新教材人教版高中数学必修第二册练习：6.4.3《余弦定理、正弦定理（第3课时）余弦定理、正弦定理应用举例》（解析版）

6.4.3余弦定理、正弦定理第3课时余弦定理、正弦定理应用举例（用时45分钟）【选题明细表】知识点、方法题号余弦定理、正弦定理应用举例1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12基础巩固1．若点在点的北偏东方向上，则点在点的（）A．东偏北方向上B．北偏东方向上C．南偏西方向上D．西偏南方向上【答案】C【解析】如图所示,点在点的南偏西方向上.故选：C2．若点在点的北偏东方向上，点在点的南偏东方向上，且，则点在点的（） A．北偏东方向上B．北偏西方向上C．北偏东方向上D．北偏西方向上【答案】B【解析】如图所示,.又∵,∴.∵,∴.∴点在点的北偏西方向上.故选：B3．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为，山顶C的仰角为，，则两山顶A，C之间的距离为  A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，，， ，；△ACE中，由余弦定理得，；即两山顶A，C之间的距离为．故选A．4．一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(  )A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里【答案】B【解析】根据已知条件可知△ABC中，AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，所以∠C＝45°，由正弦定理，有，所以10.故选B.5．如图，为测塔的高度，某人在与塔底同一水平线上的点测得，再沿方向前行米到达点，测得，则塔高为（）A．米B．米C．40米D．20米【答案】D【解析】Rt△ABC中,设,则由可知,在中, ,所以,解得.则塔高为20米.故选：D.6．已知甲船位于小岛的南偏西的处，乙船位于小岛处，千米，甲船沿的方向以每小时6千米的速度行驶，同时乙船以每小时8千米的速度沿正东方向匀速行驶，当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为_____小时．【答案】【解析】如图，当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为小时，此时甲船位于处，乙船位于处，则，，由余弦定理可得：=，故当时取最小值，故答案为．7．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，现测得，，米，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高______米【答案】【解析】因为，，所以， 在△BCD中，根据正弦定理可知，即，解得，在直角△ABC中，，，所以塔高米．故答案为.8．已知海岛在海岛北偏东，，相距海里，物体甲从海岛以海里/小时的速度沿直线向海岛移动，同时物体乙从海岛沿着海岛北偏西方向以海里/小时的速度移动．（1）问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；（2）求甲从海岛到达海岛的过程中，甲、乙两物体的最短距离．【答案】（1）小时；（2）海里．【解析】（1）设经过小时，物体甲在物体乙的正东方向．如图所示，物体甲与海岛的距离为海里，物体乙与海岛距离为海里，，中，由正弦定理得：，即，则． （2）由（1）题设，，，由余弦定理得：∵，∴当时，海里．能力提升9．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为()km.A．B．C．D．2【答案】B【解析】由已知，中，，，由正弦定理，，所以，在中，，由正弦定理，，所以，在中，由余弦定理，，解得：． 所以与的距离.故选B10．如图，为了测量河对岸、两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；并测量得到一些数据：，，，，，，，则、两点之间的距离为__________．（其中取近似值）【答案】【解析】由题意知,在△ACD中,.由正弦定理得.在△BCE中,,由正弦定理得在△ABC中,由余弦定理得，∴11．如图，已知在东西走向上有两座发射塔，且，，一辆测量车在塔底的正南方向的点处测得发射塔顶的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了后到达点，在点处测得发射塔顶的仰角为，且，经计算，，求两发射塔顶之间的距离.【答案】. 【解析】在Rt△AMP中，，，∴，连接，在△PQM中，，又，∴△PQM为等边三角形，∴，在Rt△AMQ中，由，得，在Rt△BNQ中，∵，，∴，，，在△BQA中，由余弦定理得，∴，∴两发射塔顶之间的距离是．素养达成12．国家边防安全条例规定：当外轮与我国海岸线的距离小于或等于海里时，就会被警告.如图，设，是海岸线上距离海里的两个观察站，满足，一艘外轮在点满足，.（1），满足什么关系时，就该向外轮发出警告令其退出我国海域？ （2）当时，间处于什么范围内可以避免使外轮进入被警告区域？【答案】（1）（2）【解析】（1）设外轮到我国海岸线的距离为海里，在中，，由正弦定理得，所以，在中，，当，即时，就该向外轮发出警告，令其退出我国海域.（2）当时，，要使不被警告，则，即，解得，所以，即，又因为，所以.当时可以避免使外轮进入被警告区域.