2020 年中卫市高考第二次模拟考试理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的选项中
只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）
1.若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
解不等式确定集合 后由交集运算得结论．
【详解】由题意 ， ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查集合的交集运算，考查解一元二次不等式和指数不等式，掌握指数函数性
质和一元二次不等式求解方法是解题关键．
2.若 为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为 1，图中复平面内点 表示复数 ，则表示复
数 的点是（ ）
A. E B. F C. G D. H
【答案】C
【解析】
{ }2 2 3 0A x x x= − − ≤ { }2 2xB x= ≥ A B =
1 ,32
1 ,12
13, 2
−
[ ]2,3
,A B
1 3{ | }A x x= − ≤ ≤ 1{ | }2B x x= ≥
1{ | 3}2A B x x= ≤ ≤
i Z z
2i
z【分析】
由于在复平面内点 的坐标为 ，所以 ，然后将 代入 化简后可找到
其对应的点.
【详解】由 ，所以 ，对应点 .
故选：C
【点睛】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.
3.设 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）
A. 0 B. -4 C. -8 D. -6
【答案】D
【解析】
【分析】
作出可行域，利用数形结合即可求解.
【详解】作出可行域，如下图所示：
当目标函数 经过 时，
取得最小值-6.
故选:D
【点睛】本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，以及线性目标函数的最小值，属于
基础题.
4.自 2019 年 12 月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病
毒具有很强的传染性各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范
Z ( 1,1)− 1z i= − + 1z i= − + 2i
z
1z i= − + 2 2 ( 1 ) 11
i i i i iz i
= = − − = −− + G
,x y
2 0
2 2 0
2 2 0
x y
x y
x y
+ − ≤
− − ≤
− + ≥
3z x y= −
3z x y= − (0,2)A
z围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有 3 个不同的住户属在鄂返乡住
户，负责该小区体格检查的社区诊所共有 4 名医生，现要求这 4 名医生都要分配出去，且每
个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（ ）
A. 12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 72 种
【答案】C
【解析】
【分析】
先将 4 名医生分成 3 组，其中 1 组有 2 人，共有 种选法，然后将这 3 组医生分配到 3 个不
同的住户中去，有 种方法，由分步原理可知共有 种.
【详解】不同分配方法总数为 种.
故选：C
【点睛】此题考查的是排列组合知识，解此类题时一般先组合再排列，属于基础题.
5.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图
所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为 ，每只胳膊的拉力大小均为 ，则该学生
的体重（单位： ）约为（ ）
（参考数据：取重力加速度大小为 ）
A. 63 B. 69 C. 75 D. 81
【答案】B
【解析】
分析】
根据平行四边形法则得到该学生的体重 ,利用余弦定理即可求出 得解.
【
2
4C
3
3A 2 3
4 3C A
2 3
4 3C A 36=
60° 400N
kg
210 / 3 1.732g m s ≈＝ ，
| | | |G F′= | |F′【详解】
如图，设该学生的体重为 ,则 .
由余弦定理得 .
所以 .
故选：B
【点睛】本题主要考查向量的平行四边形法则和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知
识的理解掌握水平.
6.已知 在双曲线 的渐近线上，则该双曲线的离心率为( )
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先由双曲线方程求出双曲线的渐近线方程，再结合双曲线离心率的求法求解即可.
【详解】解：由双曲线方程为 ，
则双曲线的渐近线方程为 ，
又 在双曲线的渐近线上，
则 ，
即 ，
G G F′=
2 2 2 22| | 400 400 2 400 400 cos( ) 3 400 , | | 400 33F F
π′ ′= + − × × × = × ∴ =
| | 400 3 69G = ≈ kg
(1, 2)P
2 2
2 2 1x y
a b
− = ( 0, 0)a b> >
10 5 3
2 2
2 2 1x y
a b
− = ( 0, 0)a b> >
by xa
= ±
(1, 2)P
2a b=
2 2 2 22a b c a= = −即 ，
即 ，
故选：D.
【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，重点考查了双曲线离心率的求法，属基础题.
7.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ，
若 的面积为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦定理，把角化为边，结合面积公式，再用余弦定理，即可求解.
【详解】由题意得， ，.
又 ，解得 ，
∴ ，
故选:B.
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式，在解三角形中 应用，属于基础题.
8.执行如图所示的程序框图，则输出的 是（ ）
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
【答案】B
的
2 23a c=
3= =ce a
ABC∆ A B C a b c 2
3C
π= sin 3sinB A=
ABC∆ 6 3 c =
2 2 2 26 2 14 4 7
3b a=
21 3 3sin 6 32 2 2ABC aS b C a∆ = = ⋅ = 2 8a =
2 2 2 2 2 22 cos 10 3 103 81c a b ab C a a a= − = =+ = +
2 26c∴ =
S【解析】
【分析】
根 据 框 图 可 得 程 序 是 求 数 列 的 前 999 项 的 和 再 加 上 2 ， 由
可得到答案.
【详解】根据框图的运行可得：程序是 2 加上数列 的前 999 项的和.
又
所以
故选：B
【点睛】本题考查程序框图中的循环和裂项相消法求和，属于中档题.
9.已知点 是焦点为 的抛物线 上的一点，且 ，点 是直线
与 的交点，若 ，则抛物线的方程为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意， ；设 ，求出 点坐标，由 列出关于 与 的方程可得
的值，由 可得 的值，可得答案.
【详解】解：依题意， ；设 ，
联立 ，解得 ，
lg 1
n
n
+
( )lg lg lg 11n
na n nn
= = − ++
lg 1
n
n
+
( )lg lg lg 11n
na n nn
= = − ++
( ) ( ) ( )2+ lg1 lg 2 lg3 lg3 lg999 lg1000S = − + − + + −
2 lg1 lg1000 2 3 1= + − = − = −
P F ( )2: 2 0C y px p= > 10PF = Q
1 : 2 3 0l x y− + = 2 : 2 6 0l x y+ − = PQ QF⊥
2 4y x= 2 4y x= 2 36y x=
2 12y x= 2 12y x= 2 28y x=
( ,0)2
pF
2
0
0( , )2
yP yp
Q PQ QF⊥ p 0y 0y
10PF = p
( ,0)2
pF
2
0
0( , )2
yP yp
2 3 0
2 6 0
x y
x y
− + =
+ − = 0, 3x y= =故 ， ；
因为 ，
故 ，解得 ，且 ；
又由 得， ，解得 或 ，
故选：B.
【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程及基本性质，需灵活运用已知条件解题，属于中档
题.
10.给出下列说法：①“ ”是“ ”的充分不必要条件；②命题“ ，
”的否定是“ ， ”；③小赵、小钱、小孙、小李到4 个景
点旅游，每人只去一个景点，设事件 为“4 个人去的景点不相同”，事件 为“小赵独自去
一个景点”，则 ；④设 ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方
形 中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是 6587.（注：若
，则 ， ）
其中正确说法的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
①求出使 的 即可判断；
②全称命题的否定是特称命题，根据书写规则来判断；
③利用条件概率的计算公式计算即可；
④利用正太分布的对称性计算即可.
( )0,3Q
2
0
0( , 3), ( , 3)2 2
p yQF QP yp
= − = −
PQ QF⊥
2 2
0 0
0 0( , 3) ( , 3)= 3( 3) 02 2 4
p y yQF QP y yp
⋅ = − ⋅ − − − =
0 6y = 18( ,6)P p
10PF = 218( ) 36 102
p
p
− + = 2p = 18p =
4x
π= tan 1x = 0x∀ >
1 0xe x− − > 0 0x∃ ≤ 0
0 1 0xe x− − ≤
A B
2( | ) 9P A B = ~ (1,1)X N
ABCD
( )2~ ,X N µ σ ( ) 68.27%P Xµ σ µ σ− < + ≈ ( 2 2 ) 95.45%P Xµ σ µ σ− < + ≈
tan 1x = x【详解】解：①由 ，故“ ”是“ ”的充分不必
要条件，①正确；
②命题“ ， ”的否定是“ ， ”， ②错误；
③由条件概率的计算公式得 ，③正确；
④由已知落入阴影部分的点的个数的估计值是
，④正确.
故选：C.
【点睛】本题考查充分性必要性的判断，考查条件概率的求解，考查正太分布对称性的应用，
是基础题.
11.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期
数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图 1，用
对角线将长和宽分别为 和 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正
方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图 2 所示的
矩形．该矩形长为 ，宽为内接正方形的边长 ．由刘徽构造的图形还可以得到许多重要
的结论，如图 3．设 为斜边 的中点，作直角三角形 的内接正方形对角线 ，过
点 作 于点 ，则下列推理正确的是（ ）
①由图 1 和图 2 面积相等得 ；
tan 1 ,4x x k k Z
π π= ⇔ = + ∈
4x
π= tan 1x =
0x∀ > 1 0xe x− − > 0 0x∃ > 0
0 1 0xe x− − ≤
4
4
1 3
4
( ) 2( | ) ( ) 3 9
AP ABP A B P B C
= = =⋅
( )1 110000 1 0 2 10000 1 0.6827 65872 2P x × − < < = × − × ≈
b a
+a b d
D BC ABC AE
A AF BC⊥ F
abd a b
= +②由 可得 ；
③由 可得 ；
④由 可得 ．
A. ①②③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图形进行计算．
【详解】①由面积相等得 ， ，正确；
② 图 3 中，由三角形面积得 ，又 ，
由 得 ，所以 ，正确；
③ ，由 得 ，所以
，正确；
④由由 得 ，所以 ，正确．
四个推理都正确．
故选：A．
【点睛】本题考查推理，通过构造几何图形推导出基本不等式及其推论．本题考查数学文化，
激发学生的学习积极性．
12.已知函数 是定义在 的偶函数，且 .当 时，
，若方程 有 300 个不同的实数根，则实数 m 的取值
在
AE AF≥
2 2
2 2
a b a b+ +≥
AD AE≥
2 2 2
1 12
a b
a b
+ ≥
+
AD AF≥ 2 2 2a b ab+ ≥
( )ab a b d= + abd a b
= +
2 2
abAF
a b
=
+
22 abAE d a b
= = +
AE AF≥
2 2
2ab ab
a b a b
≥+ +
2 2
2 2
a b a b+ +≥
2 21
2AD a b= + AD AE≥ 2 21 2
2
aba b a b
+ ≥ +
2 2 2 2
1 12
a b ab
a b
a b
+ ≥ =+ +
AD AF≥ 2 2
2 2
1
2
aba b
a b
+ ≥
+
2 2 2a b ab+ ≥
( )f x [ 100,100]− ( 2) ( 2)f x f x+ = − [0,2]x∈
( ) ( 2) xf x x e= − 2[ ( )] ( ) 1 0f x mf x− + =范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先由已知确定函数 的周期是 4，利用导数研究 在 上的性质，单调性、极值，
结合偶函数性质作出 在 上的图象， 的定义域是 含有 50 个周期，
方程 有 300 个不同的实数根，那么在 的一个周期内有 6 个根，令
，可知方程 有两个不等实根 ，且 ， ，由
二次方程根的分布知识可得解．
【详解】由 知函数的周期为 4，当 时， ，则
，当 时， ， 递减，当 时， ，
递增， ，又 是偶函数，作出 在 上的图象，如
图．
函数 的周期是 4，定义域为 ，含有 50 个周期，
方程 有 300 个不同的实数根，因此在一个周期内有 6 个根（这里
， 不是方程的根）．
令 ，方程 有两个不等实根 ，且 ， ，设
，则 ，解得 ．
故选：A．
1 5, 2e e
− − −
1 5, 2e e
− − − ( , 2)−∞ −
1 , 2e e
− − −
( )f x ( )f x [0,2]
( )f x [ 2,2]− ( )f x [ 100,100]−
2[ ( )] ( ) 1 0f x mf x− + = ( )f x
( )f x t= 2 1 0t mt− + = 1 2,t t 1 ( , 2)t e∈ − − 2 ( 2,0)t ∈ −
( 2) ( 2)f x f x+ = − [0,2]x∈ ( ) ( 2) xf x x e= −
'( ) ( 1) xf x x e= − 0 1x≤ < '( ) 0f x < ( )f x 1 2x< ≤ '( ) 0f x >
( )f x ( ) (1)f x f e= = −极小值 ( )f x ( )f x [ 2,2]−
( )f x [ 100,100]−
2[ ( )] ( ) 1 0f x mf x− + =
( 2) 0f ± = 2±
( )f x t= 2 1 0t mt− + = 1 2,t t 1 ( , 2)t e∈ − − 2 ( 2,0)t ∈ −
2( ) 1g t t mt= − +
( ) 0
( 2) 0
(0) 0
g e
g
g
− >
−
1 5
2e me
− − < < −【点睛】本题考查函数的周期性、奇偶性、对称性，二次方程根的分布，函数的零点问题，
考查了分类讨论思想，数形结合思想，体现的数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养．
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.二项式 的展开式中 的系数是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出展开式的通项公式，令 的指数为 ，即求 的系数.
【详解】展开式通项 ，
令 ，得 ，
的系数是 .
故答案为： .
【点睛】本题考查二项式定理，属于基础题.
14.函数 的图象在 处的切线与直线 互相垂直,则 _____．
【答案】1.
【解析】
【分析】
求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直的直线斜率的关系建立方程关系进行求解
即可．
【详解】 函数 图象在 处的切线与直线 垂直,的
52x x
−
2x−
80−
x 2− 2x−
( ) ( ) 5 35
2
1 5 5
2 2
r rr rr r
rT C x C xx
−−
+
= − = −
5 3 22
r− = − 3r =
2x−∴ ( )3 3
52 80C− = −
80−
xy axe= 0x = y x= − a =
xy axe= 0x = y x= −函数 的图象在 的切线斜率
本题正确结果：
【点睛】本题主要考查直线垂直的应用以及导数的几何意义，根据条件建立方程关系是解决
本题的关键．
15.已知 ， 均为锐角， ， ，则 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
先求得 的值，然后求得 的值，进而求得 的值.
【详解】由于 为锐角，且 ，故 ， .由
， 解 得 ， 由 于 为 锐 角 ， 故
.
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题.
16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点 ， 距离之比为常数 且
的点的轨迹是一个圆心在直线 上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下
面的问题：如图，在长方体 中， ，点 在棱 上，
，动点 满足 ．若点 在平面 内运动，则点 所形成的阿氏
圆的半径为________；若点 在长方体 内部运动， 为棱 的中点，
为 的中点，则三棱锥 的体积的最小值为___________．
∴ xy axe= 0x = 1k =
( ) x xf x ae axe′ = + ( )0 1f a′∴ = =
1
α β 4cos 5
α = 1tan( ) 3
α β− = − cos β =
9 10
50
tanα tan β cos β
α 4cos 5
α = 2 3sin 1 cos 5
α α= − = sin 3tan cos 4
αα α= =
( ) tan tan 1tan 1 tan tan 3
α βα β α β
−− = = −+ ⋅
13tan 9
β = β
2
2
2 2 2
cos 1cos cos cos sin 1 tan
ββ β β β β= = =+ +
9 10
50
=
A B ( 0λ λ＞
1)λ ≠ AB
1 1 1 1ABCD A B C D− 12 2 6AB AD AA＝ ＝ ＝ E AB
2BE AE＝ P 3BP PE＝ P ABCD P
P 1 1 1 1ABCD A B C D− F 1 1C D
M CP 1M B CF−【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
（1）以 AB 为 轴，AD 为 轴， 为 轴，建立如图所示的坐标系，设 ，求出点 P
的轨迹为 ，即得解；（2）先求出点 P 的轨迹为 ，P 到平面
的距离为 ，再求出 的最小值即得解.
【详解】
（1）以 AB 为 轴，AD 为 轴， 为 轴，建立如图所示的坐标系，则 设
，
由 得 ，
所以 ，
所以若点 在平面 内运动，则点 所形成的阿氏圆的半径为 .
（2）设点 ，由 得 ，
所以 ，
2 3 9
4
x y 1AA z ( , )P x y
2 2+ 12x y = 2 2 2+ + 12x y z = 1B CF
| 9 |
3
x y zh
+ + −= h
x y 1AA z (6,0), (2,0),B E
( , )P x y
3BP PE＝ 2 2 2 2( 6) 3[( 2) ]x y x y− + = − +
2 2+ 12x y =
P ABCD P 2 3
( , , )P x y z 3BP PE＝ 2 2 2 2 2 2( 6) 3[( 2) z ]x y z x y− + + = − + +
2 2 2+ + 12x y z =由题得
所以 设平面 的法向量为 ，
所以 ，
由题得 ，
所以点 P 到平面 的距离为 ，
因为 ，
所以 ，所以点 M 到平面 的最小距离为 ，
由题得 为等边三角形，且边长为 ，
所以三棱锥 的体积的最小值为 .
故答案为：(1). (2). ．
【点睛】本题主要考查空间几何中的轨迹问题，考查空间几何体体积的计算和点到平面距离
的计算，考查最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 70 分.解答须写出文字说明，证明过程或演
算步骤）
17.在直四棱柱 中，已知 ， ，
， 为 上一点，且 .
（1）求证： 平面 ；
1(3,3,3,), (6,0,3), (6,3,0),F B C
1 1(3, 3,0), (0,3, 3),FB BC= − = −
1B CF 0 0 0( , , )n x y z=
1 0 0
1 0 0
· 3 3 0, (1,1,1)
· 3 3 0
n FB x y n
n B C y z
= − = ∴ = = − =
( 6, 3,z)CP x y= − −
1B CF | | | 9 |
| | 3
CP n x y zh
n
⋅ + + −= =
2 2 2 2 2 2 2( + + )(1 1 1 ) ( ) , 6 6x y z x y z x y z+ + ≥ + + ∴− ≤ + + ≤
min
| 6 9 | 3
3
h
−= = 1B CF 3
2
1B CF∆ 2 23 3 3 2+ =
1M B CF− 21 3 3 93 2 =3 4 2 4
× ×（ ）
2 3 9
4
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 3 3 3DC DD AD AB= = = = AD DC⊥
/ /AB DC E DC 1DE =
1 / /D E 1A BD（2）求二面角 的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）先证明 ，再利用线面平行的判定即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出面 和面 的法向量，利用向量的夹角公式求解即
可.
【详解】解：（1）证明：由题意可知，∵ ，且 ，
∴ ， ，
故四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）由已知直四棱柱 ，且 ，
则 两两垂直，
如图建立空间直角坐标系：
1B A D E− −
3 19
19
1 1/ /D E A B
1BA D 1EA D
/ /AB DC 3 3DC AB= = 1DE =
/ /AB DE AB DE=
ABED
1 1/ / / /BE AD A D 1 1BE AD A D= =
1 1A D EB
1 1/ /D E A B
1D E ⊄ 1A BD 1A B ⊂ 1A BD
1 / /D E 1A BD
1 1 1 1ABCD A B C D− AD DC⊥
1, ,DA DC DD则
设面 的法向量为 ，又
则 ，令 ，可得 ；
设面 的法向量为 ，又
则 ，令 ，可得 ，
设二面角 的平面角的大小为 ，由图可知 为锐角，
则 ，
，
二面角 的正弦值为 .
【点睛】本题考查线面平行的证明，考查向量法求二面角，是中档题.
18.由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的 2018 年度全国“最美中学生”
寻访活动结果出炉啦，此项活动于 2018 年 6 月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式
寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社
会主义核心价值观的“最美中学生”.现随机抽取了 30 名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，
若规定票数在 65 票以上（包括 65 票）定义为风华组.票数在 65 票以下（不包括 65 票）的学
生定义为青春组.
（1）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2 人，那
( ) ( ) ( ) ( )1 1,0,3 ,1,1,0 , 0,0,0 , 0,1,0B A D E 1B A D E− −
1BA D ( )1 1 1, ,n x y z= ( ) ( )11,1,0 , 1,0,3DB DA= =
1 1
1 1 1
0
3 0
n DB x y
n DA x z
⋅ = + = ⋅ = + =
1 1z = ( )3,3,1n = −
1EA D ( )2 2 2, ,m x y z= ( ) ( )10,1,0 , 1,0,3DE DA= =
2
1 2 2
0
3 0
m DE y
m DA x z
⋅ = = ⋅ = + =
2 1z = ( )3,0,1m = −
1B A D E− − θ θ
9 1 10cos
9 9 1 9 1 19
n m
n m
θ
⋅ += = =
+ + ⋅ +⋅
2
10 3 19sin 1 1919
θ ∴ = − =
1B A D E− − 3 19
19么至少有 1 人在青春组的概率是多少？
（2）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取 4
人，用 表示所选 4 人中青春组的人数，试写出 的分布列，并求出 的数学期望.
【答案】（1） ；（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1） 用 A 表示“至少有 1 人在青春组”，利用对立事件概率计算公式能求出至少有 1 人在青
春组的概率.
（2）由题知，抽取的 30 名学生中有 12 名学生是青春组学生，抽取 1 名学生是青春组学生的
概率为 ，从所有的中学生中抽取 1 名学生是甲组学生的概率是 ， 服从二项分布
.由此能求出 的分布列、数学期望.
【详解】解：（1） 用 A 表示“至少有 1 人在青春组”，
则至少有 1 人在青春组的概率为 ；
（2）由题知，抽取的 30 名学生中有 12 名学生是青春组学生，抽取 1 名学生是青春组学生的
概率为 ，
那么从所有的中学生中抽取 1 名学生是甲组学生的概率是 ，
又因为所取总体数量较多，抽取 4 名学生可以看出 4 次独立重复实验，于是 服从二项分布
.
的取值为 0，1，2，3，4.且 .
所以得 的分布列为：
ξ ξ ξ
7
10
8
5Eξ =
12 2
30 5
= 2
5
ξ
24, 5B
ξ
2
3
2
5
7( ) 1 10
Cp A C
= − =
12 2
30 5
=
2
5
ξ
24, 5B
ξ
4
4
2 2( ) 1 , 0,1,2,3,45 5
k k
kP k C kξ
− = = − =
ξ
ξ 0 1 2 3 4数学期望 .
【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计
算公式、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
19.甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条
件看不清，具体如下：等比数列 的前 n 项和为 ，已知_____，
（1）判断 ， ， 的关系；
（2）若 ，设 ，记 的前 n 项和为 ，证明： .
甲同学记得缺少的条件是首项 a1 的值，乙同学记得缺少的条件是公比 q 的值，并且他俩都记
得第（1）问的答案是 ， ， 成等差数列.如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你
通过推理把条件补充完整并解答此题.
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
【分析】
（1）可补充公比 q 的值，由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，计算可得所求结论；
（2）由等比数列的通项公式求得 ，再由数列的错位相减法求和，结合等比数
列的求和公式，不等式的性质，即可得证.
【详解】（1）由题意可得 ， ，
，
可得 ，即 ， ， 成等差数列；
P 81
625
216
625
216
625
96
625
16
625
2 84 5 5Eξ = × =
{ }na nS
1S 2S 3S
1 3 3a a− =
12n n
nb a= { }nb nT 4
3nT <
1S 3S 2S
1 2 32S S S+ =
2 1
3 2
n
nb n = ⋅
1 1S a= 2 1 2 1 1 1
1 1
2 2S a a a a a= + = − =
3 1 2 3 1 1 1 1
1 1 3
2 4 4S a a a a a a a= + + = − + =
1 2 32S S S+ = 1S 3S 2S（2）证明：由 ，可得 ，解得 ，
，
则 ，
，
上面两式相减可得
，
化简可得 ，
由 ，可得 .
【点睛】本小题主要考查证明数列是等差数列，考查错位相减求和法，考查分析、思考与解
决问题的能力，属于中档题.
20.如图,椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ，椭圆 上一点 与两
焦点构成的三角形的周长为 6,离心率为 ，
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
1 3 3a a− = 1 1
1 34a a− = 1 4a =
11 2 1412 12 2 3 2
n n
n n
n nb a n
− = = ⋅ ⋅ − = ⋅
2 1 1 1 11 2 33 2 4 8 2n nT n = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅
1
1 2 1 1 1 11 2 32 3 4 8 16 2n nT n +
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅
1
1 2 1 1 1 1 1 1
2 3 2 4 8 16 2 2n n nT n +
= + + + + + − ⋅
1
1 112 12 2
13 21 2
n
nn +
− = − ⋅
−
1
4 213 2n n
nT +
+ = −
1
21 12n
n
+
+− < 4
3nT <
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1 2,F F C P
1
2
C（Ⅱ）过点 的直线 交椭圆 于 两点,问在 轴上是否存在定点 ,使得
为定值？证明你的结论.
【答案】（1） （2）存在定点 ,使得 为定值.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据点 与两焦点构成的三角形的周长为 6,离心率为 ，结合性质 ，列
出关于 、 、 的方程组，求出 、 ，即可得结果；（Ⅱ）设出直线方程，直线方程与
椭圆方程联立，消去 可得关于 的一元二次方程， 表示为 ，利用韦达定
理化简可得 ，令 可得结果.
【详解】（Ⅰ）由题设得 ,又 ,解得 ,∴ .
故椭圆 的方程为 .
（Ⅱ） ,当直线 的斜率存在时,设此时直线 的方程为 ,
设 , ,把 代入椭圆 的方程 ,消去 并整理得,
,则 , ,
可得 .设点 ,
那么
,
若 轴上存在定点 ,使得 为定值,则有 ,解得 ,
此时, ,
2F l
2 2
2 2 1x y
a b
+ = ,A B x P
PA PB⋅
2 2
14 3
x y+ = 11( ,0)8P PA PB⋅
P 1
2
2 2 2a b c= +
a b c a b
y x PA PB⋅ 1 2 1 2x x y y+
( ) 2
2
2
5 8 12
4 3
n k nk
+ + ++
5 8 12
4 3
n+ =当直线 的斜率不存在时,此时直线 的方程为 ,把 代入椭圆方程 解得
,
此时, , , ,
综上,在 轴上存在定点 ,使得 为定值.
【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问
题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和
数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去
变量，从而得到定值.
21.已知函数 ．（ 是自然对数的底数）
（1）求 的单调递减区间；
（2）记 ，若 ，试讨论 在 上的零点个数．（参考数据：
）
【答案】（1） ．（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）求出导函数 ，解不等式 ，结合三角函数的性质可得解；
（2）求出 ，令 ，由导数的知识求得 的单调性，
然后通过讨论 的正负确定 的单调性的极值，确定其零点个数．
【详解】解：（1） ，定义域为 ．
．
由 解得 ，解得 ．
( ) sinxf x e x= e
( )f x
( ) ( )g x f x ax= − 0 < < 3a ( )g x ( )0,π
2 4.8e
π
≈
( )3π 7π2 π, 2 π4 4k k k Z + + ∈
( )f x′ ( ) 0f x′ <
( ) (sin cos )xg x e x x a′ = + − ( ) ( )h x g x′= ( )h x
(0), ( ), ( )2g g g
π π′ ′ ′ ( )g x
( ) sinxf x e x= R
( ) ( ) πsin cos 2 sin 4
x xf x e x x e x ′ = + = +
( ) 0f x′ < πsin 04x +
π ,π2x ∈
( ) 0h x′ <
( )h x π0, 2
π ,π2
( )g x′ π0, 2
π ,π2
( )0 1g a′ = − ( ) ππ 0g e a′ = − − <
1 0a− ≥ 0 1a< ≤ ( )0 0g′ ≥ π 02g ′ >
0
π ,π2x ∃ ∈
( )0 0g x′ =
( )00,x x∈ ( ) 0g x′ > ( )0 ,πx x∈ ( ) 0g x′ <
( )g x ( )00, x ( )0 ,πx
( )0 0g = ( )0 0g x >
( )π π 0g a= − <
( )g x ( )0,π
1 3a< < ( )0 1 0g a′ = − <
( )g x′ π0, 2
π ,π2
π
2π 02g e a ′ = − >
1
π0, 2x ∃ ∈ 2
π ,π2x ∈
( )1 0g x′ = ( )2 0g x′ =且当 、 时， ；当 时， ．
∴ 在 和 上单调递减，在 上单调递增．
∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ．
又∵ ，由零点存在性定理可得，
在 和 内各有一个零点，
即此时 在 上有两个零点．
综上所述，当 时， 在 上仅有一个零点；
当 时， 在 上有两个零点．
【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性、求极值等问题，考查等人转化思想、分类讨
论思想的综合应用，涉及构造函数、多次求导等方法，有一定的综合性，考查学生的分析问
题能力和逻辑思维能力，属于难题．
选考题：（请考生在第 22、23 两道题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题记分.作答时请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）
选修 4—4：坐标系与参数方程
22.已知直线 的参数方程为 （其中 为参数），以原点为极点，以 轴为极轴建
立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （ 为常数，且 ），直线 与曲线
交于 两点.
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若点 的直角坐标为 ，且 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ； （2） .
【解析】
( )10,x x∈ ( )2 ,πx x∈ ( ) 0g x′ < ( )1 2,x x x∈ ( ) 0g x′ >
( )g x ( )10, x ( )2 ,πx ( )1 2,x x
( )0 0g = ( )1 0g x <
π π
2 2π π 3π 02 2 2g e a e = − > − >
( )2 0g x >
( )π π 0g a= − <
( )g x ( )1 2,x x ( )2 ,πx
( )g x ( )0,π
0 1a< ≤ ( )g x ( )0,π
1 3a< < ( )g x ( )0,π
l
21 2
22 2
x t
y t
= − −
= +
t x
C 2 sinmρ θ= m 0m＞ l C
,A B
2AB = m
P ( 1,2)− 4PA PB⋅ ＞ m
1m = 9( , )4
+∞【分析】
（1）将直线的参数方程化为为普通方程，曲线 C 的极坐标方程化为普通方程，再利用直线与
圆的弦长公式求解.
（2）直线的参数方程与圆的普通方程联立，根据参数的几何意义，则有 求解.
【详解】（1）曲线 的极坐标方程可化为 ，
化为直角坐标系下的普通方程为： ，即 .
直线 的普通方程为： ，
而点 到直线 的距离为 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
（2）显然点 在直线 上，把 代入
并整理可得 ，
设点 对应的参数分别为 .
则 ，解得 或 .
则 ，解得 或 .
而 ， 实数 m 的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查了参数方程，极坐标方程与普通方程间的转化以及直线与圆的弦长，
参数的几何意义，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
选修 4—5：不等式选讲
23.已知 ，且 .
（1）求 的取值范围；
（2）求证： .
1 2| | | | | |PA PB t t⋅ =
C 2 2 sinmρ ρ θ=
2 2 2x y my+ = 2 2 2( )x y m m+ − =
l 1 0x y+ − =
(0, )m l | 1|
2
md
−=
2 21| | 2 ( ) 2
2
mAB m
−= − = 2 2 3 0m m+ − =
0m > 1m =
P l
21 2
22 2
x t
y t
= − −
= +
2 2 2x y my+ =
2 (3 ) 2 4 5 0t m t m+ − − + =
,A B 1 2,t t
22(3 ) 4( 4 5) 0m m∆ = − − − + > 1 2m < − − 2 1m > −
1 2| | | | | | | 4 5 | 4PA PB t t m⋅ = = − + > 9
4m > 1
4m <
0m > ∴ 9( , )4
+∞
0, 0, 0a b c＞ ＞ ＞ 2a b c+ + =
2a b c+ +
1 4 9 18a b c
+ + ≥【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由条件等式将 用 表示，再从 ，进一步求出 的范围，将问题转
化为求二次函数的取值范围，二次函数配方，即可求解；
（2）根据已知条件转化证明 ，利用基本不等式即可得证.
【详解】（1）依题意， ，故 .
所以 ，
所以 ，即 的取值范围为 .
（2）因为 ，
所以
，
当且仅当 时，等号成立，
又因为 ，
所以 .
【点睛】本题主要考查配方法、基本不等式和不等式证明等基础知识，解题中注意应用条件
等式，属于中档题.
7 ,44
b c+ a 0, 0, 0a b c＞ ＞ ＞ a
1 4 9( ) 36a b c a b c
+ + + + ≥
2 0a b c− = + ＞ 0 2a＜ ＜
( ) 2
2 2 1 72 2 4a b c a a a + + = + − = − +
( )2 27 2 2 2 44 a b c+ + + − =≤ ＜ 2a b c+ + 7 ,44
0, 0, 0a b c＞ ＞ ＞
( ) 1 4 9 4 9 4 914 b a c a c ba b c a b c a b a c b c
+ + + + = + + + + + +
4 9 4 914 2 2 2b a c a c b
a b a c b c
+ ⋅ + ⋅ + ⋅≥
14 2 4 2 9 2 36 36+ + + ==
1 2, , 13 3a b c= = =
2a b c+ + =
1 4 9 18a b c
+ + ≥
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