2020-2021学年吉林省高二上学期第二学程考试数学（理）试题 Word版

1 2020-2021 学年高二上学期第二学程考试 数学(理)试卷 答题时间：90 分钟 满分：150 分 一 、选择题： 每题 5 分，共 60 分。 1.直线3 3 1 0x y   的斜率是 （ ） A. B. — C. D. 2.设l 为直线, ,  是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （ ） A．若 //l  , //l  ,则 //  B．若 l  ,l  ,则 //  C．若l  , //l  ,则 //  D．若  , //l  ,则l  3． 的圆心坐标为 （ ） A．（-1,2） B．（-1，-2） C． （1，-2） D． （1,2） 4 .已知椭圆 2 2 2 125 x y m   （ 0m  ）的左焦点为  1F 4,0 ，则 m  （ ） A 9 B．4 C．3 D．2 5．已知直线 l1：ax＋2y＋6＝0 和直线 l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0 平行, 则 a 的值为（ ） A．2 B． -1 C．2 或 -1 D．- 2 或 1 6.圆锥的表面积为 12π，母线长为 4，则该圆锥半径为 （ ） A．2 B．3 C．1 D． 7. 直线 3x-4y-4=0 被圆(x-3)2+y2=9 截得的弦长为 （ ） A. 22 B. 4 C. 24 D. 2 8．已知椭圆 C 的短轴长为 6，离心率为4 5 ，则椭圆 C 的焦点 F 到长轴的一个端点的距离为（ ） 2 A．9 B．1 C．1 或 9 D．以上都不对 9.圆 2 2 1 : 2 8 8 0C x y x y     与圆 2 2 2 : 4 4 1 0C x y x y     的位置关系是（ ） A. 内含 B. 外离 C. 外切 D. 相交 10. 直线 l:x-2y-5=0 过双曲线 - =1(a>0,b>0)的一个焦点且与其一条渐近线平行,则双曲 线的方程为( ). A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 11. 如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 P 是 1CD 上的动点， E F G， ， 分别是 1 1 1 1 1B C CC C D， ， 的中点，则下列说法正确的是( ) A. AP  平面 EFG B. //AP 平面 EFG C. AP 与平面 EFG 所成的角最小时正切值为 2 D. AP 与平面 EFG 所成的角最大为 60° 12.设 1F ， 2F 分别是椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左右焦点，点 P 在椭圆C 上，且 21 3PF PF ，若线段 1PF 的中点恰在 y 轴上，则椭圆的离心率为（ ） A． 3 3 B． 3 6 C． 2 2 D． 1 2 二、填空题： 每题 5 分共 20 分 13. 点 A(1,2)与点 B（4，-1）间的距离为 3 14. 双曲线 的渐近线方程为等于____________. 15． 若圆 x2＋y2＝1 与直线 y＝kx＋2 没有公共点，则实数 k 的取值范围为__________． 16. 在球面上有四个点 P 、 A 、 B 、C .如果 PA 、 PB 、 PC 两两互相垂直，且 aPCPBPA  ,那么这个球的表面积是______. 三、解答题 ：每题 13 分共 65 分 17．（13 分）第一问 4 分，第二问 4 分，第三问 5 分。 已知 ABC 中，  2, 1A  ，  4,3B ，  3, 2C  . (1) 求直线 AB 的方程。 （2）求 BC 边上的高所在直线的方程； （3）求 ABC 的面积. 18．（13 分）第一问 6 分，第二问 7 分 已知点 A(1，a)，圆 x2＋y2＝4. (1)若过点 A 的圆的切线只有一条，求 a 的值及切线方程； (2)若过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求 a 的值及切线方程． 19. （13 分）第一问 6 分，第二问 7 分 如图，在四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，侧棱 A1A⊥底面 ABCD，AB∥DC，AB⊥ AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E 为棱 AA1 的中点． (1)证明 B1C1⊥CE；(2)求二面角 B1－CE－C1 的正弦值； 4 20．（13 分）第一问 6 分，第二问 7 分 已知椭圆 14 22  yx 及直线 mxy  ． （1）当 m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为 5 102 ，求直线的方程． 21. （13 分）第一问 6 分，第二问 7 分 如图，在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 是等边三角形，且平 面 PAD  平面 ABCD ，E 为 PD 的中点， //AD BC ,CD AD ， 2 4BC CD AD  ， . （Ⅰ）求证： //CE 平面 PAB ； （Ⅱ）求二面角 E AC D  的余弦值； 四、延展题 ：5 分 己知椭圆 E ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     ，直线l 过焦点且倾斜角为 4  ，以椭圆的长轴为直径 的圆截l 所得的弦长等于椭圆的焦距，求椭圆的离心率。 5 2020-2021 学年上学期第二学程考试 高二数学(理)试卷答案 一 选择题：每题 5 分，共 60 分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B C C B A C C D A C C 二．填空题：每题 5 分共 20 分 13. 14. [] 15. （— ） 16. 三、解答题 ：每题 13 分共 65 分 17．（13 分）第一问 4 分，第二问 4 分，第三问 5 分。 解：(1) = 2 ,y -（-1）=2（x-2） 。所以 AB 直线方程 ：2x–y -5 = 0 (2)因为 BCk ＝5，所以 BC 边上的高 AD 所在直线斜率 k ＝－ 1 5 ． 所以 AD 所在直线方程为  11 25y x    ．即 5 3 0x y   ． (3) BC 的直线方程为：    3 22 34 3y x     ． 6 点 A 到 直 线 BC 的 距 离 为    22 2 5 1 17 6 265 1        ．    2 2| |= 3 4 2 3 26BC      ， ABC 的面积为 3. 18．（13 分）第一问 6 分，第二问 7 分 19. （13 分）第一问 6 分，第二问 7 分 解 如图，以点 A 为原点以 AD，AA1，AB 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间 直角坐标系，依题意得 A(0,0,0)，B(0，0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1，2,1)，E(0,1,0)． (1)证明：易得B1C1 → ＝(1,0，－1)，CE → ＝(－1，1，－1)，于是B1C1 → ·CE → ＝－1×1＋0 ＋(－1)2＝0，∴B1C1 → ⊥CE → ，故 B1C1⊥CE. (2)解：B1C → ＝(1，－2，－1)．设平面 B1CE 的法向量 m＝(x，y，z)，则 m·B1C → ＝0， m·CE → ＝0， 7 即 x－2y－z＝0， －x＋y－z＝0. 消去 x，得 y＋2z＝0，不妨令 z＝1，可得一个法向量为 m＝(－3，－2,1)．由(1)知，B1C1⊥CE，又 CC1⊥B1C1，从而 B1C1⊥平面 CEC1. 故B1C1 → ＝(1,0，－1)为平面 CEC1 的一个法向量． 于是 cos＝ m·B1C1 → |m|·|B1C1 → | ＝ －4 14× 2 ＝－2 7 7 ， 从而 sin＝ 21 7 ， 所以二面角 B1－CE－C1 的正弦值为 21 7 . 20．（13 分）第一问 6 分，第二问 7 分 21. （13 分）第一问 6 分，第二问 7 分 解：（Ⅰ）如图，取 PA中点 F ，连结 ,EF BF . 因为 E 为 PD 中点， 4AD  ，所以 //EF AD ， 1 22EF AD  . 又因为 //BC AD ， 2BC  ，所以 //EF BC ， =EF BC ， 所以四边形 EFBC 为平行四边形.所以 //CE BF .又因为 CE  平面 PAB , BF  平面 PAB ，所以 //CE 平面 PAB . （Ⅱ）取 AD 中点O ，连结OP ，OB .因为△PAD 为等边三角形，所以 PO OD . 又因为平面 PAD  平面 ABCD ，平面 PAD  平面 ABCD  AD ， 所以 PO  平面 ABCD .因为 / /OD BC ， 2OD BC  ， 所以四边形 BCDO 为平行四边形.因为CD AD ，所以OB OD . 8 如图建立空间直角坐标系O xyz ， 则 (0, 2,0), (2,0,0), (2,2,0), (0,1, 3), (0,0,2 3)A B C E P . 所以 (2,4,0), (0,3, 3)AC AE   . 设平面 ACE 的一个法向量为 1 ( , , )x y zn ， 则 1 1 0, 0, AC AE        n n 即 2 4 0, 3 3 0. x y y z     令 2x   ，则 1 ( 2,1, 3)  n . 显然，平面 ACD 的一个法向量为 2 (0,0,1)n ， 所以 1 2 1 2 1 2 3 6cos , 42 2      n nn n n n . 由题知，二面角 E AC D  为锐角， 所以二面角 E AC D  的余弦值为 6 4 .………10 分 四、延展题 ：5 分 6 3 P E D y C x B A