新教材人教版高中数学必修第二册同步讲解第6章《6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示》(含解析)

6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示学习目标核心素养1.掌握两数乘向量的坐标运算法则．(重点)2.理解用坐标表示两向量共线的条件．(难点)3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法．(重点)4.两直线平行与两向量共线的判定．(易混点)1.通过向量的线性运算，提升数学运算的核心素养.2.通过平面向量共线的坐标表示，培养逻辑推理的核心素养.1．数乘运算的坐标表示(1)符号表示：已知a＝(x，y)，则λa＝λ(x，y)＝(λx，λy)．(2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．2．平面向量共线的坐标表示(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)如果用坐标表示，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.思考：两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成＝吗？[提示] 不一定，x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y2≠0时，才能使用．1．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则＝(  )A．(－2，－2)   B．(2,2)C．(1,1)D．(－1，－1)13 D [＝(－)＝(－2，－2)＝(－1，－1)．故选D.]2．下列各对向量中，共线的是(  )A．a＝(2,3)，b＝(3，－2)B．a＝(2,3)，b＝(4，－6)C．a＝(，－1)，b＝(1，)D．a＝(1，)，b＝(，2)D [A，B，C中各对向量都不共线，D中b＝a，两个向量共线．]3．已知a＝(－3,2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________.－4 [∵a∥b，∴＝，解得y＝－4.]4．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝________.－9 [＝(－8,8)，＝(3，y＋6)，∵A，B，C三点共线，即∥，∴－8(y＋6)－8×3＝0，解得y＝－9.]向量共线的判定与证明【例1】 (1)下列各组向量中，共线的是(  )A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)(2)已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？[思路探究] (1)利用“纵横交错积相减”判断．(2)→→(1)D [A中，－2×6－3×4≠0，B中3×3－2×2≠0，C中1×14－(－2)×7≠0，D中(－3)×(－4)－2×6＝0.故选D.]13 (2)[解] ∵＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，＝(2－1,7－5)＝(1,2)．又2×2－4×1＝0，∴∥.又＝(2,6)，＝(2,4)，∴2×4－2×6≠0，∴A，B，C不共线，∴AB与CD不重合，∴AB∥CD.向量共线的判定方法提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减．1．已知A(1，－3)，B，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线．[证明] ＝＝，＝(9－1,1＋3)＝(8,4)，∵7×4－×8＝0，∴∥，且，有公共点A，∴A，B，C三点共线.13 已知平面向量共线求参数【例2】 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？[思路探究] 法一：可利用b与非零向量a共线等价于b＝λa(λ>0，b与a同向；λ