新教材人教版高中数学必修第二册同步讲解第8章《8.4.1平面》(含解析)
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新教材人教版高中数学必修第二册同步讲解第8章《8.4.1平面》(含解析)

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时间:2022-08-16

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资料简介
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1 平面学习目标核心素养1.了解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法.(难点)2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.(重点)3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理,理解三个公理的地位与作用.(难点、易错点)1.通过对平面有关概念的学习,培养直观想象的数学素养.2.通过平面基本性质的应用,培养逻辑推理、直观想象的数学素养.1.平面的概念几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、平静的水面等一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.思考1:一个平面能否把空间分成两部分?[提示] 因为平面是无限延展的,一个平面把空间分成两部分.2.平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形,它的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍.如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图②.9 ①     ②3.平面的表示法上图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.4.平面的基本性质基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面A,B,C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A,B,C∈α基本事实2如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α,P∈β⇒α∩β=l且P∈l思考2:经过空间任意三点能确定一个平面吗?[提示] 不一定,只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面.5.推论推论1:经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.1.用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”,正确的是(  )A.A∈l,l∉α    B.A∈l,l⊄αC.A⊂l,l⊄αD.A⊂l,l∉α[答案] B2.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(  )9 A.平面MNB.平面NQPC.平面αD.平面MNPQA [表示平面不能用一条线段的两个端点表示,但可以表示为平面MP,选A.]3.任意三点可确定平面的个数是(  )A.0   B.1C.2   D.1或无数个D [当这三点共线时,可确定无数个平面;当这三点不共线时,可确定一个平面.]立体几何三种语言的相互转化【例1】 用符号表示下列语句,并画出图形.(1)平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于点A,B;(2)点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上.[解] (1)用符号表示:α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,如图.(2)用符号表示:A∈α,B∈α,a∩α=C,C∉AB,如图.三种语言的转换方法:9 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”,直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.1.用符号语言表示下列语句,并画出图形:(1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC;(2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.[解] (1)符号语言表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC,图形表示:如图①.(2)符号语言表示:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC,图形表示:如图②.点线共面问题【例2】 如图,已知:a⊂α,b⊂α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ⊂α.[证明] ∵PQ∥a,∴PQ与a确定一个平面β.∴直线a⊂β,点P∈β.∵P∈b,b⊂α,∴P∈α.又∵a⊂α,∴α与β重合.∴PQ⊂α.9 解决点线共面问题的基本方法:2.求证:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内.[解] 已知:AB∩AC=A,AB∩BC=B,AC∩BC=C.求证:直线AB,BC,AC共面.证明:法一:因为AC∩AB=A,所以直线AB,AC可确定一个平面α.因为B∈AB,C∈AC,所以B∈α,C∈α,故BC⊂α.因此直线AB,BC,AC都在平面α内,所以直线AB,BC,AC共面.法二:因为A不在直线BC上,所以点A和直线BC可确定一个平面α.因为B∈BC,所以B∈α,又A∈α,所以AB⊂α.同理AC⊂α,故直线AB,BC,AC共面.法三:因为A,B,C三点不在同一条直线上,所以A,B,C三点可以确定一个平面α.因为A∈α,B∈α,所以AB⊂α,同理BC⊂α,AC⊂α,故直线AB,BC,AC共面.点共线、线共点问题[探究问题]1.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,设A1C∩平面ABC1D1=E.能否判断点E在平面A1BCD1内?9 [提示] 如图,连接BD1,∵A1C∩平面ABC1D1=E,∴E∈A1C,E∈平面ABC1D1.∵A1C⊂平面A1BCD1,∴E∈平面A1BCD1.2.上述问题中,你能证明B,E,D1三点共线吗?[提示] 由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1,又E∈BD1,根据基本事实3可知B,E,D1三点共线.【例3】 如图,已知平面α,β,且α∩β=l.设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β.求证:AB,CD,l共点(相交于一点).[思路探究] →→→[证明] 因为梯形ABCD中,AD∥BC,所以AB,CD是梯形ABCD的两腰.所以AB,CD必定相交于一点.设AB∩CD=M.又因为AB⊂α,CD⊂β,所以M∈α,M∈β.所以M∈α∩β.又因为α∩β=l,所以M∈l.9 即AB,CD,l共点(相交于一点).本例变为:如图所示,在空间四边形各边AD、AB、BC、CD上分别取E、F、G、H四点,如果EF、GH交于一点P,求证:点P在直线BD上.[证明] 若EF、GH交于一点P,则E,F,G,H四点共面,又因为EF⊂平面ABD,GH⊂平面CBD,平面ABD∩平面CBD=BD,所以P∈平面ABD,且P∈平面CBD,由基本事实3可得P∈BD.1.证明三点共线的方法(1)首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3可知,这些点都在两个平面的交线上.(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在此直线上.2.证明三线共点的步骤(1)首先说明两条直线共面且交于一点;(2)说明这个点在另两个平面上,并且这两个平面相交;(3)得到交线也过此点,从而得到三线共点.1.立体几何的三种语言图形语言、符号语言、文字语言是立体几何的三大语言,要准确实现这三种语言的相互转换.2.三个基本事实的作用:基本事实1——判定点共面、线共面的依据;9 基本事实2——判定直线在平面内的依据;基本事实3——判定点共线、线共点的依据.3.证明几点共线的方法:首先考虑两个平面的交线,再证有关的点都是这两个平面的公共点.或先由某两点作一条直线,再证明其他点也在这条直线上.1.判断正误(1)平面是处处平的面.(  )(2)平面是无限延展的.(  )(3)平面的形状是平行四边形.(  )(4)一个平面的厚度可以是0.001cm.(  )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.下列空间图形画法错误的是(  ) A    B    C     DD [遮挡部分应画成虚线.故D错,选D.]3.如果点A在直线a上,而直线a在平面α内,点B在平面α内,则可以表示为(  )A.A⊂a,a⊂α,B∈αB.A∈a,a⊂α,B∈αC.A⊂a,a∈α,B⊂αD.A∈a,a∈α,B∈αB [点A在直线a上,而直线a在平面α内,点B在平面α内,表示为A∈a,a⊂α,B∈α.]4.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,求证:点P在直线DE上.9 [证明] 因为P∈AB,AB⊂平面ABC,所以P∈平面ABC.又P∈α,平面ABC∩平面α=DE,所以P∈直线DE.9

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