初中数学人教版七年级上册1.2.4绝对值 绝对值函数和绝对值不等式

从高考到自主招生·第四讲：绝对值不等式和绝对值函数绝对值函数和绝对值不等式【知识点】一、绝对值的性质1.|a|=推论①：|ab|≥ab(当且仅当ab≥0时，“=”成立)；推论②：|ab|≥－ab(当且仅当ab≤0时，“=”成立).2.|a|2=a2；二、绝对值不等式3.若a2≥b2，则|a|≥|b|；证明：由性质2，a2≥b2Û|a|2≥|b|2Þ|a|≥|b|.4.|a|≥a，(当且仅当a≥0时等号成立)；推论③：|ab|≥ab.推论④：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.证明：(1)||a|－|b||≤|a－b|：因为|ab|≥ab，所以：－2|ab|≤－2ab，所以：a2+b2－2|ab|≤a2+b2－2ab，由性质2，则：(|a|－|b|)2≤(a－b)2，由性质3即证.此时，当且仅当ab≥0时等号成立.(2)||a|－|b||≤|a+b|.证明：由推论②：|ab|≥－ab，所以：－2|ab|≤2ab，从而：(|a|－|b|)2≤(a+b)2，由性质2即证.此时，“=”成立的条件为ab≤0.(3)由2ab≤2|ab|=2|a||b|，则(a+b)2≤(|a|+|b|)2，由性质2即证.等号成立的条件为ab≥0.同理可证：|a－b|≤|a|+|b|.等号成立的条件为ab≤0.推论⑤：|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|.证明：当n=2时，显然成立；设当n=k时，有：|a1+a2+…+ak|≤|a1|+|a2|+…+|ak|；则当n=k+1时，|a1+a2+…+ak+ak+1|=|(a1+a2+…+ak)+ak+1|≤|a1+a2+…+ak|+|ak+1|≤|a1|+|a2|+…+|ak|+|ak+1|.推论⑥：|a|+|b|=|a|+|b|=max{|a+b|，|a－b|}.证明：若ab≥0，显然有|a|+|b|=|a+b|，共16页，第15页 从高考到自主招生·第四讲：绝对值不等式和绝对值函数且此时：|a+b|≥|a－b|，所以：|a|+|b|=max{|a+b|，|a－b|}；ab0)是将函数g(x)的图像向左平移l个单位所得到.这种图象的平移要重视，比如已知f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)=(|x－a2|+|x－2a2|－3a2)，若对任意的实数x∈R都有f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为.【例题14】【浙江省2016年高考，15】已知向量，满足：|共16页，第15页 从高考到自主招生·第四讲：绝对值不等式和绝对值函数|=1，||=2，若对任意的单位向量，都有|·|+|·|≤，则·的最大值是.这一道题的解法比较多，唯独用绝对值不等式比较简便：由2(a2+b2)=10，而|+|≤|·|+|·|≤，而4a·b=(a+b)2－(a－b)2即可解出答案.【例题15】【2014年安徽预赛】已知复数z满足≤2，则|z|的取值范围是.设|z|=r，则≤2，考虑其意义是什么?【例题16】【浙江省2015年高考，18】已知函数f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)，记M(a，b)是|f(x)|在区间[－1，1]上的最大值.(1)证明：当|a|≥2时，M(a，b)≥2；(2)当a，b满足M(a，b)≤2时，求|a|+|b|的最大值.注意基本不等式：min{a，b}≤≤≤≤max{a，b}.【例题17】【2014年河北预赛，6】已知对"x∈[0，1]，都有|ax+b|令f(x)=ax+b，则共16页，第15页 从高考到自主招生·第四讲：绝对值不等式和绝对值函数≤1，则|bx+a|的最大值为.f(0)=b，a=f(1)－f(0).【例题18】【2018年浙江省预赛，12】设a∈R，且对任意实数b均有|x2+ax+b|≥1，求a的取值范围.此题的解法比较多，应用绝对值不等式是最简的解法.【例题19】【2017年全国联赛，9】设k、m为实数，不等式|x2－kx－m|≤1对所有x∈[a，b]成立.证明：b－a≤2.【过关习题4】共16页，第15页 从高考到自主招生·第四讲：绝对值不等式和绝对值函数1.【2018年学考选考十校联盟，☆☆】已知a，b是实数，则“|a|≤1且|b|≤1”是“|a+b|+|a－b|≤2”的.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.【2018年绍兴高三适应性考试，，☆☆】已知a>0，函数f(x)=|x2+|x－a|－3|在区间[－1，1]上的最大值是2，则a=.3.【2018年温州二模，17，，☆☆☆】已知f(x)=x2－ax，|f(f(x))|≤1在[1，2]上恒成立，则实数a的最大值为.4.【2017年绍兴诸暨二模，，☆☆☆☆】已知函数f(x)=|x2+ax+b|在区间[0，c]内的最大值为M(a，b∈R，c>0为常数)且存在实数a，b，使得M取最小值2，则a+b+c=.5.【☆☆】设正实数x，y，则|x－y|+的最小值为.6.【2017年杭州二模，10，☆☆】设函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)的两个零点为x1、x2，若|x1|+|x2|≤2，则.A.|a|≥1B.|b|≤1C.|a+2b|≥2D.|a+2b|≤27.【2017年浙江4月份学考，☆☆】已知a，b∈R，a≠1，则|a+b|+的最小值为.8.【2017年浙江绍兴市5月质检，8，☆☆】已知x，y∈R，则.A.若|x2+y|+|x－y2|≤1，则B.若|x2－y|+|x－y2|≤1，则C.若|x+y2|+|x2－y|≤1，则D.若|x+y2|+|x2+y|≤1，则9.【2016年浙江高考，8，☆☆☆】已知实数a、b、c，下面四个选项中正确的是.A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2f(1+t)+f(1－t)D.存在t>0，|f(1+t)－f(1－t)|>f(1+t)－f(1－t)41.【浙江省2016届高三下学期第二次五校联考(理)，18，☆☆☆】已知函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=c|x|+bx+a，对任意x∈[－1，1]，|f(x)|≤.(I)求|f(2)|的取值范围；共16页，第15页 从高考到自主招生·第四讲：绝对值不等式和绝对值函数(II)证明：对任意的x∈[－1，1]，都有|g(x)|≤142.【浙江省嘉兴市2016届高三期末考试，20，☆☆☆】已知函数f(x)=－x2+2bx+c，，设函数g(x)=|f(x)|在区间[－1，1]上的最大值为M．(I)若b=2，试求出M；(II)若M≥k对任意的b，c恒成立，试求出k的最大值．43.【2016四川预赛，16，☆☆☆☆】已知a为实数，函数f(x)=|x2－ax|－lnx，请讨论函数f(x)的单调性.共16页，第15页