第17章 一元二次方程
教学目标：
1、了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的公式解法和其他解法；能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的解法求方程的根．
2、理解一元二次方程的根的判别式，会运用它解决一些简单的问题．
3、进一步培养学生快速准确的计算能力．
4、进一步培养学生严密的逻辑推理与论证能力．3．进一步培养学生的分析问题、解决问题的能力．
教学重点：
一元二次方程的解法及判别式．
教学难点：
配方法．
教学过程：
本节课是一堂复习课，复习的内容是一元二次方程的解法及根的判别式．
1．熟练地解一元一次方程和一元二次方程是学好其他方程的关键，一元二次方程的解法是本章的重点，解法有四种，一种是直接开平方法，它以平方根的概念为基础．适合于形如（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0）类型的方程．第二种方法是配方法，用配方法推导求根公式，由此产生了第三种方法即公式法，它是解一元二次方程的主要方法，是解一元二次方程的通法．第四种方法是因式分解法，适用于方程左边易于分解，而右边是零的方程．由此可归纳出解一元二次方程时，一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法．
一元二次方程根的判别式的意义在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知值的取值范围．由此可以启发学生运用数学知识，提高分析问题和解决问题的能力．
一、知识点：
复习提问，总结17．1-17．3的内容．
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启发引导，总结17．1-17．3节所学过的知识点及它们之间的相互联系和相互作用．培养学生归纳、总结的能力．
二、课堂练习：
练习1．下列方程中，哪些是一元二次方程？
（2）（x＋3）（x-3）＝0；
（4）2x2-y＋2＝0；
（5）（2x-1）（x＋3）＝2x2＋1； （6）（m-1）x2＋3mx-m＝0（m≠1的常数）．
学生口答，相互评价，强调判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是不是一元整式方程．在此前提下，通过去括号、移项，合并同类项等步骤化简整理后，再看未知数的最高次数是不是2．
练习2．写出下列方程的二次项系数，一次项系数和常数项．
（1）（3x-1）（x＋1）＝6-（x-2）2，
（2）关于x的方程kx2＋2kx＝x2-k-3（k≠1）．
学生笔答、板书、评价．
注意以下两点：
（1）必须将一元二次方程化成一般形式．
（2）二次项系数通常化为正数，各项系数包括它的符号．
练习3．解下列方程
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（1）3x2-48＝0 （直接开平方法）；
（2）（x＋a）2＝225 （直接开平方法）；
（3）2x2＋7x-4＝0 （配方法）；
（4）2x2-x＝5 （公式法）；
（5）（3x-1）2＝6x-2 （因式分解法）；
（6）abx2＋a2x-b2x-ab=0 （因式分解法）；
学生板书、笔答，教师点拨．
和学生一起回忆配方法和公式法的步骤，直接开平方法，因式分解法解一元二次方程，体现了“转化”和“降次”的思想方法，即把二次方程转化为一次方程求解，通过开平方和因式分解达到“降次”．
练习4．选择适当方法解下列方程
（2）5x2-7x＋1＝0；
（3）4x2-5x＋1＝0；
（4）4（x＋2）2-9（x-3）2＝0．
分析：
用什么方法解方程，主要依据方程的特点．
（1）可用直接开平方法，也可用因式分解法．
（2）可用公式法和配方法．
（3）可采用因式分解法．
（4）可采用直接开平方法和因式分解法．
分析完毕，学生板书，笔答，评价．最后总结如下结论：解一元二次方程时，一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法．
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练习5．
1．求m为什么实数时，方程（m-1）x2-6x＋3＝0．
①有实数根；②没有实数根．
引导学生分析：由于二次项系数是m-1，当m-1＝0时，方程为一元一次方程；当m-1≠0时，方程为一元二次方程，据题意，要根据这两种情况分别议论．
解：（1）当m-1＝0，即m＝1时，原方程为-6x+3＝0，
即当m=1时，方程有实数根．
当m-1≠0，即m≠1时，原方程的根的判别式为
Δ=（-6）2-4×3（m-1）＝48-12m，
由Δ=48-12 m≥0，得m≤4．
∴ 当m≤4且m≠1时原方程有两个实数根．
综上所述，当m≤4时，原方程有实数根．
（2）当Δ=48-12 m＜O，即m＞4时，原方程没有实数根．
2．求证：关于x的方程x2-（k＋4）x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根．
分析：利用“Δ”证明方程根的情况，首先应把方程化成一般形式，写出根的判别式的代数式，然后利用因式分解法或配方法来确定判别式的符号，进而得出结论，本题只需证明对于任意的实数k都有Δ＞0即可．
分析完毕，学生板书、笔答，评价．
三、课堂小结：
1．本节课复习的主要内容
2．通过本节课的学习，能选择恰当的方法解一元二次方程，更进一步锻炼学生快速准确的计算能力及推理论证能力，更进一步深刻体会“转化”及“配方”的思想方法．
四、作业：
1、同步测试．
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2、（1）已知：关于x的方程kx2+2（k-3）x+k+2＝0有两个实数根，求k的取值范围．（2）已知：a，b，c为一个三角形的三条边，且方程b（x2-1）-2ax＋c（x2+1）＝0有两个相等的实数根，求证这个三角形是直角三角形
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