指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
加入VIP免费下载

本文件来自资料包: 《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》 共有 1 个子文件,压缩包列表如下:

注:压缩包层级关系提取自源文件,您看到的所有资料结构都和您下载的源文件一致

加入VIP免费下载
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天资源网负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。
网站客服:403074932
资料简介
‎§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 教学分析     ‎ 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同,应用函数模型解决简单问题.课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用,都是通过实例来实现的,通过教学让学生认识到数学来自现实生活,数学在现实生活中是有用的.‎ 三维目标     ‎ ‎1.借助信息技术,利用函数图像及数据表格,比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.‎ ‎2.恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图像),并借助信息技术解决一些实际问题.‎ ‎3.让学生体会数学在实际问题中的应用价值,培养学生学习兴趣.‎ 重点难点     ‎ 教学重点:认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同.‎ 教学难点:应用函数模型解决简单问题.‎ 课时安排     ‎ ‎1课时 导入新课     ‎ 思路1.(情境导入)‎ 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者,问他要什么.发明者说:“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒,第2个格子里放上2颗麦粒,第3个格子里放上4颗麦粒,依次类推,每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高,就欣然同意了.假定千粒麦子的质量为‎40 g,据查,目前世界年度小麦产量为6亿吨,但不能满足发明者要求,这就是指数增长.本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异.‎ 思路2.(直接导入)‎ 我们知道,对数函数y=logax(a>1),指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上都是增函数.但这三类函数的增长是有差异的.本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异.‎ 推进新课     ‎ ‎①在区间(0,+∞)上判断y=log2x,y=2x,y=x2的单调性.‎ ‎②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图像.‎ ‎③结合函数的图像找出其交点坐标.‎ ‎④请在图像上分别标出使不等式log2x<2x<x2和log2x<x2<2x成立的自变量x的取值范围.‎ ‎⑤由以上问题你能得出怎样结论?‎ 讨论结果:‎ ‎①在区间(0,+∞)上函数y=log2x,y=2x,y=x2均为单调增函数.‎ ‎②见下表与图1.‎ x ‎0.2‎ ‎0.6‎ ‎1.0‎ ‎1.4‎ ‎1.8‎ ‎2.2‎ ‎2.6‎ ‎3.0‎ ‎3.4‎ ‎…‎ y=2x ‎1.149‎ ‎1.516‎ ‎2‎ ‎2.639‎ ‎3.482‎ ‎4.959‎ ‎6.063‎ ‎8‎ ‎10.556‎ ‎…‎ y=x2‎ ‎0.04‎ ‎0.36‎ ‎1‎ ‎1.96‎ ‎3.24‎ ‎4.84‎ ‎6.67‎ ‎9‎ ‎11.56‎ ‎…‎ y=log2x ‎-2.322‎ ‎-0.737‎ ‎0‎ ‎0.485‎ ‎0.848‎ ‎1.138‎ ‎1.379‎ ‎1.585‎ ‎1.766‎ ‎…‎ 图1‎ ‎③从图像看出y=log2x的图像与另外两函数的图像没有交点,且总在另外两函数的图像的下方,y=2x的图像与y=x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16).‎ ‎④不等式log2x<2x<x2和log2x<x2<2x成立的自变量x的取值范围分别是(2,4)和(0,2)∪(4,+∞).‎ ‎⑤我们在更大的范围内列表作函数图像(图2),‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎…‎ y=2x ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎32‎ ‎64‎ ‎128‎ ‎256‎ ‎…‎ y=x2‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎16‎ ‎25‎ ‎36‎ ‎49‎ ‎64‎ ‎…]‎ 图2‎ 容易看出:y=2x的图像与y=x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16),这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系,有时2x<x2,有时x2<2x.‎ 但是,当自变量x越来越大时,可以看到,y=2x的图像就像与x轴垂直一样,2x的值快速增长,x2比起2x来,几乎有些微不足道,如图3和下表所示.‎ x ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎…‎ y=2x ‎1‎ ‎1 024‎ ‎1.05E+06‎ ‎1.07E+09‎ ‎1.10E+12‎ ‎1.13E+15‎ ‎1.15E+18‎ ‎1.18E+21‎ ‎1.21E+24‎ ‎…‎ y=x2‎ ‎0‎ ‎100‎ ‎400‎ ‎900‎ ‎1 600‎ ‎2 500‎ ‎3 600‎ ‎4 900‎ ‎6 400‎ ‎…‎ 图3‎ 一般地,对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),通过探索可以发现,在区间(0,+∞)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定变化范围内,ax会小于xn,但由于ax的增长快于xn的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有ax>xn.‎ 同样地,对于对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),在区间(0,+∞)上,随着x的增大,logax增长得越来越慢,图像就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内,logax可能会大于xn,但由于logax的增长慢于xn的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有logax<xn.‎ 综上所述,尽管对数函数y=logax(a>1),指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此,总会存在一个x0,当x>x0时,就会有logax<xn<ax.虽然幂函数y=xn(n>0)增长快于对数函数y=logax(a>1)增长,但它们与指数增长比起来相差甚远,因此指数增长又称“指数爆炸”.‎ 思路1‎ 例1 试利用计算器来计算2500的近似值.‎ 活动:学生思考,教师提示,计算这样一个大的数,用计算器无法直接计算.如何计算呢?我们可以充分利用幂的运算性质,再结合计算器的利用来求其近似值.‎ 解:第一步,利用科学计算器算出 ‎210=1 024=1.024×103;‎ 第二步,再计算2100,因为 ‎2100=(210)10=(1.024×103)10=1.02410×1030,‎ 所以,我们只需要用科学计算器算出 ‎1.02410≈1.267 7,‎ 则2100≈1.267 7×1030;‎ 第三步,再计算2500,因为 ‎(2100)5≈(1.267 7×1030)5,‎ 我们只需要用科学计算器算出 ‎1.267 75≈3.274 0,‎ 从而算出2500≈3.27×10150.‎ 点评:在设计计算方法时,要考虑到科学计算器能计算的位数.如果函数值非常大,我们常常用科学记数法表示,并且根据需要保留一定数目的有效数字.‎ 例2 在自然界中,有些种群的世代是隔离,即每一代的生活周期是分离的,例如很多一年生草本植物,在当年结实后死亡,第二年种子萌发产生下一代.假设一个理想种群,其每个个体产生2个后代,又假定种群开始时有10个个体,到第二代时,种群个体将上升为20个,以后每代增加1倍,依次为40,80,160,…,试写出计算过程,归纳种群增长模型,说明何种情况种群上升,种群稳定,种群灭亡.‎ 活动:学生仔细审题,理解题目的含义,教师指导,注意归纳总结.‎ 解:设Nt表示t世代种群的大小,Nt+1表示t+1世代种群的大小,‎ 则N0=10;N1=10×2=20;N2=20×2=40;N3=40×2=80;N4=80×2=160;….‎ 由上述过程归纳成最简单的种群增长模型,由下式表示:Nt+1=R0·Nt,其中R0‎ 为世代净繁殖率.‎ 如果种群的R0速率年复一年地增长,则 N1=R0N0,‎ N2=R0N1=RN0,‎ N3=R0N2=RN0,‎ ‎…‎ Nt=RN0.‎ R0是种群离散增长模型的重要参数,如果R0>1,种群上升;R0=1,种群稳定;0<R0<1,种群下降;R0=0,雌体没有繁殖,种群在一代中死亡.思路2‎ 例3 一工厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100时,每多订购1个,订购的全部零件的单价就降低0.02元,但最低出厂单价不低于51元.‎ ‎(1)一次订购量为多少个时,零件的实际出厂价恰为51元?‎ ‎(2)设一次订购量为x个时,零件的实际出厂价为p元,写出p=f(x).‎ ‎(3)当销售商一次订购量分别为500,1 000个时,该工厂的利润分别为多少?‎ ‎(一个零件的利润=实际出厂价-成本)‎ 解:(1)设一次订购量为a个时,零件的实际出厂价恰好为51元,则a=100+=550个.‎ ‎(2)p=f(x)= ‎(3)当销售商一次订购量为x个时,该工厂的利润为y,则y=(p-40)x=其中x∈N+,故当x=500时,y=6 000;当x=1 000时,y=11 000.‎ 点评:方程中的未知数设出来后可以参与运算,函数解析式为含x,y的等式.‎ 例4 甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的信息,分别得到甲、乙两图:‎ 图4‎ 甲调查表明:每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只.‎ 乙调查表明:全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个.‎ 请你根据提供的信息说明:‎ ‎(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数.‎ ‎(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第1年扩大了还是缩小了?请说明理由.‎ ‎(3)哪一年的规模(即总产量)最大?请说明理由.‎ 活动:观察函数图像,学生先思考或讨论后再回答,教师点拨、提示:‎ 先观察图像得出相关数据,利用数据找出函数模型.‎ 解:由题意可知,甲图像经过(1,1)和(6,2)两点,‎ 从而求得其解析式为y甲=0.2x+0.8,‎ 乙图像经过(1,30)和(6,10)两点,‎ 从而求得其解析式为y乙=-4x+34.‎ ‎(1)当x=2时,y甲=0.2×2+0.8=1.2,y乙=-4×2+34=26,y甲·y乙=1.2×26=31.2.‎ 所以第2年鱼池有26个,全县出产的鳗鱼总数为31.2万只.‎ ‎(2)第1年出产鳗鱼1×30=30(万只),第6年出产鳗鱼2×10=20(万只),可见,第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了.‎ ‎(3)设当第m年时的规模总产量为n,‎ 那么n=y甲·y乙=(‎0.2m+0.8)(-‎4m+34)=-‎0.8m2‎+‎3.6m+27.2‎ ‎=-0.8(m2-‎4.5m-34)=-0.8(m-2.25)2+31.25.因此,当m=2时,nmax=31.2,‎ 即第2年时,鳗鱼养殖业的规模最大,最大产量为31.2万只.‎ 某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图5(1)的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图5(2)的抛物线段表示.‎ ‎(1)写出图5(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t);‎ 写出图5(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t);‎ ‎(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?‎ ‎    ‎ ‎(1)           (2)‎ 图5‎ ‎(注:市场售价和种植成本的单位:元/‎102 kg,时间单位:天)‎ 活动:学生在黑板上书写解答.教师在学生中巡视其他学生的解答,发现问题及时纠正.‎ 解:(1)由图5(1)可得市场售价与时间的函数关系式为f(t)= 由图5(2)可得种植成本与时间的函数关系式为g(t)=(t-150)2+100,0≤t≤300.‎ ‎(2)设t时刻的纯收益为h(t),则由题意得h(t)=f(t)-g(t),‎ 即h(t)= 当0≤t≤200时,配方整理,得h(t)=-(t-50)2+100,‎ 所以当t=50时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值100;‎ 当200<t≤300时,配方整理,得h(t)=-(t-350)2+100,‎ 所以当t=300时,h(t)取得区间[200,300]上的最大值87.5.‎ 综上,由100>87.5可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100,此时t=50,即从二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大.‎ 点评:本题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题,考查运用所学知识解决实际问题的能力.‎ 探究内容 ‎①在函数应用中如何利用图像求解析式.‎ ‎②分段函数解析式的求法.‎ ‎③函数应用中的最大值、最小值问题.‎ 举例探究:(2007山东省青岛高三教学质量检测,理21)某跨国公司是专门生产健身产品的企业,第一批产品A上市销售40天内全部售完,该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行调研,结果如图6(1)、(2)、(3)所示.其中图6(1)的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系;图6(2)的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系;图6(3)的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系.‎ 图6‎ ‎(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)、国内市场的日销售量g(t)与第一批产品A上市时间t的关系式;‎ ‎(2)第一批产品A上市后的哪几天,这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6 300万元?‎ 分析:1.利用图像求解析式,先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式.‎ ‎2.在t∈[0,40]上,有几个分界点,请同学们思考应分为几段.‎ ‎3.回忆函数最值的求法.‎ 解:(1)f(t)=g(t)=-t2+6t(0≤t≤40).‎ ‎(2)每件A产品销售利润h(t)= 该公司的日销售利润F(t)= 当0≤t≤20时,F(t)=3t,先判断其单调性.‎ 设0≤t1<t2≤20,则F(t1)-F(t2)=3t1-3t2 ‎=-(t1+t2)(t1-t2)2.‎ ‎∴F(t)在[0,20]上为增函数.‎ ‎∴F(t)max=F(20)=6 000<6 300.‎ 当20<t≤30时,令60>6 300,‎ 则<t<30;‎ 当30<t≤40时,F(t)=60<60=6 300.‎ 故在第24,25,26,27,28,29天日销售利润超过6 300万元.‎ 点评:1.利用图像求解析式,先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式,重点是找出关键点.‎ ‎2.在t∈[0,40]上,有几个分界点,t=20,t=30两点把区间分为三段.‎ ‎3.二次函数的最值可用配方法,另外利用单调性求最值也是常用方法之一.‎ 本节学习了:①指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.②幂函数、指数函数、对数函数的应用.‎ 习题3—6 1,2.‎ 本节设计从精彩的故事开始,让学生从故事中体会数学带来的震撼,然后借助计算机感受不同函数模型的巨大差异.接着通过最新题型训练学生利用函数模型解决实际问题的能力;并且重点训练了由图像转化为函数解析式的能力,因为这是高考的一个重点.本节的每个例题都很精彩,可灵活选用.‎ ‎[备选例题]‎ 某西部山区的某种特产由于运输的原因,长期只能在当地销售,当地政府对该项特产的销售投资收益为:每年投入x万元,可获得利润P=-(x-40)2+100万元.当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售,其规划方案为:在规划后对该项目每年都投入60万元的销售投资,在未来10年的前5年中,每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路,5年修成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的5年中,该特产既在本地销售,也在外地销售,在外地销售的投资收益为:每年投入x万元,可获利润Q=-(60-x)2+(60-x)万元.问从10年的累积利润看,该规划方案是否可行?‎ 解:在实施规划前,由题设P=-(x-40)2+100(万元),知每年只需投入40万,即可获得最大利润100万元.‎ 则10年的总利润为W1=100×10=1 000(万元).‎ 实施规划后的前5年中,由题设P=-(x-40)2+100,知每年投入30万元时,有最大利润Pmax=(万元).前5年的利润和为×5=(万元).‎ 设在公路通车的后5年中,每年用x万元投资于本地的销售,而用剩下的(60-x)万元用于外地区的销售投资,则其总利润为 W2=×5+×5=-5(x-30)2+4 950.‎ 当x=30时,(W2)max=4 950(万元).‎ 从而10年的总利润为+4 950(万元).‎ ‎∵+4 950>1 000,∴该规划方案有极大实施价值.‎ ‎(设计者:邓新国)‎

资料: 29.3万

进入主页

人气:

10000+的老师在这里下载备课资料