2021年人教版高中数学必修第一册随堂练习：第1章《1.1第1课时集合的含义》(含答案详解)

1.1 集合的概念第1课时 集合的含义学习目标核心素养1.通过实例了解集合的含义．(难点)2．掌握集合中元素的三个特性．(重点)3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)1.通过集合概念的学习，逐步形成数学抽象素养．2．借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养.1．元素与集合的相关概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．思考：(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？提示：(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准．(2)某班身高高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．7 2．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.3．常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR1．下列给出的对象中，能构成集合的是(  )A．一切很大的数B．好心人C．漂亮的小女孩D．清华大学2019年入学的全体学生D [“很大”“好”“漂亮”等词没有严格的标准，故选项A、B、C中的元素均不能构成集合，故选D.]2．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为(  )A．1   B．2C．3D．4C [由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素．]3．用“∈”或“∉”填空：________N；－3________Z；________Q；0________N*；________R.[答案] ∉ ∈ ∉ ∉ ∈4．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________.3 [由题意可知a＋1＝4，即a＝3.]集合的基本概念7 【例1】 考察下列每组对象，能构成集合的是(  )①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④    B．②③④C．②③D．②④B [①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.]判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.1．判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合；(2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合；(3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素．[解] (1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合．(2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合．(3)不正确，方程的解只有1和－2，集合中有2个元素．元素与集合的关系【例2】 (1)下列所给关系正确的个数是(  )①π∈R；②∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.A．1   B．2C．3   D．4(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为(  )A．2B．2或47 C．4D．0(1)B (2)B [(1)①π是实数，所以π∈R正确；②是无理数，所以∉Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N*错误．故选B.(2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，综上所述，a＝2或4.故选B.]判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.2．集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．0,1,2 [∵∈N，∴3－x＝1或2或3或6，即x＝2或1或0或－3.又x∈N，故x＝0或1或2.即集合A中的元素为0,1,2.]集合中元素的特性及应用[探究问题]1．若集合A中含有两个元素a，b，则a，b满足什么关系？提示：a≠b.7 2．若1∈A，则元素1与集合A中的元素a，b存在怎样的关系？提示：a＝1或b＝1.【例3】 已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．[思路点拨] [解] 由题意可知，a＝1或a2＝a，(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a的值为0.1．(变条件)本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．[解] 由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1.2．(变条件)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．[解] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，所以a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1.1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．2．本题在解方程求得a的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分．提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形．1．判断一组对象的全体能否构成集合的依据是元素的确定性，若考查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合．7 2．集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．1．思考辨析(1)接近于0的数可以组成集合．(  )(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．(  )(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．(  )[答案] (1)× (2)√ (3)×2．已知集合A由x