2020-2021学年安徽省定远县育才学校高二上学期第二次月考数学（理）试题 Word版

1 定远县育才学校 2020-2021 学年高二上学期第二次月 考理科数学 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知 :p Rx  ， 2 1 0mx   ， :q Rx  ， 2 1 0x mx   ，若 p q 为假命题， 则实数 m 的取值范围为（ ） A. 2m  B. 2m   C. 2m   或 2m  D. 2 2m   2.若动点 ),(),( 2211 yxByxA 、 分别在直线 1l ： 011  yx 和 2l ： 01 yx 上移动， 则 AB 中点 M 所在直线方程为 A． 06  yx B． 06  yx C． 06  yx D． 06  yx 3.已知 、  是两个不同的平面， m 、 n 是两条不同的直线，下列命题中不．正确的是 （ ） A. 若 m ∥ n ， m  ，则 n  B. 若 m ∥ ， n   ，则 m ∥ n C. 若 m  ， m  ，则 ∥  D. 若 / / , / / ,m n m   ，则 n  4.平面内动点 P 到两点 ,A B 距离之比为常数 ( 0, 1)    ，则动点 P 的轨迹叫做阿波罗 尼斯圆，若已知  2,0A  ，  2,0B ， 1 2   ，则此阿波尼斯圆的方程为（ ） A. 2 2 12 4 0x y x    B. 2 2 12 4 0x y x    C. 2 2 20 4 03x y x    D. 2 2 20+ 4 03x y x   5.在四棱锥 P ABCD 中， PA  平面 ABCD ，底面 ABCD 为矩形， AB PA ．若 BC 边上有且只有一个点Q ，使得 PQ QD ，求此时二面角 A PD Q  的余弦值（ ） A. 3 3 B. 30 6 C. 6 6 D. 2 6 6.已知命题 :p x R  ， 2 1 0x x   ，则（ ） A. :p x R   ， 2 1 0x x   B. :p x R   ， 2 1 0x x   C. :p x R   ， 2 1 0x x   D. :p x R   ， 2 1 0x x   7. 已 知 点 ( , )P x y 是 直 线 4 0( 0)kx y k    上 一 动 点 ， ,PA PB 是 圆 2 2: 2 0C x y y   的两条切线， ,A B 是切点.若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的 值为（ ） A. 2 B. 21 2 C. 2 2 D.2 2 8.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 9.在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E 是棱 1CC 的中点， F 是侧面 1 1BCC B 内 （包括边）的动点，且 1A F  平面 1D AE ，沿 1A F 运动，将 1B 点所在的几何体削去，则剩 余几何体的体积为（ ） A. 3 4 B. 23 24 C. 7 8 D. 11 12 10.设椭圆C 的两个焦点是 1F 、 2F ，过 1F 的直线与椭圆C 交于 P 、Q ，若 2 1 2PF F F ， 且 1 15 6PF FQ ，则椭圆的离心率为（ ） A. 5 3 B. 7 13 C. 2 6 13 D. 9 11 11.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为  1,0F ，离心率等于 1 2 ，则C 的方程是 A. 2 2 13 4 x y  B. 2 2 14 3 x y  C. 2 2 14 2 x y  D. 2 2 14 3 x y  12.如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E 为 BC 的中点，点 P 在线段 1D E 上，则点 P 到直线 1CC 的距离的最小值为（ ）． 3 A. 4 5 B. 1 2 C. 5 3 D. 2 55 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.命题“若 或 ，则 ”的否命题为__________． 14.以 F1、F2 为焦点作椭圆，椭圆上一点 P1 到 F1、F2 的距离之和为 10，椭圆上另一点 P2 满 足 P2F1＝P2F2，则 P2F1＝________. 15.已知平面 / / 平面  ， P  且 P  ，试过点 P 的直线 m 与 ，  分别交于 A ， C ，过点 P 的直线 n 与 ，  分别交于 B D， 且 6PA  ， 9AC  ， 8PD  ，则 BD 的长为___________. 16.已知直线 1 : 0l ax y a   ，  2 : 2 3 0l a x ay a    互相平行，则 a __________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. （ 10 分 ） 已 知 命 题 0:p x R  ， 使 得 2 0 02 1 0ax x   成 立 ； 命 题 q ： 方 程  2 3 0x a x a    有两个不相等正实根； （1）若命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围； （2）若命题“ p 或 q ”为真命题，且“ p 且 q ”为假命题，求实数 a 的取值范围. 18.（12 分）已知 A，B 分别是直线 y＝x 和 y＝－x 上的两个动点，线段 AB 的长为 2 3 ，D 是 AB 的中点． （1）求动点 D 的轨迹 C 的方程； （2）若过点(1,0)的直线 l 与曲线 C 交于不同两点 P、Q，当|PQ|＝3 时，求直线 l 的方 程。 19.（12 分）如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ,且 , 是棱 的中点，点 在侧棱 上运动. （1）当 是棱 的中点时，求证： 平面 ； （2）当直线 与平面 所成的角的正切值为 时，求二面角 的余弦值. 20.（12 分）已知圆C 过  2,6P ，  2,2Q  两点，且圆心C 在直线3 0x y  上. （1）求圆C 的方程； （2）若直线l 过点  0,5P 且被圆C 截得的线段长为 4 3 ，求l 的方程. 4 21.（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中， ABCD 是正方形， PD  平面 ABCD ． 2PD AB  ， E ， F ， G 分别是 PC ， PD ， BC 的中点． （1）求证：平面 PAB  平面 EFG ． （2）在线段 PB 上确定一点Q ，使 PC  平面 ADQ ，并给出证明． 22.（12 分）已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)y a a ba b     过点 3 , 32       ，离心率为 1 2 . （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的上顶点作直线 交抛物线 2 2x y 于 ,A B 两点， O 为原点. ①求证： OA OB ； ②设 OA、 OB 分别与椭圆相交于 C 、 D 两点，过原点O 作直线CD 的垂线OH ，垂足为 H ，证明: OH 为定值. 5 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D B D A C D B B D D D 13.若 或 ，则 14.5 15. 24 5 或 24 16. 3 17.(1) 1a   ；(2) 1 0a   或 1a  . 解析： （1） :p x R   ， 2 2 1 0ax x   不恒成立. 由 0{ 0 a    得 1a   . （2）设方程  2 3 0x a x a    两个不相等正实根为 1 2x x、 命题q 为真 1 2 1 2 0 { 0 0 1 0 x x a x x          由命题“ p 或q ”为真，且“ p 且q ”为假，得命题 p q、 一真一假 ①当 p 真q 假时，则 1{ 0 0 1 a a    或 得 1 0a   或 1a  ②当 p 假q 真时，则 1{ 0 1 a a     无解； ∴实数a 的取值范围是 1 0a   或 1a  . 18.（1）x2＋y2＝3.（2）  3 1y x   . 解析： (1)设 D(x，y)，A(a，a)，B(b，－b), ∵ D 是 AB 的中点， ∴x＝ ，y＝ ， ∵ |AB|＝2 ，∴(a－b)2＋(a＋b)2＝12， ∴(2y)2＋(2x)2＝12，∴点 D 的轨迹 C 的方程为 x2＋y2＝3. (2) ①当直线 l 与 x 轴垂直时，P(1， )，Q(1，－ )， 此时|PQ|＝2 ，不符合题意； 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)， 由于|PQ|＝3，所以圆心 C 到直线 l 的距离为 ， 由 ＝ ，解得 k＝ .故直线 l 的方程为 y＝ (x－1). 19. 解：（1）取线段 的中点 ，连结 . 6 ∵ ,∴ ，且 . 又 为 的中点，∴ ,且 . ∴ ,且 .∴四边形 是平行四边形.∴ . 又 平面 平面 ,∴ 平面 . （2）∵ 两两垂直，∴以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系 ，如图, ∵三棱柱 中， 平面 ，∴ 即为直线 与 平面 所成的角. 设 ，则由 ，得 . ∴ .∴ , 设平面 的一个法向量为 ， 则 令 ，得 ，即 .又平面 的一个法向 量为 ,∴ , 又二面角 的平面角为钝角，∴二面角 的余弦值为 . 20.（1） 2 2 4 12 24 0x y x y     ；（2） 0x  或3 4 20 0x y   解析： （ 1 ） 设 圆 的 方 程 为 2 2 0x y Dx Ey F     ， 圆 心 ,2 2 D E     ， 根 据 题 意 有 7 2 6 0 { 2 2 8 3 02 2 D E F D E F D E            ，计算得出 4 { 12 24 D E F     ， 故所求圆的方程为 2 2 4 12 24 0x y x y     . （2）如图所示， 4 3AB  ，设 D 是线段 AB 的中点， 则CD AB ， ∴ 2 3AD  ， 4AC  . 在 Rt ACD 中，可得 2CD  . 当直线l 的斜率不存在时，满足题意， 此时方程为 0x  . 当直线l 的斜率存在时，设所求直线l 的斜率为 k ，则直线l 的方程为： 5y kx  ， 即 5 0kx y   ，由点C 到直线 AB 的距离公式： 2 2 6 5 2 1 k k      ，得 3 4k  ，此时直线l 的方程为3 4 20 0x y   . ∴所求直线 l 的方程为 0x  或3 4 20 0x y   21.解析：（1）∵ PCD 中， E ， F 分别是 PC ， PD 的中点，∴ EF CD ，又∵四边 形 ABCD 为正方形，得 AB CD ，∴ EF AB ，∵ EF  平面 PAB ， AB  面 PAB ， ∴ EF  面 PAB ．同理 EG  面 PAB ，∵ EF ， EG 是面 EFG 内相交直线，∴平面 PAB  平面 EFG ． Q 为 PB 中点时， PC  面 ADQ ． （2） Q 为线段 PB 中点时， PC  平面 ADQ ，证明：取 PB 中点Q ，连接 DE ， EQ ， AQ ，∵ EQ BC AD  ，且 AD QE ，∴四边形 ADEQ 为梯形，由 PD  面 ABCD ， AD  面 ABCD ，得 AD PD ，∵ AB CD ， PD CD D  ，∴ AD  面 PDC ， 又 PC  面 PDC ，∴ AD PC ．∵ PDC 为等腰直角三角形， E 为斜边中点， ∴ DE PC ，∵ AD ， DE 是面 ADQ 内的相交直线，∴ PC  面 ADQ ． 22. 解 析 ： (1) 2 2 2 2 21c be a a    ， 所 以 ， 又 ， 解 得 ， ， 所以椭圆的方程为 （2）①证明：设 、 ，依题意，直线 一定有斜率 ， 的方程为 ， 8 联 立 方 程 消 去 得 ， ， 又 ， ， ②证明：设 、 ，直线 的方程为 ， ， ， ， 联 立 方 程 消 去 得 ， ， ， 而 由 得 ， 即 . 所以 为定值.