2.1 代数式
1．用字母表示数
(1)偶数与奇数的概念及表示
①像0，±2，±4，±6，…，能被2整除的整数叫做偶数．
如果用k表示任意一个整数，那么任意一个偶数可以用2k表示．
②像±1，±3，±5，…，不能被2整除的整数叫做奇数．
如果用k表示任意一个整数，那么任意一个奇数可以用2k－1(或2k＋1)表示．
③偶数与奇数可以是负整数；0是偶数．
(2)用字母表示数的意义
用字母表示数，可以把一些数量关系更简明地表示出来，把具体的数换成抽象的字母，使所得式子反映的规律具有普遍意义，从而为叙述和研究问题带来方便．
①用字母表示数可以简明地表达数学运算律．
用字母可以简明地表示加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律、分配律等．
②用字母表示数可以简明地表达公式、法则．
用字母可以表示三角形面积公式、正方形、长方形、圆及梯形的周长、面积等公式，分数运算法则等．
③用字母表示数可以简明地表达问题中的数量关系．
例如，有两个数，其中第二个数比第一个数小4.用字母可以清楚地表明这种数量关系，如果用字母a表示第一个数，则第二个数为a－4；如果用字母b表示第二个数，则第一个数为b＋4.
④用字母表示数可以简洁、准确地表达一些数学概念．
如用a与b表示互为相反数的两个数，则a＋b＝0；若a＋b＝0，则a与b互为相反数．
(3)用字母表示数应注意的问题
①字母的确定性：在同一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量要用不同的字母来表示．如长方形的长和宽要分别用a，b两个字母表示，面积用S表示，则有S＝ab.
②字母的限制性：用字母表示实际问题的某一数量时，字母的取值须使实际问题有意义，并且符合实际．如表示人的数量的字母的取值必须是非负整数．
③字母具有一般性：用字母可以表示我们已经学过的和今后要学的任何一个数．
④字母的不确定性：同一个式子可以表示多种实际问题中的数量关系．
⑤字母的抽象性：要逐步理解和接受有些问题的结果可能就是一个用字母表示的式子．
【例1－1】 若n为自然数，则三个连续的自然数可表示为______，三个连续的奇数可表示为______，三个连续的偶数可表示为______．
解析：(1)每两个连续自然数相差1，所以如果中间的自然数为n，则较小的自然数为n－1，较大的自然数为n＋1；(2)奇数一般用2n－1或2n＋1表示，偶数一般用2n表示，而且每两个连续奇数或偶数相差2.答案不唯一，只要符合连续自然数相差1，连续奇数或偶数相差2都正确．实际上在表示连续的几个数时，一般先表示中间的那一个数，再根据数的特点表示其他的数．如表示三个连续的偶数时，先表示中间一个为2n，则另外两个可以表示为：2n－2,2n＋2.
答案：答案不唯一，如：n－1，n，n＋1；2n－3，2n－1，2n＋1；2n－2,2n,2n＋2.
【例1－2】 填空：
(1)买一个篮球需要m元，买一个排球需要n元，则买3个篮球和5个排球共需要__________元；
(2)今天，参加全省课改实验区的初中毕业考试的同学约有15万人，其中男生约有a万人，则女生约有__________万人；
(3)如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n条“金鱼”需要火柴__________根．
解析：(1)显然买3个篮球需要3m元，买5个排球需要5n元，则买3个篮球和5个排球共需要(3m＋5n)元；(2)女生的人数等于总人数减去男生的人数，由于男女同学共15万人，而男生有a万人，则女生有(15－a)万人；(3)观察发现：搭1条“金鱼”需要火柴8根，搭2条“金鱼”需要火柴14根，搭3条“金鱼”需要火柴20根，而8＝6×1＋2,14＝6×2＋2,20＝6×3＋2，…，所以搭n条“金鱼”需要火柴(6n＋2)根．
注意：“(3m＋5n)元”、“(15－a)万人”、“(6n＋2)根”中表示和或差的式子一定要加括号．
答案：(1)(3m＋5n) (2)(15－a) (3)(6n＋2)
2．代数式
(1)代数式的概念
用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．
如：90a，a＋b,2k－1,4a，a2，，πr2h等都是代数式．
单个的数或字母也是代数式．
如m，－2 013也是代数式．
(2)代数式的书写规定
①代数式中如果出现乘号，可以写成“·”或不写．
字母与字母相乘时“×”省略，按字母表顺序书写，如m×n写成mn，相同字母写成幂的形式，如a×a写成a2，(a＋b)×(a＋b)写成(a＋b)2.
数字与字母相乘时省略“×”，数字要写在字母的前面，若数字是带分数要化成假分数，如4×n写成4n,1×a写成a.
数字与数字相乘时乘号不能省略，也不能写成“·”，仍用“×”．
②在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，即除号不用，改用分数线．
如s÷t写成，x÷2一般写成或x.
③若是和差形式的代数式，式子后面有单位时，要在单位前把代数式括起来．
如t ℃升高2 ℃后是(t＋2) ℃，不能写成t＋2 ℃.
(3)代数式的读法
代数式的读法一般有两种：一是按运算关系来读，如x＋9读作x加9；另一种是按运算结果来读，如x＋9读作x与9的和．另外，对于含有括号的代数式，应把括号里的代数式看作一个整体按运算结果来读．
谈重点 如何判断一个式子是不是代数式
(1)判断一个式子是不是代数式的关键是看式子中有没有运算符号，是不是数字和字母参与运算，单独的一个数或字母可以看成是它与1的积或它除以1的商，也可以看成是这个数与0的和或差．
(2)代数式中只能有运算符号，不应含有“＝”或“＞”“＜”“≥”“≤”等符号，即等式或不等式都不是代数式．
(4)列代数式
列代数式就是把问题中的一些数量关系用代数式表示出来．列代数式的实质就是把文字语言转化为数学符号语言．
列代数式应遵循下列关键点：
①抓住“多”“少”“大”“小”“和”“差”“积”“商”“倍”“分”“平方”“比”“几分之几”“除”“除以”等关键词语，弄清各量之间的关系．
②明确数量关系中的运算顺序，一般是先说的先算，后说的后算，如“和的积”是加在乘之前，而“积的和”是乘在加之前．
③准确理解“的”和“与”划分的语句层次．“的”表示从属关系，“与”表示并列关系．
解技巧 正确列代数式
列代数式时，若先说低级运算，再说高级运算必须加括号，先说高级运算，再说低级运算，则不必使用括号．如x与1的差的3倍应写成3(x－1)，必须加括号，而x的3倍与1的差，则写成3x－1，不必加括号．
【例2－1】 “比a的大1的数”用代数式表示是( )．
A．a＋1 B．a＋1
C．a D．a－1
解析：根据题意可知“a的”可以表示为a，大1，用加法，所以，“比a的大1的数”用代数式表示为a＋1，故选A.
答案：A
【例2－2】 判断下列式子中，哪些是代数式？
0,4x＋5y，x，－40,20＋5x,3x＝2y,2＋1＝3,3x＞0.
分析：根据代数式的概念可判断4x＋5y，20＋5x是代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式，则0，x，－40也是代数式；而3x＝2y,2＋1＝3,3x＞0不符合代数式的概念．因此它们不是代数式．
解：0,4x＋5y，x，－40,20＋5x是代数式．
3．整式
(1)单项式
①单项式的概念
由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式．
如4a，a2，πr2h等都是单项式．
单个的字母或数也是单项式．
如－3，a也是单项式．
②单项式的系数
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．如4a，a2，－a，πr2h的系数分别是4,1，－1，π.
单项式的系数是1或－1时“1”省略不写，如a2，－a的系数分别是1和－1，其中“1”要省略不写．
③单项式的次数
一个单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数．
如4a，a2，πr2h的次数分别是1,2,3.
析规律 判断单项式及其次数
(1)判定一个代数式是否是单项式，关键是看式子中的数与字母或字母与字母之间是不是纯粹的乘积关系(乘方也是一种乘积形式)．如果含有加、减、除的关系，那么它就不是单项式．凡是字母出现在分母中的代数式，也一定不是单项式．(2)单项式的次数指的是所有字母的指数的和，如果字母没有写指数，那么这个字母的指数是1，特别注意，π是常数不是字母，单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．
(2)多项式
①多项式的概念
几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．如：a＋b,2k－1，x2＋2x－3等都是多项式．
②多项式的项
在多项式里，每个单项式叫做多项式的项．多项式的每一项都包括它前面的符号．
如3x2－2y－9的项是3x2，－2y，－9.
③常数项
不含字母的项，叫做常数项，注意常数项也包括它前面的符号．
如多项式3x2－2y－9中的常数项是－9，而不是9.
④多项式的次数
在多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
如多项式3x2－2y－9的次数是2，这个多项式是二次多项式．
⑤一个多项式有几项，这个多项式叫做几项式
如多项式3x2－2y－9是三项式．
于是可按多项式的次数与项数区分多项式．
如4a2b－3ab＋2a－1是三次四项式．
解技巧 对多项式及相关概念的理解
(1)多项式至少是两项，多项式中一定含有加减运算；(2)一个多项式中，任意一项的次数都不大于这个多项式的次数；(3)当多项式中某项的系数是用科学记数法表示的形式时，不要把10的指数算成是该项次数的一个组成部分．
(3)整式
单项式与多项式统称整式．
谈重点 单项式与多项式的区别
(1)单项式的系数应包括前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数相加的结果，只与字母有关，而与系数无关，数字单项式的次数是0.
(2)多项式没有系数，它的次数与组成的各个单项式的次数有关，用次数最高的单项式的次数代表多项式的次数．我们可以用一个多项式的次数与项数对多项式进行分类．
(3)判定一个式子是单项式还是多项式，首先判定它是否是整式，若分母中含有字母，则它一定不是整式，因此也不可能是单项式或多项式；而单项式与多项式的区别在于看是否含有加减运算，含有加减运算的整式是多项式，不含加减运算的整式是单项式．
【例3－1】 找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．
ab2，－y，，＋5,25x7，－3x2y3z，πr2.
分析：代数式含有分母，并且分母中有字母，所以不是单项式；＋5含有加法运算，也不是单项式．
解：单项式是ab2，－y,25x7，－3x2y3z，πr2.
ab2的系数是，次数是3；－y的系数是－1，次数是1；25x7的系数是25，次数是7；－3x2y3z的系数是－3，次数是6；πr2的系数是π，次数是2.
【例3－2】 下列代数式，哪些是多项式？说出多项式的项，并指出它是几次几项式．
(1)x4－2x3＋x－5；
(2)a3－ab2＋3a2b2－b3－1；
(3)2a＋；
(4)t－s＋9s2.
分析：第三个代数式2a＋中的第二项不是单项式，所以2a＋不是多项式．多项式x4－2x3＋x－5的次数是4，多项式a3－ab2＋3a2b2－b3－1的次数是4，多项式t－s＋9s2的次数是2.
解：x4－2x3＋x－5，a3－ab2＋3a2b2－b3－1，t－s＋9s2是多项式．
x4－2x3＋x－5的项是x4，－2x3，x，－5，它是四次四项式；
a3－ab2＋3a2b2－b3－1的项是a3，－ab2,3a2b2，－b3，－1，它是四次五项式；
t－s＋9s2的项是t，－s,9s2，它是二次三项式．
4．代数式的值
(1)代数式的值的概念
①概念：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值．
②代数式的值，一般不是一个固定的数，它是随着代数式中字母取值的变化而变化的，是根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算所得的结果．
(2)注意事项
①代数式与代数式的值是两个不同的概念，代数式表述的是问题的一般规律，而代数式的值是这个规律下的特殊情形．
②代数式的字母取值，必须使要求的代数式有意义．如在代数式中，当t＝0时，代数式没有意义．
③当代数式表示实际问题的数量关系时，字母的取值还要保证具有实际意义．如a表示学生人数，则a只能取正整数．
(3)求代数式的值
求代数式的值，其步骤有两步：
①用数值代替代数式里的字母，简称“代入”；
②按照代数式指明的运算，计算出结果，简称“计算”．
谈重点 求代数式的值需注意的几点
(1)代入时，按已知给定的数值，将相应的字母换成数字，其他的运算符号、原来的数字都不能改变．
(2)代数式中原来省略的乘号，代入数字后出现数字与数字相乘时，必须添上乘号．
(3)代数式的值是由所含字母取值确定的，是随着代数式中字母的取值的变化而变化的，所以求代数式的值时，在代入前，必须写出“当……时”，表示代数式的值是在这种情况下求得的．
(4)如果字母给出的数值是负数，代入时必须加括号．
(5)如果字母给出的数值是分数，作乘方运算时也必须添上括号．
【例4】 已知a＝，b＝－4，求代数式a2－b2＋3a－b的值．
分析：把a，b的值代入到代数式中，可得a2－b2＋3a－b＝2－(－4)2＋3×－(－4)，再按有理数的运算法则计算．
解：当a＝，b＝－4时，
a2－b2＋3a－b
＝2－(－4)2＋3×－(－4)
＝－16＋2＋4＝－9.
5．列代数式的方法
(1)正确列代数式的关键在于：①正确理清数量关系；②善于抓住关键词语；③
能正确判断数量关系中的运算顺序．
(2)两种常用的列代数式的方法
方法一：“翻译法”．列代数式的关键之一在于分清数量关系中的运算层次和运算顺序，一般地叙述数量关系的顺序与代数式的书写顺序基本上是一致的，即可按照“先读的先写”这种类似英语中的“翻译”的方法来列代数式．
方法二：“方程法”．列代数式的关键之一在于正确地理清各数量之间的关系．一般问题中数量间的关系是容易找到的，但当题目中所涉及的各数量之间的关系不容易理清时，可借助方程的思想来帮助分析．
【例5－1】 用代数式表示：
(1)a，b两数和的2倍与a，b两数积的差；
(2)a，b两数和的平方与a，b两数平方差的商；
(3)a，b两数和的倒数与它们的积的差的平方．
解：(1)2(a＋b)－ab；(2)；(3)2.
【例5－2】 汛期来临时，某地区决定实施“海堤加固”工程．某工程队承包了该项目，计划每天加固60米．在施工前，得到气象部门的预报，近期有“台风”袭击该地区，于是工程队改变计划，每天加固的海堤长度是原计划的1.5倍，这样赶在“台风”来临前完成加固任务．设该地区要加固的海堤长为a米，则完成整个任务的实际时间比原计划时间少用了多少天．(用含a的代数式表示)
解：完成整个任务原计划用的时间－完成整个任务的实际时间＝完成整个任务的实际时间比原计划时间少用的天数．原计划用天，实际上用了天，所以少用了－＝(天)．
6.用字母表示数学规律
(1)数字规律
一组数字或等式有一定的规律，可以用字母来表示．
常见的有两类：
①数字：如偶数、奇数、比某一个数的几倍多(少)多少．
②等式：具有一定规律的计算等式．
(2)图形规律
图形中的数学规律用具体数字表示有些困难，而用字母表示非常简洁．
用字母表示图形中的规律的方法及步骤：
①根据题目中提供的图形分析其中蕴含的规律；
②用字母列出式子．
释疑点 用字母表示数学规律
(1)用字母表示图形中的规律与用数字表示规律本质是一致的．(2)规律探索是一种观察、归纳、猜想验证的过程，对于这样的题目要数形结合，从特殊到一般，用字母表示最终的结果，更能反映图形的变化规律．
【例6－1】 观察下列算式：
①1×3－22＝3－4＝－1；
②2×4－32＝8－9＝－1；
③3×5－42＝15－16＝－1；
④____________________；
……
(1)请你按以上规律写出第4个算式；
(2)把这个规律用含字母的式子表示出来．
解：(1)4×6－52＝24－25＝－1.
(2)答案不唯一．如n(n＋2)－(n＋1)2＝－1(n∈正整数)．
【例6－2】 用火柴棒按如下方式搭图：
(1)填写下表：
三角形个数
1
2
3
4
5
火柴棒根数
(2)照这个规律搭下去，搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒？
分析：(1)可采用数的办法填空；(2)有两种方法：一是观察图形，确定每增加一个三角形需要增加的火柴棒的根数；二是通过观察上表中数的关系，从而找到规律．
解：(1)3 5 7 9 11 (2)照题中规律搭下去，搭n个这样的三角形需要火柴棒的根数为3＋2(n－1)．
7.代数式求值的方法
求代数式的值常用的方法有：
直接代入计算、整体代入计算、按指定的程序代入计算．
(1)直接代入计算
当已知一个代数式中各字母的取值时，可以用直接代入计算的方法．
(2)整体代入计算
已知含有两个字母或多个字母的代数式的值，求另一个代数式的值时，可以选用整体代入的方法．
整体代入步骤：①对已知代数式或所求代数式进行适当变形；②整体代入求值．
(3)按指定的程序代入计算
按指定的程序代入计算，即数值转换机．给出一个代数式，或提供运算程序，给出字母的取值，代入求值即可．
【例7】 下图是一组数值转换机，(1)当x＝－3时，写出图a的输出结果；(2)找出图b的转换步骤，并求出当x＝2.5时输出的结果．
分析：(1)先根据题图提供的程序写出代数式，代数式是3x－2，再将x＝－3代入求值；(2)根据代数式中指明的运算顺序，先算加法再算除法，所以其步骤分别是＋4和÷5.
解：(1)由转换机程序可知代数式是3x－2，当x＝－3时，原式＝(－3)×3－2＝－11.
(2)观察可知转换机的步骤是：＋4和÷5.当x＝2.5时，原式＝(2.5＋4)÷5＝1.3.
8．代数式的应用
(1)列代数式求阴影部分的面积
一般有三种方法：
①和差法：就是不改变图形的位置，将阴影部分的面积用规则图形的和或差来表示，经过计算后可以求出阴影部分的面积．
②移动法：就是将图形的位置进行移动，以便利用和差法所提供的条件，具体的做法是平移、旋转、割补、等积变换等．
③覆盖法：就是几个图形覆盖在一起，重叠的部分的面积就是阴影部分的面积．
(2)探究图形排列的规律，利用代数式表示所需图形的个数．
主要考查学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．
对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．
找规律的题目，要通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决此类题目的难点在于找出能够代表一般规律的代数式．很多题目考查对于数字变化规律的运算猜想能力，需要有一定的数学思想．
【例8－1】 如图所示，求图中阴影部分的面积：
分析：阴影部分的面积等于长方形的面积减去空白部分的面积，即：(1)长方形的面积减去长方形的面积；(2)长方形的面积减去四个正方形的面积；(3)长方形的面积减去两个长方形的面积再加上一个长方形的面积；(4)长方形的面积减去两个小扇形的面积，即a(a＋b)－a2－b2.
解：(1)mn－pq；(2)ab－4x2；(3)ab－an－bm＋mn；
(4)a2－b2＋ab.
【例8－2】 下面是由一些火柴棒拼出的一系列图形，第n个图形由n个正方形组成，通过观察图形：
(1)用n表示火柴棒根数s的公式；
(2)当n＝20时，计算s的值．
解：(1)s＝3n＋1.
(2)当n＝20时，s＝3×20＋1＝61(根)．
9.用单项式、多项式的概念求字母的值
数学中的概念是通过事物的特征下的定义，因此还具有判定特征的作用，即，在知道是某种事物的前提下，我们又可以知道这种事物必备的特点，因此在整式的应用中，我们可以通过概念规定的条件，在知道是某种式子的前提下，推理认识它所具备的性质，从而通过列式，求出某些未知数的值．如：由单项式－2x4可知它的系数是－2，次数是4，反过来若知道－axm的系数是－2、次数是4，就可以知道－a＝－2，m＝4，从而求出a＝2，多项式的运用也是如此．
【例9－1】 若m3x2yn＋1是关于x，y的五次单项式，且系数为，则m＝______；n＝______.
解析：因为单项式是关于x，y的五次单项式，所以m是常数，因为系数为，因此有m3＝，m＝；2＋n＋1＝5，n＝2.
答案： 2
【例9－2】 已知多项式5xmy2＋(m－2)xy－3x，如果它的次数为4次，则m
应为多少？如果多项式只有两项，则m为多少？
分析：①次数最高项的次数是多项式的次数，在已知的多项式中只有5xmy2次数能成为多项式的次数，所以m＋2应该等于4；②如果多项式是二项式，只有(m－2)xy这项不存在才可以，所以这项的系数只能是0.
解：如果多项式的次数为4次，则m＋2＝4，即m＝2；如果多项式只有两项，则m－2＝0，即m＝2.
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