学案6 习题课：带电粒子在磁场或电场中的运动
1．带电粒子在匀强磁场中的运动特点：
(1)当带电粒子(不计重力)的速度方向与磁场方向平行时，带电粒子所受洛伦兹力F＝0，粒子做匀速直线运动．
(2)当带电粒子(不计重力)的速度方向与磁场方向垂直时，带电粒子所受洛伦兹力F＝qvB，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，半径为r＝，周期为T＝.
2．分析带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题的关键是确定圆心和半径．
(1)圆心的确定：①入、出方向垂线的交点；②入或出方向垂线与弦的中垂线的交点．
(2)半径的确定：利用几何知识解直角三角形．做题时一定要作好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形．注意圆心角α等于粒子速度转过的偏向角φ，且等于弦切角θ的2倍，如图1所示，即φ＝α＝2θ.
图1
3．带电粒子在匀强电场中的运动特点：
(1)带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场时，粒子做匀变速直线运动．
(2)带电粒子沿垂直于电场方向进入匀强电场时，粒子做类平抛运动．
一、带电粒子在有界磁场中的运动
解决带电粒子在有界磁场中运动问题的方法
先画出运动轨迹草图．找到粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心位置，半径大小以及与半径有关的几何关系是解题的关键．解决此类问题时应注意下列结论：
(1)粒子进入单边磁场时，进、出磁场具有对称性，如图2(a)、(b)、(c)所示．
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图2
(2) 在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出，如图(d)所示.
(3)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长．
例1 在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图3所示．一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿－x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向飞出．
图3
(1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷；
(2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？
解析 (1)由粒子的运动轨迹(如图)，利用左手定则可知，该粒子带负电荷．
粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径R＝r，
又qvB＝m，
则粒子的比荷＝.
(2)设粒子从D点飞出磁场，速度方向改变了60°角，故AD弧所对圆心角为60°，粒子做圆周运动的半径R′＝rcot 30°＝ r，又R′＝，所以B′＝B，
粒子在磁场中运动所用时间t＝T＝×＝.
答案 (1)负电荷 (2)B
二、带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
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带电粒子刚好穿出或刚好不穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．这类题目中往往含有“最大”、“最高”、“至少”、“恰好”等词语，其最终的求解一般涉及极值，但关键是从轨迹入手找准临界状态．
(1)当粒子的入射方向不变而速度大小可变时，由于半径不确定，可从轨迹圆的缩放中发现临界点．
(2)当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，轨迹圆大小不变，只是位置绕入射点发生了旋转，可从定圆的动态旋转中发现临界点．
例2 真空区域有宽度为L、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图4所示，MN、PQ是磁场的边界．质量为m、电荷量为＋q的粒子沿着与MN夹角为θ＝30°的方向垂直射入磁场中，粒子刚好没能从PQ边界射出磁场(不计粒子重力的影响)，求粒子射入磁场的速度及在磁场中运动的时间．
图4
解析 粒子刚好没能从PQ边界射出磁场，设轨迹半径为r，则粒子的运动轨迹如图所示，L＝r＋rcos θ，轨迹半径r＝＝.由半径公式r＝得：v＝；由几何知识可看出，轨迹所对圆心角为300°，则运动时间t＝T＝T，周期公式T＝，所以t＝.
答案
三、带电粒子在复合场或组合场中的运动
1．电荷在复合场中的运动一般有两种情况——直线运动和圆周运动．
(1)电荷在静电力、重力和洛伦兹力共同作用下做直线运动时，一定是做匀速直线运动．
(2)电荷在上述复合场中如果做匀速圆周运动，只能是除洛伦兹力以外的所有恒力的合力为零才能实现．
2．分析电荷在电场和磁场组合场中的运动，通常按时间的先后顺序分成若干个小过程来进行处理，在每一运动过程中都从粒子的受力分析着手，分析粒子在电场中做什么运动，在磁场中做什么运动．
例3 一带电微粒在如图5所示的正交匀强电场和匀强磁场中的竖直平面内做匀速圆周运动，求：
图5
(1)该带电微粒的电性？
(2)该带电微粒的旋转方向？
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(3)若已知圆的半径为r，电场强度的大小为E，磁感应强度的大小为B，重力加速度为g，则线速度为多少？
解析 (1)带电粒子在重力场、匀强电场和匀强磁场中做匀速圆周运动，可知，带电微粒受到的重力和电场力是一对平衡力，重力竖直向下，所以电场力竖直向上，与电场方向相反，故可知带电微粒带负电荷．
(2)磁场方向向外，洛伦兹力的方向始终指向圆心，由左手定则可判断粒子的旋转方向为逆时针(四指所指的方向与带负电的粒子的运动方向相反)．
(3)由微粒做匀速圆周运动可知电场力和重力大小相等，得： mg＝qE①
带电微粒在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动的半径为：r＝②
①②联立得：v＝
答案 (1)负电荷 (2)逆时针 (3)
1．(带电粒子在有界磁场中运动的临界问题)如图6所示，左右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里．一个质量为m、电荷量为q的微观粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场．欲使粒子不能从边界QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是( )
图6
A. B.
C. D.
答案 BC
解析 粒子射入磁场后做匀速圆周运动，由r＝知，粒子的入射速度v0越大，r越大，当粒子的径迹和边界QQ′相切时，粒子刚好不从QQ′射出，此时其入射速度v0应为最大．若粒子带正电，其运动轨迹如图(a)所示(此时圆心为O点)，容易看出R1sin 45°＋d＝R1，将R1＝代入上式得v0＝，B项正确．若粒子带负电，其运动轨迹如图(b)所示(此时圆心为O′点)，容易看出R2＋R2cos 45°＝d，将R2＝代入上式得v0＝，C项正确．
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2.(带电粒子在电场中的运动)如图7所示，匀强磁场的方向垂直纸面向里，匀强电场的方向竖直向下，有一正离子恰能以速率v沿直线从左向右水平飞越此区域．下列说法正确的是( )
图7
A．若一电子以速率v从右向左飞入，则该电子将沿直线运动
B．若一电子以速率v从右向左飞入，则该电子将向上偏转
C．若一电子以速率v从右向左飞入，则该电子将向下偏转
D．若一电子以速率v从左向右飞入，则该电子将沿直线运动
答案 BD
解析 若电子从右向左飞入，电场力向上，洛伦兹力也向上，所以电子上偏，选项B正确，A、C错误；若电子从左向右飞入，电场力向上，洛伦兹力向下．由题意，对正电荷有qE＝Bqv，会发现q被约去，说明等号的成立与q无关，包括q的大小和正负，所以一旦满足了E＝Bv，对任意不计重力的带电粒子都有电场力大小等于洛伦兹力大小，显然对于电子两者也相等，所以电子从左向右飞入时，将做匀速直线运动，选项D正确．
3．(带电粒子在有界磁场中的运动)如图8所示，在半径为R＝的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，圆形区域右侧有一竖直感光板MN，圆顶点P有一速率为v0的带正电的粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为m，电荷量为q，粒子的重力不计．
图8
(1)若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间；
(2)若粒子对准圆心射入，且速率为v0，求它打到感光板MN上时速度的垂直分量．
答案 (1) (2)v0
解析 (1)设带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r，由牛顿第二定律得
Bqv0＝m
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所以r＝R
带电粒子在磁场中的运动轨迹为四分之一圆周，轨迹对应的圆心角为，如图所示．
t＝＝
(2)由(1)知，当v＝v0时，带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，其运动轨迹如图所示．
由图可知∠PO2O＝∠OO2A＝30°
所以带电粒子离开磁场时偏向角为60°
粒子打到感光板上时速度的垂直分量为
v⊥＝vsin 60°＝v0
题组一 带电粒子在有界磁场中的运动
1．如图1所示，虚线框内为一长方形区域，内有匀强磁场，一束质子以不同的速度从O点垂直磁场方向射入后，分别从a、b、c、d四点射出．比较它们在磁场中的运动时间( )
图1
A．ta＝tb＝tc＝td B．tatd，D正确．
2.如图2所示，在第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子分别以相同速度沿与x轴成30°角从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动时间之比为( )
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图2
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶ D．1∶1
答案 B
解析 如图所示，粗略地画出正、负电子在第一象限的匀强磁场中的运动轨迹．由几何关系知，正电子轨迹对应的圆心角为120°，运动时间为t1＝，其中T1为正电子运
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动的周期，由T＝及qvB＝知T1＝；同理，负电子在磁场中运动的周期T2＝T1＝，但由几何关系知负电子在磁场中转过的圆心角为60°，故在磁场中运动时间t2＝.所以正、负电子在磁场中运动的时间之比为＝＝，故B选项正确．
3.如图3所示，在一矩形区域内，不加磁场时，不计重力的带电粒子以某一初速度垂直左边界射入，穿过此区域的时间为t.若加上磁感应强度为B、水平向外的匀强磁场，带电粒子仍以原来的初速度入射，粒子飞出时偏离原方向60°角，利用以上数据可求出下列物理量中的( )
图3
A．带电粒子的比荷
B．带电粒子在磁场中运动的周期
C．带电粒子的初速度
D．带电粒子在磁场中运动所对应的圆心角
答案 ABD
解析 由带电粒子在磁场中运动的偏向角，可知带电粒子运动轨迹所对的圆心角为60°，因此由几何关系得l＝Rsin 60°，又由Bqv0＝m得R＝，故l＝sin 60°，又未加磁场时有l＝v0t，所以可求得比荷＝，故A、D正确；根据周期公式T＝可得带电粒子在磁场中运动的周期T＝＝·＝，故B正确；由于半径未知，所以初速度无法求出，C错误．
4.如图4所示，圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，其运动轨迹如图．若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是( )
图4
A．a粒子动能最大
B．c粒子速率最大
C．b粒子在磁场中运动时间最长
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D．它们做圆周运动的周期Tatc，C、D错误，故选B.
5．如图5所示为一圆形区域的匀强磁场，在O点处有一放射源，沿半径方向射出速率为v的不同带电粒子，其中带电粒子1从A点飞出磁场，带电粒子2从B点飞出磁场，不考虑带电粒子的重力．则( )
图5
A．带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷比值为3∶1
B．带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷比值为∶1
C．带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间比值为2∶1
D．带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间比值为1∶2
答案 A
解析 根据题图中几何关系，tan 60°＝R/r1，tan 30°＝R/r2，带电粒子在匀强磁场中运动，r＝，联立解得带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷比值为3∶1，选项A正确，选项B错误；带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间比值为＝＝2＝2∶3，选项C、D错误．
6.如图6所示，比荷为e/m的电子垂直射入宽度为d、磁感应强度为B的匀强磁场区域，则电子能从右边界射出这个区域，至少应具有的初速度大小为( )
图6
A．2eBd/m B．eBd/m
C．eBd/2m D.eBd/m
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答案 B
解析 要使电子能从右边界射出这个区域，则有R≥d，根据洛伦兹力提供向心力，可得R＝≥d，则至少应具有的初速度大小为v＝，B正确．
7.如图7所示，在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为m、电荷量为－q的带电粒子(重力不计)从AB边的中点O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°，若要使粒子能从AC边穿出磁场，则匀强磁场磁感应强度B的大小需满足( )
图7
A．B> B．B<
C．B> D．B<
答案 B
解析 粒子刚好达到C点时，其运动轨迹与AC相切，如图所示，则粒子运动的半径为r0＝acot 30°.由r＝得，粒子要能从AC边射出，粒子运动的半径r>r0，解得Bvb＝vc B．va＝vb＝vc
C．va>vb>vc D．va＝vb>vc
答案 A
解析 小球a下落时，重力和电场力都对a做正功；小球b下落时，只有重力做功；小球c下落时只有重力做功．重力做功的大小都相同．根据动能定理可知外力对小球a所做的功最多，即小球a落地时的动能最大，小球b、c落地时的动能相等．
11.如图11所示，两块水平放置、相距为d的长金属板接在电压可调的电源上．两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场．将喷墨打印机的喷口靠近上板下表面，从喷口连续不断地喷出质量均为m、水平速度均为v0、带相等电荷量的墨滴．调节电源电压至U，墨滴在电场区域恰能水平向右做匀速直线运动；进入电场、磁场共存区域后，最终垂直打在下板的M点．
图11
(1)判断墨滴所带电荷的种类，并求其电荷量；
(2)求磁感应强度B的值；
(3)现保持喷口方向不变，使其竖直下移到两板中间的位置．为了使墨滴仍能到达下板M点，应将磁感应强度调至B′，则B′的大小为多少？
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答案 (1)负电荷 (2) (3)
解析 (1)墨滴在电场区域做匀速直线运动，有
q＝mg①
由①式得：q＝②
由于电场方向向下，电荷所受静电力向上，可知：
墨滴带负电荷．
(2)墨滴垂直进入电场、磁场共存区域后，重力仍与静电力平衡，合力等于洛伦兹力，墨滴做匀速圆周运动，有
qv0B＝m③
考虑墨滴进入电场、磁场共存区域和下板的几何关系，可知墨滴在该区域恰完成四分之一圆周运动，则半径
R＝d④
由②③④式得B＝
(3)根据题设，墨滴运动轨迹如图所示，设墨滴做圆周运动的半径为R′，有qv0B′＝m⑤
由图可得：
R′2＝d2＋(R′－)2⑥
由⑥式得：R′＝d⑦
联立②⑤⑦式可得：B′＝.
12.如图12所示，有界匀强磁场的磁感应强度B＝2×10－3 T；磁场右边是宽度L＝0.2 m、场强E＝40 V/m、方向向左的匀强电场．一带电粒子电荷量为q＝3.2×10－19 C的负电荷，质量m＝6.4×10－27 kg，以v＝4×104 m/s的速度沿OO′垂直射入磁场，在磁场中偏转后进入右侧的电场，最后从电场右边界射出．求：
图12
(1)大致画出带电粒子的运动轨迹(画在题图上)；
(2)带电粒子在磁场中运动的轨道半径；
(3)带电粒子飞出电场时的动能．
答案 (1)见解析图 (2)0.4 m (3)7.68×10－18 J
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解析 (1)运动轨迹如图所示．
(2)带电粒子在磁场中运动时，由牛顿第二定律有
qvB＝m
R＝＝ m＝0.4 m
(3)Ek＝EqL＋mv2＝40×3.2×10－19×0.2 J＋×6.4×10－27×(4×104)2 J＝7.68×10－18 J
13.在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B.一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以一定的初速度垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成θ＝60°角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场，已知ON＝d，如图13所示．不计粒子重力，求：
图13
(1)粒子在磁场中运动的轨道半径R；
(2)粒子在M点的初速度v0的大小；
(3)粒子从M点运动到P点的总时间t.
答案 (1)d (2) (3)
解析 (1)作出带电粒子的运动轨迹如图所示
由几何知识得Rsin θ＝d
解得R＝d
(2)由qvB＝mv2 /R得v＝
在N点速度v与x轴正方向成θ＝60°角射出电场，将速度分解如图所示
v0＝vcos θ
解得v0＝
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(3)设粒子在电场中运动的时间为t1，有d＝v0t1
所以t1＝＝
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝
设粒子在磁场中运动的时间为t2，有t2＝T
所以t2＝
t＝t1＋t2，所以t＝
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