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第一章 直角三角形的边角关系 第三节 三角函数的有关计算(二) 随着人民生活水平的提高，私家小轿车越来越多，为了交通安全及方便行人推车过天桥，某市政府要在 10 m 高的天桥两端修建 40m 长的斜道。请问这条斜道的倾斜角是多少 ? （如下图所示） 在 Rt △ ABC 中， sinA ＝ ∠ A 是多少度呢？ ------- 可以借助于科学计算器 . 问题引入 例如：①已知 sinA =0.9816 ， 求锐角 A 。 ② 已知 cosA ＝ 0.8607 ， 求锐角 A 。 ③已知 tanA ＝ 0.1890 ， 求锐角 A 。 ④已知 tanA ＝ 56.78 ， 求锐角 A 。 寻求方法 已知三角函数值求角度，要用到 “ sin” 、“ cos ” 、“ tan” 键的第二功 能“ sin ־ ¹,cos ־ ¹,tan ־ ¹ ” 和 2ndf 键。 按键顺序如下表： 按键顺序 显示结果 sinA = 0.9816 cosA = 0.8607 tanA = 0.1890 tanA = 56.78 上表的显示结果是以“度”为单位的， 即可显示以“度、分、秒”为单位的结果。 你能求出上图中 ∠ A 的大小吗 ? sin -1 0.9816 =78.99184039 cos -1 0.8607 =30.60473007 tan -1 56.78 =88.99102049 tan -1 0.1890 =10.70265749 再按 键 在 Rt △ ABC 中， sinA ＝ 按键顺序为 再按 可显示 14°28′39″ 。 所以 ∠ A=14°28′39″ 。 （在用计算器求角度时如果无特别说明，结果精确到 1″ 即可。） sin -1 0.25= 14.47751219° ， 显示结果为： ， 键 请同学们独立完成下列练习题． 　 1. 根据下列条件求锐角 θ 的大小： (1)tanθ ＝ 2.9888 ； (2)sinθ=0.3957 ； (3)cosθ ＝ 0.7850 ； (4)tanθ ＝ 0.8972 ； (5)sinθ ＝ ； ( ６ ) cosθ ＝　　 。 解： (1) ∠ θ ＝ 71°30′2″ ； (2) ∠ θ ＝ 23°18′35″ ； (3) ∠ θ ＝ 38°16′46″ ； (4) ∠ θ ＝ 41°53′54″ ； (5) ∠ θ ＝ 30° ； (6) ∠ θ=45° 。 练习巩固 2. 一辆汽车沿着一山坡行驶了 150 米，其铅直高度上升了 25 米，求山坡与水平面所成锐角的大小 . 解：设山坡与水平面所成锐角为 α ， ∴∠ α ＝ 9°35′39 ″ 。 所以山坡与水平面所成锐角为 9°35′39″ 。 根据题意得 sinα ， 解： ∵ tan∠ACD = ≈0.520 8 ∴∠ACD≈27.5° ∴∠ACB ＝∠ ACD≈2×27.5° ＝ 55 ° 例 1 如图，工件上有一 V 形槽，测得它的上口宽 20mm ，深 19.2mm ，求 V 形角 (∠ACB) 的大小 .( 结果精确到 1°) 解决问题 例 2 如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤。在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤。已知肿瘤在皮下 6.3 cm 的 A 处，射线从肿瘤右侧 9.8cm 的 B 处进入身体，求射线与皮肤的夹角 . 解：如图，在 Rt△ABC 中， AC ＝ 6.3 cm ， BC=9.8 cm ∴ tanB = ≈0.642 9 ∴∠B≈ 因此，射线与皮肤的夹角约为 。 1 、解直角三角形的基本理论依据： 在 Rt△ABC 中，∠ C=90° ，∠ A 、∠ B 、∠ C 所对的边 分别为 a 、 b 、 c 。 (1) 边的关系： a 2 +b 2 =c 2 ( 勾股定理 ) ； (2) 角的关系： ∠A+∠B=90°； (3) 边角关系： sinA = ， cosA = ， tanA = ， sinB ＝ ， cosB ＝ ， tanB = 。 2 、由前面的两个例题以及上节的内容我们可以发现，很多实际问题中的数量关系都可归结为直角三角形中元素之间的关系，然后运用直角三角形 中元素之间的关系，通过计算， 使实际问题得到解决。 拓展重建 1 、已知 sinθ ＝ 0.82904 ， 求锐角 θ 的大小。 2 、一梯子斜靠在一面墙上。已知梯长 4 m ， 梯子位于地面上的一端离墙壁 2.5 m ， 求梯子与地面所成的锐角 . ∴ ∠ α≈51°19′4″ 。 所以梯子与地面所成的 锐角约 51°19′4″ 。 自测评价 解：∠ θ≈56°1″ ＝ 0.625 ， 解：如图 ∵ cosα ＝ 1. 掌握利用科学计算器由已知三角函数 值求出相应的锐角。 课堂小结 3. 会利用科学计算器辅助解决含三角函数 值计算的实际问题。 2. 进一步体会三角函数的意义。 布置作业 1 、必做题：课本 p 20 页 习题 1.5 第 2 、 3 题 2 、选做题： 如图 , 为某小区的两幢 10 层住宅楼 , 由地面向上依次为第 1 层、 第 2 层 …… 第 10 层，每层的高度为 3m ，两楼间的距离 AC=30m 。现需了解在某一时段内，甲楼对乙楼的采光的 影响情况。假设某一时刻甲楼楼顶 B 落在乙楼上的影子长 EC=h ，太阳光线与水平线的夹角为 α 。 （ 1 ）用含 α 的式子表示 h ； （ 2 ）当 α=30 o 时，甲楼楼顶 B 的 影子落在乙楼的第几层？从此时 算起，若 α 每时增加 10 o ，多久 后，甲楼的影子刚好不影响乙楼 的采光？ 制作人：广东省深圳市东湖中学 胡党华 王义平 2007 年 6 月 再 见