一个计算黎曼流形两点间测地线精确距离的简易公式

一个计算黎曼流形两点间测地线精确距离的简易公式北京大学Email:sdsxdwd@163.com两点间最短的线是什么？怎么找这些曲线及它的分布怙形，到现在为止还是微分儿何的一个有趣问题。我们知道在圆球上所有的测地线(geodesic)都是大圆。假设我们将圆球变形一下，变成凸曲血：convexsurface,这问题就变成一个很复杂的数学问题。它的测地线分布状态并不明显，到目前力止没有办法处理这个问题，H有在简单的椭圆体时可以全部解决这个问题。本文通过建立多体运动物理模型，间接得到一个计算黎曼流形两点间测地线距离的简易公式且为精确解关键词：黎曼流形测地线国家自然科学基金项目(61240048)(ERCTSF2013A001)国家自然科学基金(61074077)Aconstructionmethodforanalyticsolutionofarbitrarymulti-bodyproblemDongweidongAbstract：Undertheactionofprocessingeffort，thepointontheplanecurveisregardedasaparticle，andthearbitraryplanecurveisregardedasaNewtonquantummulti•bodymotionofinfinitemulti-mass,first，theandahalfsolutionspaceofthesensedeterminationboundaryisobtained，sothattherotationoftheobjectisananalyticsolutionoftheduoboundary，andthefourtheoremisprovedindirectly，andthemulti-bodymotionplanesolutionwithboundarymovementisobtained:thethree■colortheoremandthesecondcolortheoremarepresented，andthearbitraryanalyticsolutionoftheduoproblemcanbeconstructedaccordingtotheformulaKeywords:Four-colortheoremkPlanarquantummanybody牛顿三体或N题问题的解与坐标系的选择有关，牛顿三体或N提问题的无解与坐标系有关，常用他标系平面直角坐标系，平面仿射氷标系（坐标轴不垂直，二坐标轴的单位可能不同，极坐标系，一个球面上的经纬坐标（球面坐标），空间直角坐标系，空间仿射坐标系，柱面坐标系（平而极坐标加上竖坐标），球坐标系（一个距离、两个角，平而极坐标系的推广）中三体或多体问题均无解，作者建立“矢量场+极坐标系+球形坐标系+空间直角坐标系”结合而成的“空间矢量场球极坐标系”，它是所有常用坐标系的综合，新创建坐标系以空间矢量ri力未知量，解三体或N解集空间，则避开了轨道混沌现象，得到一个完全解析函数或完企解析构形的牛顿三体或多体解的集合“空间矢量场极坐标系”的引入:三体问题是天体力学中的基本模型，即探究三个质量、初始位置和初始速度都为任意的可视为质点的天体，在相互之间万有引力的作用下的运动规律。它们有无数种可能的运动轨迹。最简单的例子就是太PN系中太PN，地球和月球的运动。三个物体在空间中的分布可以有无穷多种情况，由于混沌现象的存在，通常情况下三体问题的解是非周期性的。假如计算坐标原点不在多体的内部，极坐标原点选择适当，则太阳系多体的任一单体的轨迹成为一锥体上的圆锥曲线，得到天体运动的开普勒定律，假如计算坐标原点退化到太阳系轨道平面上，开普雷定律失效，1855年法国数学家庞加莱《关于三体问题的动态方程》证明了对于N体问题在N>2时不存在统一的第一积分（uniformfirstintegral），即使是一般的三体也不可能通过发现不变量最终降低问题的自由度，寻找三体问 题的通解是枉费力气，但在特殊条件下，一些特解是存在的。必须找到合适的初始条件：位置、速度等等，冰能使系统在运动一段时间之后能够回到初始状态，即进行周期性的运动。在“三体问题”被提出的三百年内，仅仅三种类型的解被发现。三体问题的真正解决，是建立一种数学模型，使得在己知任何一个时间断面的初始运动矢量时，能够精确预测三体系统以后的所有运动状态。一般的三体问题，每一个天体在其他两个天体的万有引力作用下，其运动方程都可以表示成6个一阶的常微分方程。因此，一般三体问题的运动方程为十八阶方程，必须得到18个积分冰能得到完全解。然而，现阶段还只能得到三体问题的10个初积分，远远不足以解决三体W题。这与坐标系的选择有关，如玫瑰线（polarrose）是数学曲线中非常著名的曲线，看上去像花瓣，它只能用极坐标方程來描述，我们常说的“三体问题无解”，准确地来说，是一般坐标系下无解析解，意思是三体问题在一般坐标系下没有规律性答案，不能用解析式表达只能算数值解，没有办法得出精确值。然而对于三体问题的数值解，吋间会无限放大初始的微小误差，因此数值法几乎没有办法预测，当时间趋于无穷时，三体轨道在一般坐标系下的最终命运成为无解析解。而这种对于轨道的长时间行为的不确定性，就被称为“混沌”现象。作者发现，假如采用“矢量极坐标系”，“矢量极坐标”的h坐标为未知数，三体或N体问题与时间无关，是质y:与位賈的函数，消除时间未知数后，三体或N体问题可得到特殊坐标系下的解析解，解的集合为一般坐标系下的黎曼空间，在解集中引入吋间t，可构造出任意时刻t的一组解析解，为寻找三体或N体的解析解提供了依据，此坐标系可称力现实少标系或位置向量叱标系，它对物理概念的表达与现实世界的距离天衣无缝，一个空间点与一个未知数（位置向量）一一对应，成为空间的“数轴”，所有计算就象在实数域一样，而一般坐标系至少需要两个未知数或3个未知数.三体或N体系统具有系统整体动镒和角动U:守恒不变性，在时间中运动的质点系的角动量是各个质点对同一固定参照点（一般选质点系的质心）的角动量的矢量和L=LLi=Z（riXpi）=rXp,角动量守恒定律也称动量矩定理，表述角动量与力矩之间关系，对于质点，角动量定理可表述力:质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。对于质点系，由于其内各质点间相互作用的闪力服从牛顿第三定律，因而质点系的内力对任一点的主矩为零。利用内力的这一特性,即可导出质点系的角动量定理:质点系对任一同定点0的角动量对时间的微商等于作用于该质点系的诸外力对0点的力矩的矢量和。由此可消除三体或N体问题的吋间项和速度项，由此可见，描述质点系整体转动特性的角动量只与作用于质点系的外力有关，内力不能改变特殊的极十.标系：未知叱标量为ri的极坐标系矢量场（空间矢量场极光标系）空间矢量场映射到一个平面上得到平i&i量子多体的运动图像不难看出，平面量子多体与空间量子多体的运动方程相同，基于此，首先在某一观测时刻建立质心为原点的复平面，用矢量h表示坐标系平面矢量场上的点，计算时以原点为起点的矢量ri表示空间场的任意一点，以ri为未知量，求算Emi=M和r1、r2、「3、r4…ri,以此刻M质心为坐标原点计算三体或N体的平面运动，某一确定时刻的N体质点系mi角动量守恒（相对M质心为0），动量矩守恒，孤立系统的能量永远守恒，得到特殊坐标系下的方程：m1v124-m2V22+m3V32+GMm1/r1+GMm2/r2+GMm3/r3=Mv2+Mr矢呈加速度ai=GM/ri2，a2=GM/「22,a3=GM/「32Vi=3it=GMt/ri2jVi=32t=GMt/r22jV3=a3t=GMt/f32,r!xm1v1+r2xm2V2+r3xm3v3=0,Mxr=0,hxGMm!t/r!2+r2xGMm2t/r22+r3xGMm3t/r32=MXr,nxm1/ri2+r2xm2t/r22+r3X m3t/r32=r,17^/0+m2/r2+m3/r3=r（质心相对原点运动）^/r}+m2/r2+m3/r3=0（质心相对静止）（以上公式除质量m时间t外均为矢量）两边同乘以r1Xr2Xr3,矢量两次相乘回到原矢量平面，最后得欧几里德空间（矢量）场公式（1）^=mir3r2+m2r1r3+m3r1r2=0,（无引力源）*=m1r3r2+m2rir3+m3r1r2=r,（有引力源）1P=mir3r2+m2rir3+m3r1r2+—+0,（无引力源）=m1r3r2+m2rir3+m3r1r2+••-+rnnGq=r,（有引力源）在欧儿里德空间△中=0（拉普拉斯方程）△*=r（ri，r2，r3，.“，n）（泊松方程）divllJ=A•lP，div巾=△•,（div=GM（1/r1+1/r2+1/r3+---+1/rn））rot=ax,rot*=axil),(rot=0)「1，「2，「3是任意时刻质点的矢量位置坐标，矢量夹角为0吋角动量为0，两矢量的乘积r!r2，⑽，，r3r2,等于rAcosO0jacosO'jacosO0，表示质点rnr2、r3相对位置的移动矢量，与形成的系统角动量正相关，所以w的物理意义表示任意时刻质点系质点在确定位貫时的位移矢量角动量，相对质点系质心的系统角动:W:恒为0,匕知n.r2的数伉可计算r3,将质点系视为一组，它就是一个质点，划分为两组可视为二体运动，划分为3组可视为三体运动，质点系通过合理的划分可视为三体，二体或单体系运动来计算，体系划分后任意吋刻的多体运动可以象二体运动一样有解析解，在解析解空间内可以任意构造多体运动的解，寻找起來不再困难两点间最短的线是什么？怎么找这些曲线及它的分布情形，到现在为止还是微分儿何的—个有趣问题。我们知道在圆球上所有的测地线（geodesic）都是大圆。假设我们将圆球变形一下，变成凸曲面：convexsurface,这问题就变成一个很复杂的数学问题。它的测地线分布状态并不明显，到FI前为止没有办法处理这个问题，只有在简单的椭圆体时诃以全部解决这个问题。公式组（1）表明在三维矢:W:极坐标系屮，坐标标架是移动的，r可以不为0,r上的每一点表示为（r1，r2,…，rn），r上两点的距离如果是d,有d2=Egn^xk=公式的r等于黎曼的d2，设黎曼弧长为s，ds2=Egikx*xk=Envirk，黎曼弧长s=VE测地线就是指两点间使弧长最短的那条线，所以r=0时s最短，凡满足m2rir3+m3r1r2+…+01。1^=0的点1^、rk之间的距离就是黎曼流形中的测地线，高维空间（均可映射为一个平而矢量场）的测地线在公式屮表现为两点间所有连续矢:W:逐点连续减的结果，从物理学的角度讲，多体运动的黎曼空间任意两点间的测地线就是矢量极坐标场的位于点n、1^的质;y:体nvmk相互运动交换位置而能®最小时的运动轨迹，从r^ijrk和从1\到1^是不对易的，于是我们得到对于一般的黎曼空间有测地线如的简易算法：0、P两点的测地线距离dGD=-x^）假设两点O（Xoi,XO2,-*,Xon）P（Xp1，Xp2,…，Xpn）的坐标X!，X2，*“Xn为平面矢量，测地线距离等于矢量和 dGD=Z［（xpi-Xol）+（Xp2+Xo2）+…+（Xpn-Xon）］在空间矢量极坐标中，r=0吋，黎曼流形少上两点i、k间的测地线距离drk-l^7公或（1）是牛顿N体运动的一般解析解空间，（以上公式的解Vt⑴〜rl5V2⑴〜r2，v3⑴〜r3，…，均已包含初速度与吋间项，消除后问题大大简化）依边界条件，旋度（关于m和r的函数），等己知量三体或N体问题可解得一个完全解析函数或完全解析构形：一个黎曼几何空间，空间具有黎曼几何度规gpv（xp）=rir2、rir3.r3r2,…，在任意坐标系都是成立的。质量可视为质量度规张量g（UV））度规，是给定坐标的选择后，由坐标系性质构成的一个张量，一般叫g（UV））。这个张量描述了空间的性质，如果这个张量是常量（或者说经过合同变换可以变成常量），我们一般叫平直空间，比如说三维欧式空间，叫维伪欧式空间（3空间1时间），如果这个张量是和平标相关的变量（经过合同变换也变不成常量），我们说空间是弯曲的。广义相对论的场方程是以此为数学工具得到的。黎曼的度规场就是引力场。空间与物体这两个以前看似完全无关的领域变得不再孤立了。物理学和几何学是完全互动的。显然，屯（mj）是平直空间与弯曲空间的积，协变基矢量和逆变基矢量是坐标xi的函数。三体的矢量场的解，时，前者是一个球，后者是一个椭球，r越大，椭球离心率越大通过对以上公式w和*和它们的拉普拉斯方程，泊松方程，散度方程，旋度方程进行适当的数学变换，可得到公式（2〉r=-GMInIr1r2r3Ir=-GMInIr2r3rnI上公式是牛顿N体（平面）运动的一般解析解空间的另一个形式，r=-GMInIiv2r3丨的空间图像是中心对称的，对r求偏导数，等于0时得到最大半径r.初速度为0的N体r为常数。r^rs^ra,无引力源和有引力源的三体解均是椭球体。己知任意时刻的h、r2、r3,就可计算r，三体和N体儿何空间的Lagrange解空间是无限膨胀的球（r=0）或椭球（r其0），时间t足够大，质点的运动轨迹是球或椭球上任意中心对称的封闭曲线，这样的解有无数组，已知运动轨迹的一部分和两端点的曲率，就可几何作图得到整体的可能轨迹，质量一定的N体存在最大半径r，轨迹是r内的屮心对称封闭曲线，从足够大时间t反算不对称的混沌空间，可构造三体或多体运动的解析解（任意时刻t=T/n，n取任意实数值）每一种黎曼度规（质量度规或几何度规）都自然地与一种特别的联络相关联，这种联络被称作列维-奇维塔联络;事实上这种联络能够满足爱因斯坦等效原理的要求并使得时空具有局部的闵川'夫斯基性（这是指在一个适合的局部惯性坐标系下度规是闵可夫斯基性的，其度规的导数和连接系数即克里斯托费尔符号都为零。）。总体上可以归纳为，在爱因斯坦的理论屮引力引起的时空弯曲是一种可微分流形，这种流形在局部是平直的，但整体上可能具有非常不同的全局几何。侃是，它说的是空间的性质，不包括物体本身。N体空间是以N体的质心为坐标原点的N维黎曼几何空间（微分流形）也就是说，广义相对论解释了物体所产生的除物体本身以外的引力场的空间性质，以及物体在这种黎曼空间里的运动规律。N体空间是n维黎曼空间，轨道的长时间行为的不确定 性不再存在，“混沌”现象被黎曼空间上的点代替。所以有人总结说，只有场，没有质点。N体问题可以说是N维黎曼几何的解，N体空间是N维引力场，是广义相对论叫维空间的推广，r=-GMInIW3丨和r=-GMInIr2r3rn|的平面图像，在某一确定时刻，平面多体运动可划分为若干个多体质心的三体运动，多体演化为三体，时间趋丁的多体运动与相应的三体运动有相同的解，同理可将三体视为二体的质心与第三质点的二体运动，得到与三体公式等价的公式r=-GMIn|rv23I，进而得到等价的公式r=-GMInIr123I.将多体划分为若干组，每组的质心作为新的质点，可简化多体运算的量子数，n〜n-1->n-2,…，3—2—1,量子数为1时，多体视为一个单体运动,r=-GMInIr2r3rn|和r=-GMInIr1r2r3I的等价的公式r=-GMInIr1r23I和r=-GMInIr123I的立体图像和引动场平面如下图，多体的引动:U:反“N”字形状顺时针倾斜，使得引动场顺时针立体自转如同一个椭球形雪茄,「方0,则椭球体引动场被拉向球体形状，多体运动的引动空间类似地球磁场，轴向永远不是封闭的r=-GMInInr23I的图像（r#0）r=-GMInIr123I的图像（r关0）公式（1）（2）是多体运动的两个并存的约束阑数，可以非常界易地钩造N体问题的正多而体解和N体问题的平而正多边形解，譬如构造立体8字形解，圆形解，圆环解，立体8字与圆环的佥加空间解，不破坏对称性，N体解可以是非连续空间，空间具备对称性，假设完全对称为1,它的空间对称度可以小于1,而引动量对称度始终等于1,依此可构造单体质量动量不对称的引动量对称空间，它的空间形状可以是奇形怪状的N体解r=0时r=-GMInIr123I的图像（质点是质点系的一个特殊情况，故动量矩定理也适用于质点）右图表示多体向三体的简化计算将平面线上的点视为质点，任意曲线可视为呈子数为无穷大的多体平面运动，地图的区域边界可视为任意封闭曲线的多体运动结果将一定区域的地图边界量子化为相同的或不同的量子单体，量子数n可以是无穷大，量子多体的运动在不同的时间t*4形成r#0的任意的地图图形，当时间t->->时，图形成为上图的封闭四边形，它们是同一个函数的不同取值，所以0~或一0时的解析解空阆成为一个饽度为2的平面运动多体的这一解析解可解释星系的扁平形状、中空和棒旋，根据星盘半径大小可估算星系的年龄时间概念似乎是多余的，时间是质:U:的增长，质铽增长结來时间结束，多体星点系的旋臂数正比GM层数和星系年龄tr3=-tGMIn|⑽I解的阁像在GM—°°或0时成为一个圆筒，直径为2t