2020-2021学年吉林省辽源市田家炳高级中学校高二上学期期中考试数学试题（理）（解析版）

1 辽源田家炳高中 2020-2021 学年度上学期期中考试试卷 高二数学（理） 一、 选择题 （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．p：点 P 在直线 y＝2x－3 上，q：点 P 在抛物线 y＝－x2 上，下面使“p∧q”为真命题的一 个点 P(x，y)是( ) A．(0，－3) B．(1,2) C．(1，－1) D．(－1,1) 2．已知 F1(－8,3)，F2(2,3)，动点 P 满足|PF1|－|PF2|＝10，则 P 点的轨迹是( ) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线 3.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得 n≥x2”的否定形式是( ) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得 n＜x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得 n＜x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得 n＜x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得 n＜x2 4．若点 P 到直线 x＝－1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1，则点 P 的轨迹为( ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 5．已知 m，n∈R，则“m·n＜0”是“方程x2 m ＋y2 n ＝1 表示双曲线”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知椭圆x2 a2 ＋y2 2 ＝1 的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( ) A.x2 4 ＋y2 2 ＝1 B.x2 3 ＋y2 2 ＝1 C．x2＋y2 2 ＝1 D.x2 6 ＋y2 2 ＝1 7．与椭圆x2 4 ＋y2＝1 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是( ) A.x2 4 －y2＝1 B.x2 2 －y2＝1 C.x2 3 －y2 3 ＝1 D．x2－y2 2 ＝1 8．已知△ABC 的顶点 B，C 在椭圆x2 3 ＋y2＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一 个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是( ) A．2 3 B．6 C．4 3 D．12 9.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.1 2 B. 3 2 C. 3 4 D. 6 4 10．已知点 P(8，a)在抛物线 y2＝4px 上，且点 P 到焦点的距离为 10，则焦点到准线的距离为 ( ) A．2 B．4 C．8 D．16 11．已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的焦距为 2 5，且双曲线的一条渐近线与直线 2x＋y＝0 2 垂直，则双曲线的方程为( ) A.x2 4 －y2＝1 B．x2－y2 4 ＝1 C.3x2 20 －3y2 5 ＝1 D.3x2 5 －3y2 20 ＝1 12．已知过抛物线 y2＝6x 焦点的弦长为 12，则此弦所在直线的倾斜角是( ) A.π 6 或5π 6 B.π 4 或3π 4 C.π 3 或2π 3 D.π 2 二、 填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分 ，共 20 分） 13 已知椭圆 x2 10－m ＋ y2 m－2 ＝1 的焦点在 y 轴上，若焦距为 4，则 m 等于________． 14．若双曲线x2 m －y2 3 ＝1 的右焦点与抛物线 y2＝12x 的焦点重合，则 m＝________. 15 已知动圆 M 过定点 A(－3,0)，并且内切于定圆 B：(x－3)2＋y2＝64，则动圆圆心 M 的轨迹 方程． 16. 已知抛物线 y2＝2x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A(3,2)，则|PA| ＋|PF|的最小值为 三、 解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17. (本小题满分 12 分)求椭圆 4x2＋9y2＝36 的长轴长、短轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和 离心率． 18.(本小题满分 12 分)求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心 率和渐近线方程． 19.(本小题满分 12 分)求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点 M(－6,6)； (2)焦点 F 在直线 l：3x－2y－6＝0 上． 20．(本小题满分 12 分)已知双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 3，且a2 c ＝ 3 3 . (1)求双曲线 C 的方程； (2)已知直线 x－y＋m＝0 与双曲线 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中点在圆 x2＋y2＝5 上，求 m 的值． 21．(本小题满分 12 分)已知椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的离心率 e＝ 6 3 ，过点 A(0，－b)和 B(a,0) 的直线与原点的距离为 3 2 . (1)求椭圆的方程． (2)已知定点 E(－1,0)，若直线 y＝kx＋2(k≠0)与椭圆交于 C，D 两点，问：是否存在 k 的值， 3 使以 CD 为直径的圆过 E 点，请说明理由． 22.(本小题满分 10 分)已知椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为 2 2 .直线 y＝k(x－1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N. (1)求椭圆 C 的方程； (2)当△AMN 的面积为 10 3 时，求 k 的值． 4 1．p：点 P 在直线 y＝2x－3 上，q：点 P 在抛物线 y＝－x2 上，下面使“p∧q”为真命题的一 个点 P(x，y)是( ) A．(0，－3) B．(1,2) C．(1，－1) D．(－1,1) 解析：选 C 使“p∧q”为真命题的点即为直线 y＝2x－3 与抛物线 y＝－x2 的交点． 2．已知 F1(－8,3)，F2(2,3)，动点 P 满足|PF1|－|PF2|＝10，则 P 点的轨迹是( ) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线 解析：选 D F1，F2 是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10 的点 P 的轨迹应为一 条射线． 3 (浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得 n≥x2”的否定形式是( ) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得 n＜x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得 n＜x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得 n＜x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得 n＜x2 [解析] 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x∈R， ∃n∈N*，使得 n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得 n＜x2”． [答案] D 4．若点 P 到直线 x＝－1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1，则点 P 的轨迹为( ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析：选 D 由题意得点 P 到直线 x＝－2 的距离与它到点(2,0)的距离相等，因此点 P 的轨迹是 抛物线． 5．已知 m，n∈R，则“m·n＜0”是“方程 x2 m ＋ y2 n ＝1 表示双曲线”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 C 若方程 x2 m ＋ y2 n ＝1 表示双曲线，则必有 m·n＜0；当 m·n＜0 时，方程 x2 m ＋ y2 n ＝1 表 示双曲线．所以“m·n＜0”是“方程 x2 m ＋ y2 n ＝1 表示双曲线”的充要条件． 6．已知椭圆 x2 a2＋ y2 2 ＝1 的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( ) A. x2 4 ＋ y2 2 ＝1 B. x2 3 ＋ y2 2 ＝1 C．x2＋ y2 2 ＝1 D. x2 6 ＋ y2 2 ＝1 解析：选 D 由题意知，椭圆焦点在 x 轴上，且 c＝2，∴a2＝2＋4＝6， 因此椭圆方程为 x2 6 ＋ y2 2 ＝1，故选 D. 7．与椭圆 x2 4 ＋y2＝1 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是( ) A. x2 4 －y2＝1 B. x2 2 －y2＝1 C. x2 3 － y2 3 ＝1 D．x2－ y2 2 ＝1 解析：选 B 法一：椭圆 x2 4 ＋y2＝1 的焦点坐标是(±，0)．设双曲线方程为 x2 a2－ y2 b2＝1(a>0，b>0)， 5 因为双曲线过点 P(2,1)，所以 4 a2－ 1 b2＝1，又 a2＋b2＝3，解得 a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是 x2 2 －y2＝1. 法二：设所求双曲线方程为 x2 4－λ＋ y2 1－λ＝1(10)，且焦点分别是 A(－3,0)，B(3,0)，且 2a＝8， ∴a＝4，c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7. ∴所求动圆圆心 M 的轨迹方程是 x2 16＋ y2 7 ＝ 1. 16. 已知抛物线 y2＝2x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A(3,2)， 则|PA|＋|PF|的最小值为 [解] 如图，作 PN⊥l 于 N(l 为准线)，作 AB⊥l 于 B， 则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|， 7 当且仅当 P 为 AB 与抛物线的交点时，取等号． ∴(|PA|＋|PF|)min ＝|AB|＝3＋ 1 2＝ 7 2. 此时 yP＝2，代入抛物线得 xP＝2， ∴P 点坐标为(2,2)． 17. (本小题满分 12 分)求椭圆 4x2＋9y2＝36 的长轴长、短轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和 离心率． [解] 椭圆方程变形为 x2 9 ＋ y2 4 ＝1， ∴a＝3，b＝2， ∴c＝ ＝＝. ∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a＝6,2c＝2， 焦点坐标为 F1(－，0)，F2(，0)， 顶点坐标为 A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)， 离心率 e＝ c a＝ 5 3. 18.(本小题满分 12 分)求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心 率和渐近线方程． [解] 双曲线的方程化为标准形式是 x2 9 － y2 4 ＝1， ∴a2＝9，b2＝4， ∴a＝3，b＝2，c＝. 又双曲线的焦点在 x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－，0)，(，0)， 实轴长 2a＝6，虚轴长 2b＝4， 离心率 e＝ c a＝ 13 3 ， 渐近线方程为 y＝± 2 3x. 19.(本小题满分 12 分)求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点 M(－6,6)； (2)焦点 F 在直线 l：3x－2y－6＝0 上． [解] (1)由于点 M(－6,6)在第二象限， ∴过 M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在 x 轴上， 8 设其方程为 y2＝－2px(p＞0)， 将点 M(－6,6)代入，可得 36＝－2p×(－6)， ∴p＝3.∴抛物线的方程为 y2＝－6x. 若抛物线开口向上，焦点在 y 轴上， 设其方程为 x2＝2py(p＞0)， 将点 M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3， ∴抛物线的方程为 x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为 y2＝－6x 或 x2＝6y. (2)①∵直线 l 与 x 轴的交点为(2,0)， ∴抛物线的焦点是 F(2,0)， ∴ p 2＝2，∴p＝4， ∴抛物线的标准方程是 y2＝8x. ②∵直线 l 与 y 轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是 F(0，－3)， ∴ p 2＝3，∴p＝6， ∴抛物线的标准方程是 x2＝－12y. 综上所述，所求抛物线的标准方程是 y2＝8x 或 x2＝－12y. 20．(本小题满分 12 分)已知双曲线 C： x2 a2－ y2 b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，且 a2 c ＝ 3 3. (1)求双曲线 C 的方程； (2)已知直线 x－y＋m＝0 与双曲线 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中点在圆 x2＋y2＝5 上，求 m 的值． 解：(1)由题意得 c ，解得 a＝1， . 所以 b2＝c2－a2＝2. 所以双曲线 C 的方程为 x2－ y2 2 ＝1. (2)设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 AB 的中点为 M(x0，y0)． 由 y2 ＝1， 得 x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ＞0)． 所以 x0＝ x1＋x2 2 ＝m，y0＝x0＋m＝2m. 因为点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＝5 上， 所以 m2＋(2m)2＝5. 9 故 m＝±1. 21．(本小题满分 12 分)已知椭圆 x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)的离心率 e＝ 6 3，过点 A(0，－b)和 B(a,0) 的直线与原点的距离为 3 2. (1)求椭圆的方程． (2)已知定点 E(－1,0)，若直线 y＝kx＋2(k≠0)与椭圆交于 C，D 两点，问：是否存在 k 的值， 使以 CD 为直径的圆过 E 点，请说明理由． 解：(1)直线 AB 方程为：bx－ay－ab＝0. 依题意 3 解得 3， b＝1. ∴椭圆方程为 x2 3 ＋y2＝1. (2)假若存在这样的 k 值，由 y＝kx＋2， x2＋3y2－3＝0，得 (1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0. ∴Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)＞0.① 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)， 则 9 .② 而 y1·y2＝(kx1＋2)(kx2＋2) ＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4. 要使以 CD 为直径的圆过点 E(－1,0)，当且仅当 CE⊥DE 时，则 y1 x1＋1· y2 x2＋1＝－1， 即 y1y2＋(x1＋1)(x2＋1)＝0. ∴(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0.③ 将②式代入③整理解得 k＝ 7 6.经验证 k＝ 7 6使①成立．综上可知，存在 k＝ 7 6，使以 CD 为直径的 圆过点 E. 22.(本小题满分 10 分)已知椭圆 C： x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为 2 2.直线 y ＝k(x－1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N. (1)求椭圆 C 的方程； (2)当△AMN 的面积为 10 3 时，求 k 的值． [解题流程] 10 6．椭圆 x2 m ＋ y2 4 ＝1 的焦距是 2，则 m 的值是________． 解析：当椭圆的焦点在 x 轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又∵2c＝2，∴c＝1. ∴m－4＝1，m＝5. 当椭圆的焦点在 y 轴上时，a2＝4，b2＝m， ∴c2＝4－m＝1， ∴m＝3. 答案：3 或 5 椭圆 x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)的离心率为 3 2，且椭圆与直线 x＋2y＋8＝0 相交于 P，Q，且|PQ|＝，求 椭圆的方程． 11 解：∵e＝ 3 2，∴b2＝ 1 4a2. ∴椭圆的方程为 x2＋4y2＝a2. 与 x＋2y＋8＝0 联立消去 y， 得 2x2＋16x＋64－a2＝0， 由Δ＞0，得 a2＞32， 由弦长公式得 10＝ 5 4×[64－2(64－a2)]． ∴a2＝36，b2＝9.∴椭圆的方程为 x2 36＋ y2 9 ＝1. [例 3] 已知点 P(4,2)是直线 l 被椭圆 x2 36＋ y2 9 ＝1 所截得的线段的中点，求直线 l 的方程． [解] 法一：由题意可设直线 l 的方程为 y－2＝k(x－4)， 而椭圆的方程可以化为 x2＋4y2－36＝0. 将直线方程代入椭圆的方程有 (4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0. ∴x1＋x2＝ 8k(4k－2) 4k2＋1 ＝8， ∴k＝－ 1 2. ∴直线 l 的方程为 y－2＝－ 1 2(x－4)， 即 x＋2y－8＝0. 法二：设直线 l 与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴ 2 －36＝0.两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. 又 x1＋x2＝8，y1＋y2＝4， ∴ y1－y2 x1－x2＝－ 1 2， 即 k＝－ 1 2. ∴直线 l 的方程为 x＋2y－8＝0. [例 3] 已知 P 为椭圆 x2 12＋ y2 3 ＝1 上一点，F1，F2 是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2 的 面积． [解] 在△PF1F2 中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即 36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.① 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4， 即 48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.② 由①②得|PF1|·|PF2|＝4. 12 ∴S ＝ 1 2|PF1|·|PF2|·sin 60°＝. [例 3] 在抛物线 y2＝2x 上求一点 P，使 P 到直线 x－y＋3＝0 的距离最短，并求出距离的最小 值． [解] 法一：设 P(x0，y0)是 y2＝2x 上任一点， 则点 P 到直线 l 的距离 d＝ |x0－y0＋3| 2 ＝ ＝ |(y0－1)2＋5| 2 ， 当 y0＝1 时，dmin＝ 2 4， ∴P 1 ，1. 法二：设与抛物线相切且与直线 x－y＋3＝0 平行的直线方程为 x－y＋m＝0， 由 x－y＋m＝0， y2＝2x， 得 y2－2y＋2m＝0， ∵Δ＝(－2)2－4×2m＝0， ∴m＝ 1 2. ∴平行直线的方程为 x－y＋ 1 2＝0， 此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则 dmin＝ ＝ 2 4，此时点 P 的坐标为 1 ，1. 2．直线 y＝x＋1 被椭圆 x2 4 ＋ y2 2 ＝1 所截得的弦的中点坐标是( ) A. 5 3 B. 7 3 C. 1 3 D. 17 2 解析：选 C 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线与椭圆的交点，中点 M(x0，y0)， 由 y2 ＝1，得 3x2＋4x－2＝0. x0＝ x1＋x2 2 ＝ 1 2· 4 3＝－ 2 3， y0＝x0＋1＝ 1 3，∴中点坐标为 1 3.