号证考准姓名场考点考绝密★启用前2021年中卫市高考第二次优秀生联考理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅱ卷第22、23题为选考题，其他题为必考题。考生做答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上。2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚。3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。4、保持卡面清洁，不折叠，不破损。5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）1.已知全集，集合与关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示集合的元素共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.设复数（是虚数单位），则（）A．B．C．D．3.从4位男生，2位女生中选3人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法种数共有（）A.8B.12C.16D.204.已知实数，满足，则的最大值为（）A.B.C.D.5.已知，则（）
A．B．C．D．6.已知函数的图象关于直线对称，在时，单调递增．若，，（其中为自然对数的底数，为圆周率），则的大小关系为（）A.B.C.D.7.已知直线与圆相交于不同的两点、，为坐标原点，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8.设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是，，°，则此直三棱柱的高是（）A．B．C．D.9.设抛物线（）的焦点为，过点作倾斜角为的直线交抛物线于点，（点位于轴上方），是坐标原点，记△和△的面积分别为，，则（）A.B.C.D.10.《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”.沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”.现记截面之间几何体体积为，“刍甍”的体积为，若，台体的体积公式为，其中分别为台体的上、下底面的面积.则“方亭”的上、下底面边长之比为
A.B.C.D.11.已知，且，的夹角为，若向量，则的取值范围是A.B.C.D.12.已知函数，则下列结论不正确的是（）A.函数在上单调递减B.函数在上有极小值C.方程在上只有一个实根D.方程在上有两个实根二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数，则曲线在处的切线方程为.14.某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动.据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长(小时)近似服从正态分布，人均活动时间约40小时.若某高中学校1000学生中参加该活动时间在30至50小时之间的同学约有300人.据此，可推测全市名学生中，累计时长超过50小时的人数大约为.15.已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为.连接，设直线，的斜率分别为，，若，则双曲线的离心率为.16.钝角的面积是，，，角的平分线交于点，则.
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题满分12分）数列的前项和为，，对任意的有，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列，，，求数列的通项公式.18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，⊥平面，∥，，，.（Ⅰ）求证：⊥；（Ⅱ）设为棱上一点，且∥平面，求二面角的大小.19.（本小题满分12分）某中学组织学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子产品.该电子产品由，两个系统组成，其中系统由3个电子元件组成，系统由5个电子元件组成.各个电子元件能够正常工作的概率均为()，且每个电子元件能否正常工作相互独立.每个系统中有超过一半的电子元件正常工作，则该系统可以正常工作，否则就需要维修.（Ⅰ）当时，每个系统维修费用均为200元.设为该电子产品需要维修的总费用，求的分布列与数学期望；（Ⅱ）当该电子产品出现故障时，需要对该电子产品，两个系统进行检测.从，两个系统能够正常工作概率的大小判断，应该优先检测哪个系统？
20．（本题满分12分）已知函数.（Ⅰ）若，求实数的值；（Ⅱ）求证：().21．（本小题满分12分）已知点是圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.（Ⅰ）求动点的轨迹方程；（Ⅱ）定义:两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线与曲线相似，且焦点在同一条直线上，曲线经过点，.过曲线上任一点作曲线的切线，切点分别为，这两条切线分别与曲线交于点(异于点)，证明：是一个定值，并求出这个定值.选考题：（请考生在第22、23两道题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和曲线的参数方程；（Ⅱ）设曲线与曲线在第二象限的交点为，曲线与轴的交点为，点，求的周长的最大值．
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知，，，且．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）求证：．答案：1.已知全集，集合与关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示集合的元素共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】C2.设复数（是虚数单位），则（）A．B．C．D．【解析】，.故选B.3.从4位男生，2位女生中选3人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法种数共有（）A.8B.12C.16D.20【解析】可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有（种）；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有（种）．根据分类加法计数原理知，至少有l位女生人选的不同的选法有16种．故选C.
4.已知实数，满足，则的最大值为（）A.B.C.D.【解析】画出线性约束区域，所以当直线经过点时，目标函数有最大值，最大值为3.故选D.5.已知，则（）A．B．C．D．【解析】由，得.因为，所以，即，所以，故选A.6.已知函数的图象关于直线对称，在时，单调递增．若，，（其中为自然对数的底数，为圆周率），则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函数的图象关于直线对称，可得的图象关于轴对称，结合单调性进行比较可得选项.【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以的图象关于轴对称，因为时，单调递增，所以时，单调递减；因为，所以.故选：A.
7.已知直线与圆相交于不同的两点、，为坐标原点，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】、为直线与圆的交点,设，联立可得：，即，，解得：.则，则,解得：或.综上：故选：B.8.设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是，，°，则此直三棱柱的高是（）A．B．C．D.解析：设因为°，所以于是是外接圆的半径），又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，所以球的半径为
所以球的表面积为解得于是直三棱柱的高是故选D.9.设抛物线（）的焦点为，过点作倾斜角为的直线交抛物线于点，（点位于轴上方），是坐标原点，记△和△的面积分别为，，则（）A.B.C.D.【解析】由题意可知，直线的方程为，代入，整理得.设点、的坐标分别为，，因为点位于轴上方，所以，，所以，故选C.10.《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”.沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”.现记截面之间几何体体积为，“刍甍”的体积为，若，台体的体积公式为，其中分别为台体的上、下底面的面积.则“方亭”的上、下底面边长之比为（）A.B.C.D.【解析】设“方亭”的上底面边长为,下底面边长为,高为h，则，
∴．故选A．11.已知，且，的夹角为，若向量，则的取值范围是（）A.B.C.D.【解析】解法1：取，则点在以为圆心，半径为1的圆面上（包括边界），设向量的夹角为，由图可知，取值范围为；，由于为向量在向量上的投影，且.故的取值范围是.选D.解法2：不妨设，，.因为，所以，设，，，，所以，由于，故.故选D.12.已知函数，则下列结论不正确的是（）A.函数在上单调递减B.函数在上有极小值C.方程在上只有一个实根D.方程在上有两个实根【答案】C
【详解】由题意，函数，可得，当，即，所以，所以，解得，当时，；当时，，当，即，所以，所以，解得，当时，；当时，，所以当时，单调递减，所以A正确；又因为当时，，当时，，所以在出取得极小值，所以B正确；因为，所以在上不只有一个实数根，所以C不正确；因为方程，即，即，所以，正切函数在为单调递增函数，又由函数，可得，当和时，，当时，，
且当时，，作出两函数的大致图象，如图所示，由图象可得，当，函数与图象有两个交点，所以D正确.13.已知函数，则曲线在处的切线方程为.【解析】因为，，，所以切线方程为.14.某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动.据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长(小时)近似服从正态分布，人均活动时间约40小时.若某高中学校1000学生中参加该活动时间在30至50小时之间的同学约有300人.据此，可推测全市名学生中，累计时长超过50小时的人数大约为.【解析】由题意，，则，由，可得，故累计时长超过50小时的人数大约有人.15.已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为.连接，设直线，的斜率分别为，，若，则双曲线的离心率为.【解析】已知焦点，的坐标分别为，，其中.根据对称性，不妨设点在渐近线上，则直线的方程为，与联立，得，所以，由，得，化简得，故.
16.钝角的面积是，，，角的平分线交于点，则.【解析】由，得，若角为锐角，则，此时，即，由于，则为锐角三角形，不符合题意.故为钝角，此时，，故.在中，由正弦定理得，同理，在中，，而在中，，由于，故，由于,故，所以，所以.17.数列的前项和为，，对任意的有，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列，，，求数列的通项公式.【解析】（1），-得到，所以因为所以所以数列为等差数列，又因为所以（2）因为所以所以
所以④.所以④-得到=18.如图，在四棱锥中，⊥平面，∥，，，.(1)求证：⊥；(2)设为棱上一点，且∥平面，求二面角的大小.(1)证明：∵∥，⊥平面，∴⊥平面.又∵平面，∴⊥.在中，由，得，.又∵，⊥，∴.在中，，解得.∴，即.
而，∴⊥平面.又∵平面，∴⊥.…………………………5分(2)解：连接交于点，连接.∵∥平面，平面平面，∴∥，∴.在直角梯形中，，∴，∴.如图，以为坐标原点，，所在的直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，则(0，0，0)，(0，0，6)，(4，0，2).又∵()，∴，∴，∴，.令平面的一个法向量为，由得取，得.同理，平面的一个法向量为，∴，即二面角的大小为………………………12分19.某中学组织学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子产品.该电子产品由，两个系统组成，其中系统由3个电子元件组成，系统由5个电子元件组成.各个电子元件能够正常工作的概率均为()，且每个电子元件能否正常工作相互独立.每个系统中有超过一半的电子元件正常工作，则该系统可以正常工作，否则就需要维修.(1)当时，每个系统维修费用均为200元.设为该电子产品需要维修的总费用，求的分布列与数学期望；(2)当该电子产品出现故障时，需要对该电子产品，两个系统进行检测.从，两个系统能够正常工作概率的大小判断，应该优先检测哪个系统？
解：(1)系统需要维修的概率为，系统需要维修的概率为，设为该电子产品需要维修的系统个数，则，.，∴的分布列为∴.…………………………6分(2)系统3个元件至少有2个正常工作的概率为，系统5个元件至少有3个正常工作的概率为，则.∵.令，解得.所以，当时，系统比系统正常工作的概率大，当该产品出现故障时，优先检测系统；当时，系统比系统正常工作的概率大，当该产品出现故障时，优先检测系统；当时，系统与系统正常工作的概率相等，当该产品出现故障时，，系统检测不分次序.……………………………12分20.已知函数.(1)若，求实数的值；
(2)求证：().解：(1)，则.①当时，，在上单调递增.∵，∴当时，，不符合题意，舍去；②当时，，由得，；由得，.∴在上单调递增，在上单调递减.∵，∴当时，，不符合题意，舍去；③当时，，由得，；由得，.∴在上单调递增，在上单调递减.又∵，∴成立.④当时，，由得，；由得，.∴在上单调递增，在上单调递减.∵，∴当时，，不符合题意，舍去；综上得，.…………………………6分(2)由(1)知，当时，在上成立，即.令()，则，∴，即，
∴().…………………………12分21.已知点是圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.(1)求动点的轨迹方程；(2)定义:两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线与曲线相似，且焦点在同一条直线上，曲线经过点，.过曲线上任一点作曲线的切线，切点分别为，这两条切线分别与曲线交于点(异于点)，证明：是一个定值，并求出这个定值.解：(1)由题意知，且，根据椭圆的定义知，交点的轨迹是以点为焦点的椭圆，且，，∴，∴曲线的方程为.…………………………4分(2)∵曲线与曲线相似，且它们的焦点在同一条直线上，曲线经过点，，∴可设曲线的方程为().将点的坐标代入上式得，，∴曲线的方程为.设()，()，().①当切线的斜率不存在时，切线的方程为，代入得，此时，()与曲线相切，为的中点，为的中点，所以是一个定值；同理可求，当切线的斜率不存在时，也是一个定值.②当切线和的斜率都存在时，设切线的方程为，分别代入和
，化简得①，②.由题意知，方程①有两个相等的实数根；方程②有两个不相等的实数根，∴，∴，∴,此时，为的中点.同理可证，为的中点，是一个定值.综上可知，是一个定值.…………………………12分22.选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的参数方程；（2）设曲线与曲线在第二象限的交点为，曲线与轴的交点为，点，求的周长的最大值．【解答】解：（1）曲线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为：．曲线的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为，整理得，转换为参数方程为为参数）．（2）曲线与曲线在第二象限的交点为，，所以当时，的周长的最大值为．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知，，，且．（1）求的取值范围；（2）求证：．解：（1），，且，，，，，的取值范围为．（2），，，，，当且仅当时等号成立，又，．
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