勾股定理的逆定理
1．勾股定理的逆定理
(1)勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
(2)数学表达式：如图所示，在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，如果，则△ABC为直角三角形，c边所对的角为直角，即∠C=90°.
知识点拓展：(1)运用勾股定理的逆定理可判定三角形是否为直角三角形，同时也可用来说明两直线是否垂直．在运用时要注意两点：①不能机械地认为Rt△ABC中，c边所对的角是直角；②a2＋b2是否与c2相等需要计算说明，不能一开始就用a2＋b2＝c2.
(2)设三角形的三边长为a，b，c(c为最长边)．
①若a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；
②若a2＋b2＞c2，那么这个三角形是锐角三角形；
③若a2＋b2＜c2，那么这个三角形是钝角三角形．
【例1】根据下列条件，判断△ABC是不是直角三角形．
(1)a＝＋1，b＝－1，c＝；
(2)a∶b∶c＝13∶12∶5.
分析：解决这类题要先找出最长边，并算出它的平方，再算出两条较短边的平方和，然后判断最长边的平方是否等于两条较短边的平方和．
解：(1)最长边是c＝，则c2＝6.
∵a2＋b2＝(＋1)2＋(－1)2＝3＋2＋3－2＝6，
∴c2＝a2＋b2.
∴△ABC是直角三角形．
(2)设a＝13k，b＝12k，c＝5k(k＞0)，
最长边是a＝13k，则a2＝(13k)2＝169k2.
∵b2＋c2＝(12k)2＋(5k)2＝169k2，
∴a2＝b2＋c2.
∴△ABC是直角三角形．
(1)△ABC的三边a，b，c中的任意一边都可以是斜边，不要受思维定式的影响，总认为c是最长边，其实应根据已知条件确定最长边．
(2)如果三角形三边的比是勾股数的比，那么这个三角形是直角三角形．
(3)设常数k是转化比例关系的常用方法，应熟练掌握．
2．勾股数
若三个数为勾股数，则它们必须同时满足两个条件：(1)能够成为直角三角形三条边的长度；(2)三个数都是正整数．这两个条件缺一不可．
根据“勾股数”的定义我们知道，“勾股数”指的是满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c，而有些同学误认为只要满足a2＋b2＝c2的三个数a，b，c即是勾股数，这是错误的，比如－6,8,10，虽然满足(－6)2＋82＝102，但－6,8,10不是勾股数．
【例2】张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
22－1
32－1
42－1
52－1
…
b
4
6
8
10
…
c
22＋1
32＋1
42＋1
52＋1
…
(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n(n＞1)的代数式表示：a＝__________，b＝__________，c＝__________.
(2)以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？
分析：从表中的数据找到规律．
解：(1)n2－1 2n n2＋1
(2)以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．理由如下：
∵a2＋b2＝(n2－1)2＋4n2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2＝c2，
∴以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．
3．两点之间的距离公式
在平面直角坐标系中有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B两点之间的距离|AB|＝，这就是两点之间的距离公式．
【例3】在平面直角坐标系中有两点A(－1,1)，B(1,3)，在x轴上找一点C，使AC＝BC，求点C的坐标．
分析：由于点C在x轴上，故可设点C的坐标为(x,0)，由于AC＝BC，故可根据两点间的距离公式列方程求解．
解：设C点的坐标为(x,0)．
∵AC＝BC，
∴
＝，
即(x＋1)2＋1＝(x－1)2＋9，
解得x＝2，故C点坐标为(2,0)．
若解为整数，用几何法在网格中可以确定C点坐标；若解为非整数，用几何法只能画出大概位置，不能用坐标准确定位，所以用两点间的距离公式列方程求解显得十分必要．
4．运用勾股定理的逆定理判断直角三角形
勾股定理的逆定理的主要作用是判断一个三角形是否是直角三角形，另外，还可以运用勾股定理的逆定理来判断一个角是否是直角，或判断两条直线是否垂直．
三角形的三边长已知，需要判断一个三角形是否是直角三角形时，就要联想到是否用到勾股定理的逆定理．
【例4】如图所示，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，试求△ACD的面积．
解：因为AD2＋BD2＝122＋52＝169，
AB2＝132＝169，
所以AD2＋BD2＝AB2，所以△ABD是直角三角形，AD⊥BC.
在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，
所以CD＝9，S△ADC＝AD·CD＝×12×9＝54.
5．勾股定理及其逆定理的综合运用
勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的重要依据，是运用直角三角形各种性质的先决条件，它体现了数形结合的重要数学思想．勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系即“a2＋b2＝c2”
；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a2＋b2＝c2”为条件，进而得到这个三角形是直角三角形，是判别一个三角形是否是直角三角形的一种方法．
【例5】如图所示，在△ABD中，∠A是直角，AB＝3，AD＝4，BC＝12，DC＝13，△DBC是直角三角形吗？为什么？
解：△DBC是直角三角形．
理由：在Rt△BAD中，
根据勾股定理，得BD2＝AD2＋AB2＝42＋32＝25，
所以BD＝5.
在△DBC中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2.
由勾股定理的逆定理，
得△DBC是直角三角形．
6．勾股定理的逆定理的应用
勾股定理的逆定理在实际问题中有着广泛的应用，首先要根据题意，建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，进而得到三角形，然后由题目提供的信息找出相关数据，按照题目的要求来判断是否是直角三角形．
把实际问题转化为数学问题后，不要只从图形上就误认为三角形是直角三角形，而必须通过勾股定理的逆定理来判断是否是直角三角形，也就是进行计算求解．
【例6】如图，这是一个农民建房时的地基的平面图，按标准应为长方形．他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8 m，AD＝BC＝6 m，AC＝9 m，请问：该农民挖的地基是否合格？
解：在△ADC中，∵AD＝6 m，DC＝8 m，∴AD2＋DC2＝62＋82＝100.∵AC2＝92＝81，∴AD2＋DC2≠AC2，
∴△ADC不是直角三角形，∴∠ADC不是直角．
而长方形的四个角都是直角，∴该农民挖的地基不合格．
7．勾股数及其确定方法
设直角三角形的三边长为a，b，c，且斜边为c，由勾股定理得a2＋b2＝c2，这是构成直角三角形的等价条件，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，就称为勾股数．
常用勾股数有：3,4,5；6,8,10；5,12,13；8,15,17；7,24,25；9,40,41等．
勾股数一定是正整数，如1.5，2,2.5这三个数虽然能构成直角三角形的三边，但是这三个数并不是勾股数．
对于大于2的任意偶数2n(n是大于1的正整数)，都可以与n2－1，n2＋1构成一组勾股数，如3,4,5；6,8,10；8,15,17；…任意一个大于1的奇数2n＋1(n是正整数)都可以与2n2＋2n,2n2＋2n＋1构成一组勾股数，如3,4,5；5,12,13；7,24,25；….
【例7－1】已知：数7和24，请你再写一个整数，使这些数恰好是一个直角三角形三边的长，则这个数可以是__________．
答案：25
【例7－2】所谓的勾股数就是使等式a2＋b2＝c2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m，n(m＞n)，取a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2，则a，b，c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85(三个中最大),84和__________组成一组勾股数．
答案：13
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