第14讲 三角形与全等三角形
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资料简介
第 14 讲 三角形与全等三角形 考纲要求 命题趋势 1.了解三角形和全等三角形有关的概念,知道三 角形的稳定性,掌握三角形的三边关系. 2.理解三角形内角和定理及推论. 3.理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画 法和性质. 4.掌握三角形全等的性质与判定,熟练掌握三角 形全等的证明. 中考中多以填空题、选择题的形式 考查三角形的边角关系,通过解答题来 考查全等三角形的性质及判定.全等三 角形在中考中常与平行四边形、二次函 数、圆等知识相结合,考查学生综合运 用知识的能力. 知识梳理 一、三角形的概念及性质 1.概念 (1)由三条线段________顺次相接组成的图形,叫做三角形.(2)三角形按边可分为:非 等腰三角形和等腰三角形;按角可分为:锐角三角形、钝角三角形和直角三角形. 2.性质 (1)三角形的内角和是______;三角形的一个外角等于与它不相邻的____________;三 角形的一个外角大于与它________的任何一个内角.(2)三角形的任意两边之和______第三 边;三角形任意两边之差________第三边. 二、三角形中的重要线段 1.三角形的角平分线 三角形一个角的平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角 形的角平分线.特性:三角形的三条角平分线交于一点,这个点叫做三角形的________. 2.三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作______,顶点和垂足之间的线段叫做三角 形的高线,简称高.特性:三角形的三条高线相交于一点,这个点叫做三角形的______. 3.三角形的中线 在三角形中,连接一个顶点和它对边______的线段叫做三角形的中线.特性:三角形的 三条中线交于一点,这个点叫做三角形的______. 4.三角形的中位线 连接三角形两边______的线段叫做三角形的中位线.定理:三角形的中位线平行于第三 边,且等于它的________. 三、全等三角形的性质与判定 1.概念 能够________的两个三角形叫做全等三角形. 2.性质 全等三角形的__________、__________分别相等. 3.判定 (1)有三边对应相等的两个三角形全等,简记为(SSS);(2)有两边和它们的夹角对应相等 的两个三角形全等,简记为(SAS);(3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简 记为(ASA);(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简记为(AAS);(5)有 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简记为(HL). 四、定义、命题、定理、公理 1.定义 对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义. 2.命题 判断一件事情的语句.(1)命题由________和________两部分组成.命题通常写成“如果……,那么……”的 形式,“如果”后面是题设,“那么”后面是结论. (2)命题的真假:正确的命题称为________;错误的命题称为________. (3)互逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的________,而第 一个命题的结论是 第二个命题的________,那么这两个命题称为互逆命题.每一个命题都 有逆命题. 3.定理 经过证明的真命题叫做定理.因为定理的逆命题不一定都是真命题.所以不是所有的定 理都有逆定理. 4.公理 有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的,并把它们作为判断其他命题真 伪的原始依据,这样的真命题叫做公理. 五、证明 1.证明 从一个命题的条件出发,根据定义、公理及 定理,经过________,得出它的结论成立, 从而判断该命题为真,这个过程叫做证明. 2.证明的一般步骤 (1)审题,找出命题的题设和结论;(2)由题意画出图形,具有一般性;(3)用数学语言写 出已知、求证;(4)分析证明的思路;(5)写出证明过程,每一步应有根据,要推理严密. 3.反证法 先假设命题中结论的反面成立,推出与已知条件或是定义、定理等相矛盾,从而结论的 反面不可能成立,借此证明原命题结论是成立的.这种证明的方法叫做反证法. 自主测试 1.△ABC 的内角和为( ) A.180° B.360° C.540° D.720° 2.下列长度的三条线段,不能组成三角形的是( ) A.3,8,4 B.4,9,6 C.15,20,8 D.9,15,8 3.如图,已知∠1=∠2,则不一定能使△ABD≌△ACD 的条件是( ) A.AB=AC B.BD=CD C.∠B=∠C D.∠BDA=∠CDA 4.下面的命题中,真命题是( ) A.有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等 B.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 C.有一条边对应相等的两个等腰三角形全等 D.有一条高对应相等的两个等边三角形全等 5.如图,D,E 分别是 AB,AC 上的点,且 AB=AC,AD=AE.求证:∠B=∠C.考点一、三角形的边角关系 【例 1】若某三角形的两边长分别为 3 和 4,则下列长度的线段能作为其第三边的是 ( ) A.1 B.5 C.7 D.9 解析:设第三边为 x,根据三角形三边的关系可得 4-3<x<3+4,即 1<x<7. 答案:B 方法总结 1.在具体判断时,可用较小的两条线段的和与最长的线段进行比较.若这 两条线段的和大于最长的那条线段,则这三条线段能组成三角形.否则就不能组成三角形. 2.三角形边的关系的应用:(1)判定三条线段是否构成三角形;(2)已知两边的长,确定 第三边的取值范围;(3)可证明线段之间的不等关系. 触类旁通 1 已知三角形三边长分别为 2,x,13,若 x 为正整数,则这样的三角形个数 为( ) A.2 B.3 C.5 D.13 考点二、全等三角形的性质与判定 【例 2】如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AC=2AB,点 D 是 AC 的中点,将一块 锐角为 45°的直角三角板 AED 如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与 A,D 重合,连接 BE,EC.试猜想线段 BE 和 EC 的数量及位置关系,并证明你的猜想. 解:BE=EC,BE⊥EC.证明如下: ∵AC=2AB,点 D 是 AC 的中点,∴AB=AD=CD. ∵∠EAD=∠EDA=45°,∴∠EAB=∠EDC=135°. 又∵EA=ED,∴△EAB≌△EDC.∴∠AEB=∠DEC,EB=EC.∴∠BEC=∠AED=90°. ∴BE=EC,BE⊥EC. 方法总结 1.判定两个三角形全等时,常用下面的思路:有两角对应相等时找夹边或 任一边对应相等;有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等.在具体的证明中,要根据已 知条件灵活选择证明方法. 2.全等三角形的性质主要是指全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对 应角平分线、周长、面积等之间的等量关系. 触类旁通 2 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE 于点 E,AD⊥CE 于点 D.求证:△BEC≌△CDA. 考点三、真假命题的判断 【例 3】下列命题,正确的是( ) A.如果|a|=|b|,那么 a=b B.等腰梯形的对角线互相垂直 C.顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形 D.相等的圆周角所对的弧相等 解析:A 项错误,例如:|-2|=|2|,但-2≠2;B 项错误,等腰梯形的对角线可能垂直, 但并不是所有的等腰梯形对角线都垂直;C 项正确,可以根据三角形中位线定理和平行四边 形的判定得到;D 项错误,相等的圆周角所对的弧相等,必须是在同圆或等圆中. 答案:C 方法总结 对命题的正确性理解一定要准确,判定命题不成立时,有时可以举反例说明 道理;命题有正、误,错误的命题也是命题. 触类旁通 3 已知三条不同的直线 a,b,c 在同一平面内,下列四个命题:①如果 a∥b, a⊥c,那么 b⊥c;②如果 b∥a,c∥a,那么 b∥c;③如果 b⊥a,c⊥a,那么 b⊥c;④如果 b⊥a,c⊥a,那么 b∥c.其中为真命题的是__________.(填写所有真命题的序号) 考点四、证明的方法 【例 4】如图,已知在梯形 ABCD 中,AD∥BC,BC=DC,CF 平分∠BCD,DF∥AB, BF 的延长线交 DC 于点 E. 求证:(1)△BFC≌△DFC; (2)AD=DE. 证明:(1)∵CF 平分∠BCD,∴∠BCF=∠DCF. 在△BFC 和△DFC 中, BC=DC, ∠BCF=∠DCF, FC=FC, ∴△BFC≌△DFC. (2)如图,连接 BD. ∵△BFC≌△DFC, ∴BF=DF.∴∠FBD=∠FDB. ∵DF∥AB,∴∠ABD=∠FDB. ∴∠ABD=∠FBD. ∵AD∥BC,∴∠BDA=∠DBC. ∵BC=DC,∴∠DBC=∠BDC. ∴∠BDA=∠BDC. 又 BD 是公共边,∴△BAD≌△BED.∴AD=DE. 方法总结 1.证明问题时,首先要理清证明的思路,做到证明过程的每一步都有理有 据,推理严密.要证明线段、角相等时,证全等是常用的方法.2.证明的基本方法:(1)综合法,从已知条件入手,探索解题途径的方法; (2)分析法,从结论出发,用倒推来寻求证题思路的方法; (3)两头“凑”的方法,综合应用以上两种方法找证明思路的方法. 触类旁通 4 如图,在△ABC 中,AD 是中线,分别过点 B,C 作 AD 及其延长线的垂 线 BE,CF,垂足分别为点 E,F.求证:BE=CF. 1.(2012 浙江嘉兴)已知△ABC 中,∠B 是∠A 的 2 倍,∠C 比∠A 大 20°,则∠A 等于 ( ) A.40° B.60° C.80° D.90° 2.(2012 贵阳)如图,已知点 A,D,C,F 在同一条直线上,AB=DE,BC=EF,要使 △ABC≌△DEF,还需要添加一个条件是( ) A.∠BCA=∠F B.∠B=∠E C.BC∥EF D.∠A=∠EDF 3.(2012 四川雅安)在△ADB 和△ADC 中,下列条件:①BD=DC,AB=AC;②∠B= ∠C,∠BAD=∠CAD;③∠B=∠C,BD=DC;④∠ADB=∠ADC,BD=DC.能得出△ADB ≌△ADC 的序号是__________. 4.(2012 广东广州)如图,点 D 在 AB 上,点 E 在 AC 上,AB=AC,∠B=∠C,求证: BE=CD. 5.(2012 江苏苏州)如图,在梯形 ABCD 中,已知 AD∥BC,AB=CD,延长线段 CB 到 E,使 BE=AD,连接 AE,AC. (1)求证:△ABE≌△CDA; (2)若∠DAC=40°,求∠EAC 的度数. 1.如图,为估计池塘两岸 A,B 间的距离,杨阳在池塘一侧选取了一点 P,测得 PA= 16 m,PB=12 m,那么 AB 间的距离不可能是( )A.5 m B.15 m C.20 m D.28 m 2.如图,已知△ABC 中,∠ABC=45°,F 是高 AD 和 BE 的交点,CD=4,则线段 DF 的长度为( ) A.2 2 B.4 C.3 2 D.4 2 3.如图,在△ABC 中,∠A=8 0°,点 D 是 BC 延长线上一点,∠ACD=150°,则∠B =__________. 4.如图,在△ABC 中,BC 边不动,点 A 竖直向上运动,∠A 越来越小,∠B,∠C 越 来越大,若∠A 减少α度,∠B 增加β度,∠C 增加γ度,则α,β,γ三者之间的等量关系是 __________. 5.如图所示,三角形纸片 ABC 中,∠A=65°,∠B=75°,将纸片的一角折叠,使点 C 落在△ABC 内,若∠1=20°,则∠2 的度数为__________. 6.如图,点 B,C,F,E 在同一直线上,∠1=∠2,BC=FE,∠1__________(填“是” 或“不是”)∠2 的对顶角,要使△ABC≌△DEF,还需添加一个条件,这个条件可以是 __________(只需写出一个).7.如图,已知在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,点 E 在 AC 上,CE=BC, 过点 E 作 AC 的垂线,交 CD 的延长线于点 F.求证:AB=FC. 8.如图,点 A,B,D,E 在同一直线上,AD=EB,BC∥DF,∠C=∠F.求证:AC= EF. 参考答案 导学必备知识 自主测试 1.A 2.A 3.B 4.D 5.证明:在△ABE 和△ACD 中, ∵AB=AC,∠A=∠A,AE=AD, ∴△ABE≌△ACD. ∴∠B=∠C. 探究考点方法 触类旁通 1.B 由三角形三边的关系可得 13-2<x<13+2,即 11<x<15,∵x 为正 整数,∴x 为 12,13,14,故选 B. 触类旁通 2.证明:∵BE⊥CF 于点 E,AD⊥CE 于点 D, ∴∠BEC=∠CDA=90°. 在 Rt△BEC 中,∠BCE+∠CBE=90°, 在 Rt△BCA 中,∠BCE+∠ACD=90°, ∴∠CBE=∠ACD. 在△BEC 和△CDA 中, ∵ ∠BEC=∠CDA, ∠CBE=∠ACD, BC=CA, ∴△BEC≌△CDA. 触类旁通 3.①②④ 触类旁通 4.证明:∵在△ABC 中,AD 是中线,∴BD=CD. ∵CF⊥AD,BE⊥AE,∴∠CFD=∠BED=90°. 在△BED 与△CFD 中,∵∠BED=∠CFD,∠BDE=∠CDF,BD=CD, ∴△BED≌△CFD,∴BE=CF. 品鉴经典考题 1.A 设∠A=x,则∠B=2x,∠C=x+20°,则 x+2x+x+20°=180°,解得 x=40°, 即∠A=40°. 2.B 由已知可得两个三角形已有两组边对应相等,还需要另一组边对应相等或夹角 对应相等,只有 B 能满足条件. 3.①②④ 由题意知 AD=AD,条件①可组成三边对应相等,条件②可组成两角和其 中一角的对边对应相等,条件④可组成两边及其夹角对应相等,这三个条件都可得出△ADB ≌△ADC,条件③组成的是两边及其一边的对角对应相等,不能得出△ADB≌△ADC. 4.证明:∵在△ABE 和△ACD 中,∠B=∠C,AB=AC,∠A=∠A,∴△ABE≌△ ACD(ASA).∴BE=CD. 5.(1)证明:在梯形 ABCD 中,∵AD∥BC,AB=CD, ∴∠ABE=∠BAD,∠BAD=∠CDA. ∴∠ABE=∠CDA. 在△ABE 和△CDA 中, AB=CD, ∠ABE=∠CDA, BE=DA, ∴△ABE≌△CDA. (2)解:由(1)得∠AEB=∠CAD,AE=AC,∴∠AEB=∠ACE. ∵∠DAC=40°,∴∠AEB=∠ACE=40°. ∴∠EAC=180°-40°-40°=100°. 研习预测试题 1.D 由三角形三边关系知 16-12<AB<16+12,故选 D. 2.B 因为由已知可证明△BDF≌△ADC,所以 DF=CD. 3.70° 4.α=β+γ 5.60° ∵∠A+∠B+∠C=180°,∠CDE+∠CED+∠C=180°, ∴∠A+∠B=∠CDE+∠CED. ∴∠A+∠B+∠CDE+∠CED=2(∠A+∠B)=280°. ∵∠1+∠2+∠CDE+∠CED+∠A+∠B=360°, ∴∠1+∠2=360°-280°=80°. 又∵∠1=20°,∴∠2=60°. 6.不是 ∠B=∠E(答案不唯一) 7.证明:∵FE⊥AC 于点 E,∠ACB=90°, ∴∠FEC=∠ACB=90°. ∴∠F+∠ECF=90°. 又∵CD⊥AB 于点 D, ∴∠A+∠ECF=90°. ∴∠A=∠F. 在△ABC 和△FCE 中, ∠A=∠F, ∠ACB=∠FEC, BC=CE, ∴△ABC≌△FCE.∴AB=FC. 8.证明:∵AD=EB, ∴AD-BD=EB-BD,即 AB=ED. 又∵BC∥DF,∴∠CBD=∠FDB. ∴∠ABC=∠EDF. 又∵∠C=∠F, ∴△ABC≌△EDF.∴AC=EF.

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