3.2 代数式的值
1．代数式的值
(1)代数式的值的概念
一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算计算得出的结果，叫做代数式的值．
①含有字母的代数式的值，由代数式中的字母所取值的确定而确定，也就是说，只要代数式里的字母给一个确定的值，代数式就有唯一确定的值与它对应；
②代数式中字母取值的要求：a.字母的取值要确保代数式有意义，如在代数式中要保证分母x－2≠0，即x取不等于2的数；b.字母的取值除了使代数式本身有意义外，还要使它符合实际意义，如：学校要添置一批排球，每班配2个，学校留10个，那么学校需要添置多少个排球？设学校有n个班，则学校应添置排球(2n＋10)个，在这个问题中n只能取自然数；
③用数值代替代数式中的字母，不能改变代数式中的运算顺序，并且不能改变其表示的意义．原来省略的乘号应添上，当代入的值是分数或负数时，应视情况将所代入的数值用括号括起来．
(2)求代数式的值
①求代数式的值的一般步骤是：a.当……时；b.代入；c.计算．
②求代数式的值出现的错误主要表现在数字代入时忽视分数或负数应添加括号，忽视分数线的括号作用，忽视用数字代入代数式中的字母后，原代数式中隐含的运算符号应复原．
③去括号时出现的错误．去括号时出现的错误通常有两点：一是忽视括号前面的负号，去掉括号时括在括号里的各项没有改变符号；二是忽视括号前面的数字，去掉括号时，没有运用乘法的分配律．如化简2(a2－2ab－3b2)－3(2b2－ab－4a2)就容易出现上述两种错误，特别是第二种．
警误区 求代数式的值时应注意的问题 求代数式的值时，要注意解题的要求：①注意书写格式，“当……时”的字样不要丢；②如果代数式中省略乘号，代入值后需填上乘号；③如果字母取值是分数，做乘方运算时要加括号．
【例1】 (1)当a＝，b＝－3时，求代数式a2－2ab＋b2的值；
(2)当x＝，y＝－时，求代数式x(4x－y2)的值；
(3)当a＝－1，b＝2，c＝3时，求代数式的值．
分析：本题只需按求代数式值的要求把各字母的值分别代入(即用字母的取值替换字母)，再按原来的运算顺序进行运算即可．
解：(1)当a＝，b＝－3时，
a2－2ab＋b2
＝2－2××(－3)＋(－3)2
＝＋3＋9＝12.
(2)当x＝，y＝－时，
x(4x－y2)
＝×
＝×＝－.
(3)当a＝－1，b＝2，c＝3时，
＝
＝＝.
解技巧 求代数式的值时代入负数添括号 负数在代入代数式求值时，为了防止把负号漏掉，不论参与哪种运算都要添加括号．
2．运用整体思想求代数式的值
整体思想是中学数学中的重要思想，解题难点是式子的变形，变形的依据是有理数的运算律，尤其是分配律．
运用整体思想求代数式的值时应注意以下问题：
(1)严格按求值的步骤和格式去做，根据已知条件或者已知条件的变形求代数式的值时，要特别注意符号；
(2)一个代数式中的同一个字母，只能用同一个数值代替；若有多个字母，代入时要注意对应关系，千万不能混淆；若是整体代入，就把一个代数式看成整体加上括号；
(3)在代入值时，原来省略的乘号要恢复，而数字和其他运算符号不变；
(4)求有乘方运算的代数式的值，在代入时要注意加括号；
(5)运算时要注意运算顺序．
【例2－1】 如果代数式a＋2b的值为5，那么代数式2a＋4b－3的值等于( )．
A．7 B．2
C．－7 D．4
解析：先观察条件与所求的关系，即2a＋4b－3＝2(a＋2b)－3，根据此关系，可以将代数式a＋2b的值整体代入所求的代数式．
即原式＝2(a＋2b)－3＝2×5－3＝7.
答案：A
【例2－2】 如果代数式2x2＋3x＋7的值为8，那么代数式4x2＋6x－9的值等于__________．
解析：观察题中的两个代数式2x2＋3x和4x2＋6x，可以发现4x2＋6x＝2(2x2＋3x)，因此由2x2＋3x＋7的值为8，求得2x2＋3x＝1，再代入代数式求值．
∵2x2＋3x＋7＝8，
∴2x2＋3x＝1，
∴4x2＋6x－9＝2(2x2＋3x)－9＝2－9＝－7.
答案：－7
解技巧 利用整体代入法求代数式的值 代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式2x2＋3x的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
3.利用代数式的值解决问题
代数式能够非常简明和灵活地表示实际问题的数量关系，当我们遇到实际问题的时候，可以先建立实际问题与某一字母之间的联系，即根据题意列出代数式，再把所要求的已知数代入所求的代数式求值，从而解决问题．
解题时，关键要先理清题目的数量关系，利用常见的数量关系式列出代数式．例如：长方形、正方形、圆等平面图形的面积公式；每天用电的度数×30＝一个月的用电度数；今年产量＝去年产量×(1＋增产率)等．
利用代数式的值解决问题的一般步骤是：①根据题意分析题目中的数量关系；②正确列出代数式表示题目中的一般关系；③将已知的条件代入所列的代数式，求出代数式的值．
警误区 代数式中字母的取值要符合实际意义 代数式的值要随字母的取值而发生变化，注意字母的每一个取值都要符合实际意义．
【例3－1】 某车间第一个月产值为m万元，平均每月增产率为a%，
求：(1)用代数式表示出第二个月的产值；
(2)当m＝20，a＝5时第二个月的产值．
分析：平均每月增产率为a%，即第二个月的产值比第一个月的产值增加m×a%万元，所以第二个月的产值为(m＋m·a%)万元．
解：(1)第二个月的产值为(m＋m·a%)万元或m(1＋a%)万元；
(2)当m＝20，a＝5时，m＋m·a%＝20＋20×5%＝21(万元)．
析规律 增长率问题中的数量关系 若每月的增产率不变，下一个月的产值就等于本月产值＋本月产值×增产率．
【例3－2】 下面是由一些火柴棒拼出的一系列图形，第n个图形由n个正方形组成，通过观察图形，
(1)用n表示第n个图形中火柴棒根数s的公式；
(2)当n＝20时，计算s的值．
分析：n表示正方形的个数，每个正方形由四根火柴棒组成，而当n≥2时，每两个正方形有一条公共边，即每个图形除第一个正方形外，其余正方形只需三根火柴棒，这样每个图形所需火柴棒是：正方形个数×3＋1.
解：(1)s＝3n＋1.
(2)当n＝20时，s＝3×20＋1＝61(根)．
4．通过转化求代数式的值
有的代数式求值往往不直接给出字母的取值，而是通过告诉一个代数式的值，且已知代数式中的字母又无法具体求出来．这时，我们应想到采用整体思想解决问题．
有些题目没有直接给出字母x，y的值，需要我们根据已知条件把x，y的值先求出来，再代入含有x，y的代数式求值．
如果所求代数式中不含与已知条件有关的未知数，例如x，且各项系数符号未变，可采用一般向特殊转化的方法．
【例4－1】 已知(x＋1)3＝ax3＋bx2＋cx＋d，求a＋b＋c＋d的值．
分析：显然不可能分别求出a，b，c，d的值，但仔细观察可以发现当x＝1时，右边就会出现a＋b＋c＋d的形式，而左边＝(1＋1)3正好得出结果．
解：令x＝1，则(1＋1)3＝a＋b＋c＋d，
所以a＋b＋c＋d＝8.
【例4－2】 已知代数式的值是0，求代数式x2－5x－2 011的值．
分析：代数式的值是0，所以分子x－1＝0，从而x＝1，再把x的值代入所求的代数式求值．
解：根据题意得，x－1＝0，
∴x＝1，当x＝1时，x2－5x－2 011＝1－5－2 011＝－2 015.
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