以 π 4sin 4 5      . .…………5 分. （II）   π( ) 2g x f x f x      = π πcos( ) cos( )4 4x x   = π πsin( ) cos( )4 4x x   = 1 πsin( 2 )2 2 x = 1 cos22 x . .…….…..10 分 当 π π,6 3x      时， π 2π2 ,3 3x      . 则当 0x  时， ( )g x 的最大值为 1 2 ；当 π 3x  时， ( )g x 的最小值为 1 4  . ………13 分 （16）（本小题满分 13 分） 解：(Ⅰ)由题设可知， 0.08 5 500 200a     ， 0.02 5 500 50b     . ……………2 分 (Ⅱ) 因为第 1，2，3 组共有 50+50+200=300 人， 利用分层抽样在 300 名学生中抽取 6 名学生，每组抽取的人数分别为： 第 1 组的人数为 506 1300   ， 第 2 组的人数为 506 1300   ， 第 3 组的人数为 2006 4300   ， 所以第 1，2，3 组分别抽取 1 人，1 人，4 人． ………………6 分 (Ⅲ)设第 1 组的 1 位同学为 A ，第 2 组的 1 位同学为 B ，第 3 组的 4 位同学为 1 2 3 4, , ,C C C C ， 则从六位同学中抽两位同学有： 1 2 3 4( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),A B A C A C A C A C 1 2 3 4( , ),( , ),( , ),( , ),B C B C B C B C 1 2( , ),C C 1 3( , ),C C 1 4 2 3 2 4( , ),( , ),( , ),C C C C C C 3 4( , ),C C 共15种可能． ………… 10 分 其中 2 人年龄都不在第 3 组的有： ( , ),A B 共 1 种可能， ……… ………12 分 所以至少有 1 人年龄在第 3 组的概率为 1 141 15 15   ． ………………13 分 （17）（本小题满分 13 分） （Ⅰ）证明：取 AD 的中点 N ，连接 ,MN NF . 在 DAB 中， M 是 BD 的中点， N 是 AD 的中点， 所以 MN//AB,MN 1 2= AB . ……………2 分 又因为 EF//AB,EF 1 2= AB ， 所以 MN//EF 且 MN = EF . 所以四边形 MNFE 为平行四边形， 所以 EM//FN . ………………4 分 又因为 FN  平面 ADF ， EM  平面 ADF ， 故 EM// 平面 ADF . ……………………6 分 （Ⅱ）解：假设在 EB 上存在一点 P ，使得 CPD 最大. 因为 EB  平面 ABD ，所以 EB CD . 又因为 CD BD ，所以CD  平面 EBD . ………………………8 分 在 Rt CPD 中， tan = CDCPD DP  . 因为 CD 为定值，且 CPD 为锐角，则要使 CPD 最大，只要 DP 最小即可. 显然，当 DP EB 时， DP 最小. 因为 DB EB ，所以当点 P 在点 B 处时，使得 CPD 最大. …………11 分 易得 tan CDCPD= DB  = 2 3 . 所以 CPD 的正切值为 2 3 . ……………………13 分 （18）（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）  2( ) 2 1 e xf x ax ax     . xR ……………………2 分 依题意得 (1) (3 1) e = 0f a    ，解得 1 3a  . 经检验符合题意. ………4 分 （Ⅱ）  2( ) 2 1 e xf x ax ax     ，设 2( ) 2 1g x ax ax   ， （1）当 0a  时， ( ) exf x   ， ( )f x 在 ,  上为单调减函数. ……5 分 N C A F E B M D （2）当 0a  时，方程 2( ) 2 1g x ax ax   = 0 的判别式为 24 4a a   ， 令 0  , 解得 0a  （舍去）或 1a   . 1°当 1a   时， 2 2( ) 2 1 ( 1) 0g x x x x        ， 即  2( ) 2 1 e 0xf x ax ax      ， 且 ( )f x 在 1x   两侧同号，仅在 1x   时等于 0 ， 则 ( )f x 在 ,  上为单调减函数. ……………………7 分 2°当 1 0a   时， 0  ，则 2( ) 2 1 0g x ax ax    恒成立， 即 ( ) 0f x  恒成立，则 ( )f x 在 ,  上为单调减函数. ……………9 分 3° 1a   时， 24 4 0a a    ，令 ( ) 0g x  ， 方程 2 2 1 0ax ax   有两个不相等的实数根 2 1 1 a ax a    ， 2 2 1 a ax a    ， 作差可知 2 2 1 1a a a a a a       ， 则当 2 1 a ax a    时， ( ) 0g x  ， ( ) 0f x  ， ( )f x 在 2 ( , 1 )a a a    上 为单调减函数； 当 2 2 1 1a a a axa a        时， ( ) 0g x  ， ( ) 0f x  ， ( )f x 在 2 2 ( 1 , 1 )a a a a a a      上为单调增函数； 当 2 1 a ax a    时， ( ) 0g x  ， ( ) 0f x  ， ( )f x 在 2 ( 1 , )a a a    上为 单调减函数. ……………………………………………………………………13 分 综上所述，当 1 0a   时，函数 ( )f x 的单调减区间为  ,  ；当 1a   时， 函数 ( )f x 的单调减区间为 2 ( , 1 )a a a    ， 2 ( 1 , )a a a    ，函数 ( )f x 的 单调增区间为 2 2 ( 1 , 1 )a a a a a a      . …………………………14 分 （19）（本小题满分 14 分） 解:（Ⅰ）依题意，由已知得 2c  ， 2 2 2a b  ，由已知易得 1b OM  , 解得 3a  . ………………………3 分 则椭圆的方程为 2 2 13 x y  . ………………………4 分 (II) ①当直线l 的斜率不存在时，由 2 2 1, 13 x x y    解得 61, 3x y   . 设 6(1, )3A ， 6(1, )3B  ，则 1 2 6 62 23 3 22 2k k       为定值. ………5 分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为： ( 1)y k x  . 将 ( 1)y k x  代入 2 2 13 x y  整理化简，得 2 2 2 2(3 1) 6 3 3 0k x k x k     .…6 分 依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 则 2 1 2 2 6 3 1 kx x k    ， 2 1 2 2 3 3 3 1 kx x k   . ……………………7 分 又 1 1( 1)y k x  ， 2 2( 1)y k x  ， 所以 1 2 1 2 1 2 2 2 3 3 y yk k x x      ………………………8 分 1 2 2 1 1 2 (2 )(3 ) (2 )(3 ) (3 )(3 ) y x y x x x        1 2 2 1 1 2 1 2 [2 ( 1)](3 ) [2 ( 1)](3 ) 9 3( ) k x x k x x x x x x           1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 2( ) [2 4( ) 6] 9 3( ) x x k x x x x x x x x          2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 612 2( ) [2 4 6]3 1 3 1 6 3 39 3 3 1 3 1 k kx x k k k k k k k             2 2 12(2 1) 2.6(2 1) k k   .…….………………13 分 综上得 1 2k k 为常数 2. .…….………………14 分 （20）（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）若 0 :0,1,1,3,0,0A ，则 1 :1,0,1,3,0,0A ； 2 : 2,1,2,0,0,0A ； 3 :3,0,2,0,0,0A ； 4 : 4,1,0,0,0,0A ； 5 :5,0,0,0,0,0A ． 若 4 : 4,0,0,0,0A ， 则 3 :3,1,0,0,0A ； 2 : 2,0,2,0,0A ； 1 :1,1,2,0,0A ； 0 :0,0,1,3,0A ． .……….………………4 分 （Ⅱ）若数列 0 0 1: , , , nA a a a 满足 0ka  及 0(0 1)ia i k    ，则定义变换 1T  ，变 换 1T  将数列 0A 变为数列 1 0( )T A ： 0 1 1 11, 1, , 1, , , ,k k na a a k a a     ．易知 1T  和T 是互逆变换． 对于数列 ,0,0, ,0n  连续实施变换 1T  （一直不能再作 1T  变换为止）得 ,0,0, ,0n  1T   1,1,0, ,0n   1T   2,0,2,0, ,0n   1T   3,1,2,0, ,0n   1T    1T   0 1, , , na a a ， 则必有 0 0a  （若 0 0a  ，则还可作变换 1T  ）．反过来对 0 1, , , na a a 作有限次变换T ， 即可还原为数列 ,0,0, ,0n  ，因此存在数列 0A 满足条件．…………………………8 分 （Ⅲ）显然 ia i ( 1,2, , )i n  ，这是由于若对某个 0i ， 0 0ia i ，则由变换的定义可知， 0ia 通过变换，不能变为 0 .由变换T 的定义可知数列 0A 每经过一次变换， kS 的值或者不 变，或者减少 k ，由于数列 0A 经有限次变换T ，变为数列 ,0, ,0n  时，有 0mS  ， 1,2, ,m n  ， 所以 m mS mt ( mt 为整数 ) ，于是 1m m mS a S   1( 1)m ma m t    ， 0 ma m  ， 所以 ma 为 mS 除以 1m  后所得的余数，即 [ ]( 1)1 m m m Sa S mm    ．………13 分