新教材人教版高中数学必修第二册练习：6.2.3《向量的数乘运算》（解析版）

6.2.3向量的数乘运算（用时45分钟）【选题明细表】知识点、方法题号线性表示1,2,5,7,8向量共线3,4,6,9综合应用10,11,12基础巩固1．下列各式计算正确的个数是(  )①(－7)·5a＝－35a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．2．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝(  ) A.－B．－＋C．－－D.＋【答案】B【解析】 ∵D是AB的中点，∴＝，∴＝＋＝－＋.3．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(  )A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D【答案】A【解析】 ＝＋＝＋＋＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b＝3，∴A，B，D三点共线．故选A.4．若＝3e1，＝－5e1，且||＝||，则四边形ABCD是(  )A．平行四边形B．菱形C．等腰梯形D．不等腰的梯形【答案】C【解析】因为＝－，所以AB∥CD，且||≠||.而||＝||，所以四边形ABCD为等腰梯形．5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则等于(  )A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b【答案】B 【解析】如图所示，∵E是OD的中点，∴＝＝b.又∵△ABE∽△FDE，∴＝＝.∴＝3，∴＝，在△AOE中，＝＋＝a＋b，∴＝＝a＋b.故选B.6．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则k＝________.【答案】－4【解析】∵ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2.∴解得或∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，∴λ＝－，k＝－4.7．若a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，则向量a写为λ1b＋λ2c的形式是________．【答案】－b＋c【解析】 若a＝λ1b＋λ2c，则－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，∴－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2.∴解之，得8．如图所示，向量，，的终点A，B，C在一条直线上，且＝－3.设＝p，＝q，＝r，那么r用p，q怎么表示？ 【答案】r＝－p＋q.【解析】∵＝＋，＝－3＝3，∴＝.∴＝＋＝＋(－)．∴r＝q＋(r－p)．∴r＝－p＋q.能力提升9．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是(  )①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；②存在相异实数λ，μ，使＝0；③＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；④已知梯形ABCD，其中A．①②      B．①③C．②D．③④【答案】A 【解析】由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故①可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故②可以；x＝y＝0，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故③不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．10．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．【答案】2 【解析】在△ABC中，连接AO.由于O是BC的中点，因此＝(＋)＝＋.由于＝m，＝n，则＝m＋n.由于M，O，N三点共线，则m＋n＝1，从而m＋n＝2.11．如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝AD，＝a，＝b.(1)用a，b分别表示向量，；(2)求证：B，E，F三点共线．【答案】（1）＝(a＋b)．＝－a＋b.（2）见解析.【解析】(1)∵＝(＋)＝(a＋b)，∴＝＝(a＋b)．∵＝＝b，∴＝－＝－a＋b.(2)证明：由(1)知＝－a＋b，＝－＝(a＋b)－a＝－a＋b＝，∴＝，∴与共线．又BE，BF有公共点B，所以B，E，F三点共线． 素养达成12．设e1，e2是两个不共线的向量，如果＝3e1－2e2，＝4e1＋e2，＝8e1－9e2.(1)求证A，B，D三点共线；(2)试确定λ的值，使2λe1＋e2和e1＋λe2共线；(3)若e1＋λe2与λe1＋e2不共线，试求λ的取值范围．【答案】(1)见解析．(2)λ＝±.(3)当λ≠±1时，e1＋λe2与λe1＋e2不共线．【解析】(1)证明：因为＝＋＝4e1＋e2＋8e1－9e2＝12e1－8e2＝4(3e1－2e2)＝4，所以与共线．因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)因为2λe1＋e2与e1＋λe2共线，所以存在实数μ，使2λe1＋e2＝μ(e1＋λe2)．因为e1，e2不共线，所以所以λ＝±.(3)假设e1＋λe2与λe1＋e2共线，则存在实数μ，使e1＋λe2＝μ(λe1＋e2)．因为e1，e2不共线，所以所以λ＝±1.所以当λ≠±1时，e1＋λe2与λe1＋e2不共线．