2020-2021学年安徽省肥东县高级中学高二上学期期中考试数学(文)试题(解析版)
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2020-2021学年安徽省肥东县高级中学高二上学期期中考试数学(文)试题(解析版)

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资料简介
1 肥东县高级中学 2020-2021 学年高二上学期期中考试 数 学(文)试题 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知直线 2 6 0x a y   与直线 2 3 2 0a x ay a    平行,则 a 的值为( ) A. 0 或 3 或 1 B. 0 或 3 C. 3 或 1 D. 0 或 1 2. A 、 B 分别是椭圆 2 2 13 x y  的左顶点和上顶点, C 是该椭圆上的动点,则点 C 到直 线 A B 的距离的最大值为( ) A. 6 3 B. 6 3 C. 6 3 2  D. 6 3 2  3.某中学高一年级从甲、乙两个班各选出 7 名学生参加国防知识竞赛,他们取得的成绩(满 分 100 分)的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是 85,乙班学生成绩的中位数是 83,则 x y 的值为( ) A. 8 B. 168 C. 9 D. 169 4.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时,假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达, 则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是( ) A. 9 16 B. 1 2 C. 7 16 2 D. 3 8 5. 21 1y x  当曲线  3 3y k x  与直线 有两个不同交点时,则 k 的取值范围为 ( ) A. 3 3 3 3,4 4       B. 3- 3 1 4 2      , C. 3- 3 1 4 2       , D. 1 3 3,2 4      6.执行如图所示的程序框图,若输入 的值为 6,则输出的值为 A. 105 B. 16 C. 15 D. 1 7. 设 椭 圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的 左 、 右 焦 点 分 别 为 1 2F F、 , 上 顶 点 为 B . 若 2 1 2BF F F =2,则该椭圆的方程为( ) A. 2 2 14 3 x y  B. 2 2 13 x y  C. 2 2 12 x y  D. 2 2 14 x y  8.如图所示,一个圆乒乓球筒,高为 20 厘米,底面半径为 2 厘米,球桶的上底和下底分别 粘有一个乒乓球,乒乓球与球筒底面及侧面均相切(球筒和乒乓球厚度均忽略不计),一个 平面与两个乒乓球均相切,且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆,则该椭圆的离心率 为( ) 3 A. B. C. D. 9.设点  ,i i iP x y 在直线 :i i i il a x b y c  上,若    1,2i i ii a b c i   ,且 1 2 2PP  恒成 立,则 1 2c c 的值 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10.下列选项中,说法正确的是( ) A. 命题“ , ”的否定是“ , ” B. 命题“ 为真”是命题“ 为真”的充分不必要条件 C. 命题“若 ,则 ”是假命题 D. 命题“在中 中,若 ,则 ”的逆否命题为真命题 11.已知直线l 为圆 2 2 4x y  在点 2, 2 处的切线,点 P 为直线l 上一动点,点Q 为圆  2 21 1x y   上一动点,则 PQ 的最小值为( ) A. 2 B. 2 12  C. 1 2 D. 2 3 1 12.设 P 是椭圆 2 2 19 4 x y  上一动点,F1,F2 分别是左、右两个焦点则 1 2cos F PF 的最小值 是( ) A. 1 2 B. 1 9 C. 1 9  D. 5 9  二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 4 13. 如 果 直 线  1 : 1 5 0l ax b y    和 直 线  2 : 1 0l a x y b    都 平 行 于 直 线 3 : 2 3 0l x y   ,则 1 2,l l 之间的距离为_______ 14.为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校 , ,A B C 的相关人员中,抽取若干人 组成研究小组,有关数据见表(单位:人) 若 从 高 校 ,B C 抽 取 的 人 中 选 2 人 作 专 题 发 言 , 则 这 2 人 都 来 自 高 校 C 的 概 率 P  __________. 15. 直 线 3 2 0x y   与 圆 2 2 4x y  相 交 于 ,A B 两 点 , 则 弦 AB 的 长 度 等 于 ___________. 16.设 F1 , F2 分别是椭圆 E:x2+ =1(0<b<1)的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A、B 两点,若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x 轴,则椭圆 E 的方程为 三、解答题(共 6 小题 ,共 70 分) 17. (12 分)已知圆 2 2: 2 0C x y x my    经过点 3, 1 . (1)若直线 : 2 0l x y t   与圆 C 相切,求 t 的值; (2)若圆    2 2 2: 6 10 ( 0)M x y r r     与圆 C 无公共点,求 r 的取值范围. 18. (10 分)已知命题 p : 2 4 5 0x x   ,命题 q : 2 22 1 0x x m    ( 0m  ). (1)若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围; (2)若 5m  , p q 为真命题, p q 为假命题,求实数 x 的取值范围. 19. (12 分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。抽奖规则如 下:1、抽奖方案有以下两种:方案 a ,从装有 1 个红球、2 个白球(仅颜色不同)的甲袋 中随机摸出 1 个球,若是红球,则获得奖金 15 元,否则,没有奖金,兑奖后将摸出的球放 回甲袋中;方案b ,从装有 2 个红、1 个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出 1 个球,若 是红球,则获得奖金 10 元,否则,没有奖金,兑奖后将摸出的球放回乙袋中。 抽奖条件是:顾客购买商品的金额满 100 元,可根据方案 a 抽奖一;满足 150 元,可根据方 案b 抽奖(例如某顾客购买商品的金额为 310 元,则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种, 根据方案 a 抽奖三次或方案b 抽奖两次或方案 ,a b 各抽奖一次)。已知顾客 A 在该商场购买 商品的金额为 250 元。 (1)若顾客 A 只选择根据方案 a 进行抽奖,求其所获奖金为 15 元的概率; 5 (2)当若顾客 A 采用每种抽奖方式的可能性都相等,求其最有可能获得的奖金数(0 元除 外)。 20. (12 分)已知直线 l 经过点  6,4P ,斜率为 k (Ⅰ)若l 的纵截距是横截距的两倍,求直线l 的方程; (Ⅱ)若 1k   ,一条光线从点  6,0M 出发,遇到直线l 反射,反射光线遇到 y 轴再次反 射回点 M ,求光线所经过的路程。 21. (12 分)某校高二 2 班学生每周用于数学学习的时间 x(单位: h )与数学成绩 y (单 位:分)之间有如表数据: x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 (Ⅰ)求线性回归方程; (Ⅱ)该班某同学每周用于数学学习的时间为 18 小时,试预测该生数学成绩. 参考数据: 17.4x  , 74.9y  , 10 2 1 3182i i x   , 10 2 1 58375i i y   , 10 1 13578i i i x y   回归直线方程参考公式: 1 2 2 1 ˆ n i ii n ii x y nxy b x nx        , ˆˆa y bx  22. (12 分)已知椭圆 C: (a>0,b>0)的离心率为 ,点 A(0,﹣2) 与椭圆右焦点 F 的连线的斜率为 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)O 为坐标原点,过点 A 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时, 求直线 l 的方程. 6 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D C C B C A B C C B C 1.D 【解析】∵直线 2 6 0x a y   与直线 2 3 2 0a x ay a    平行 ∴  21 3 2 0a a a    ,即  2 2 3 0a a a   ∴ 0a  , 1a   ,或 3a  经验证当 3a  时,两直线重合. 故选 D 2.D 【解析】由椭圆方程可得    3,0 , 0,1A B ,可得 AB 方程为 3 1 03 x y   ,即 3 3 0x y   , 设  3cos ,C sin  , 则 点 C 到 直 线 A B 的 距 离 为 3cos 3 3 1 3 sin    1 6 36 32 4 2sin         ,故选 D. 【方法点晴】本题主要考查椭圆的方程与性质及利用三角函数求最值,属于难题. 求与三角 函数有关的最值常用方法有以下几种:①化成 2sin siny a x b x c   的形式利用配方法求 最值;②形如 sin sin a x by c x d   的可化为  sinx y 的形式利用三角函数有界性求最值;③ sin cosy a x b x  型,可化为  2 2 siny a b x    求最值 .本题是利用方法③的思路解 答的. 3.C 【解析】∵甲班学生成绩的平均分是 85, ∴79+78+80+80+x+85+92+95=85×7, 即 x=6. ∵乙班学生成绩的中位数是 83,甲班学生成绩的中位数是 80+x=83,得 x=3; ∴若 y ⩽ 1,则中位数为 81,不成立。 7 若 y>1,则中位数为 80+y=83, 解得 y=3. ∴x+y=6+3=9,本题选择 C 选项. 4.C 【解析】设甲到达的时刻为 x,乙到达的时刻为 y,则所有基本事件构成的平面区域为  ={ , | 0 24 0 24}x y x y    , ,设“这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待” 为 事 件 A , 则 事 件 A 包 含 的 基 本 事 件 构 成 的 平 面 区 域 为  ={ , | 0 24 0 24, 6}A x y x y x y     , ,如图中阴影部分所示。 由几何概型概率公式得   18 18=1 24 24 SP A S    阴影 7=16 ,即这两艘船中至少有一艘在停靠 泊位时必须等待的概率为 7 16 ,选 C。 5.B 【 解 析 】 由 图 知 , k 的 取 值 范 围 为  ,AB ACk k , 由 AB 与 圆 相 切 得   2 2 3 1 3 3 3 3 3 3 1 11 8 12 3 0 4 4 3 1 21 AB AC k k k k k k k                    k 的取值范围为 3- 3 1 4 2      , ,选 B. 8 6.C 【解析】根据程序框图确定框图所要执行的运算,由输入的 依次进行运算求 ,根据判断 框中的条件判断运算是否执行,得到结果,故选 C. 7.A 【解析】由已知可得 2 2 21{ 32 c b a ca       所求方程为 2 2 14 3 x y  ,故选 A. 8.B 【解析】不妨设椭圆方程为 =1,(a>b>0), 由题意得 , 解得 a=8,b=2,c= =2 , ∴该椭圆的离心率为 e= = = .故选:B. 9.C 【解析】由题意得当 1 1 11i a b c  时, ,所以直线 1l 过定点  1,1M , 当 2 2 22 2( )i a b c  时, ,所以直线 2l 过定点  2,2N 。 ∵ 1 2 2PP  恒成立, ∴ 1 2l l 。 又    2 21 2 1 2 2MN      , ∴ 1 2,MN l MN l  , 9 ∵ 2 1 12 1MNk   ∴ 1 2,l l 的斜率为 1 。 ∴直线 1l 的方程为  1 1y x    ,即 2x y  ; 直线 2l 的方程为  2 2y x    ,即 4x y  。 ∴ 1 2 2 4 6c c    。选 C。 10.C 【解析】对应 A,命题“ , ”的否定是“ , ”错误;对于 B,当命 题“ 为真”, 可能一真一假, 不一定是真命题,当 是真命题时, 都 是真命题,此时 为真,故命题“ 为真”是命题“ 为真”的必要不充分条件, 错误;对于 C,若 ,当 时, 与 的大小关系不确定,假命题;对于 D, “在中 中,若 ,则 或 ,假命题,命题的逆否命题也是 假命题,故答案为 C. 11.B 【解析】由题意可得:直线l 为  y 2 2x    ,即 x y 2 2 0   圆心 1,0 到直线l 的距离为 d 1 0 2 2 22 22       , ∴ PQ 的最小值为 2 22 1 12 2     故选:B 12.C 【解析】由椭圆的对称性可知当点 P 为短轴顶点时 1 2F PF 最大,此时 1 2cos F PF 取得最 小值,此时 1 2 1 23 2 2 5PF PF a F F c      22 2 1 2 2 1cos 2 9 a a cF PF a a        13. 2 5 【解析】∵ 1 3/ /l l ,∴ 2 -(1 ) 0a b   ,同理  2 1 1 0a    ,解得 1 , 02a b   ,因此 1 : 2 10 0l x y   , 2 : 2 0l x y  , 2 5d  . 10 14. 3 10 【解析】根据分层抽样的方法,可得 2 36 18 54 x y  ,解得 1, 3x y  , 所以若从高校 ,B C 抽取的人中选 2 人作专题发言,共有10种情况, 则这二人都来自高校C 共有 3种情况,所以概率为   3 10P C  . 15. 2 3 【解析】 2 2 4x y 圆 的圆心为 0 0, .半径 2r  , 圆心到直线 3 2 0x y   的距离 2 12d   弦长 2 4 1 2 3AB    故答案为 2 3 16.x2+ =1 【解析】由题意,F1(﹣c,0),F2(c,0),AF2⊥x 轴,∴|AF2|=b2 , ∴A 点坐标为(c,b2), 设 B(x,y),则 ∵|AF1|=3|F1B|, ∴(﹣c﹣c,﹣b2)=3(x+c,y) ∴B(﹣ c,﹣ b2), 代入椭圆方程可得 , ∵1=b2+c2 , ∴b2= , c2= , ∴x2+ =1. 所以答案是:x2+ =1. 11 17.(1) 1t  或 9t   . (2)    0,13 5 13 5,r      【解析】将点 3, 1 的坐标代入 2 2 2 0x y x my    , 可得 4m  , 所以圆的方程为 2 2 2 4 0x y x y    ,即    2 21 2 5x y    , 故圆心为  1, 2C  ,半径 5r  . (1)因为直线l 与圆C 相切,所以圆心C 到直线l 的距离等于圆的半径, 即    22 2 1 2 5 2 1 t       , 整理得 4 5t  , 解得 1t  或 9t   . (2)圆 M 的圆心为  6,10M ,则 13MC  , 由题意可得圆 M 与圆C 内含或外离, 所以13 5r  或13 5 r  , 解得 13 5r   或 13 5r   . 所以 r 的取值范围为   0,13 5 13 5,    . 18.(1)  4,m  ;(2)    4, 1 5,6x    . 【解析】(1)对于  1,5p A  : ,对于  q : 1 ,1B m m   , 由已知, A B ,∴ 1-m 1,{1 5,m     ∴  4,m  . (2)若 p 真: 1 5x   ,若 q 真: 4 6x   , 由已知, p 、q 一真一假. ①若 p 真 q 假,则 1 5 { 4 6 x x x     或 ,无解; ②若 p 假 q 真,则 1 5{ 4 6 x x x     或 ,∴ x 的取值范围为   4, 1 5,6   . 12 19.(1) 4 9 ;(2)15 元. (1)记甲袋中红球是 r ,白球分别为 1 2,w w 由题意得顾客 A 可以从甲袋中先后摸出 2 个球,其所有等可能出现的结果为                  1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2, , , , , , , , , , , , , , , , ,r r r w r w w r w w w w w r w w w w 共 9 种, 其中结果       1 2 1 2, , , , , , ,r w r w w r w r 可获奖金 15 元,所以顾客 A 所获奖金为 15 元的概 率为 4 9 . (2)由题意的顾客 A 可以根据方案 a 抽奖两次或根据方案 ,a b 各抽奖一次。由(1)知顾客 A 根据方案 a 抽奖两次所获奖金及其概率如表 1: 记乙袋中红球分别是 1 2,R R ,白球W 则顾客 A 根据方案 ,a b 各抽奖一次的所有等可能出现的结果为                  1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2, , , , , , , , , , , , , , , , ,r R r R r W w R w R w W w R w R w W 共 9 种 其中结果   1 2, , ,r R r R 可获奖金 25 元。结果 ,r W 可获奖金 15 元,          1 1 1 2 1 2 1 2 2, , , , , , , , ,w R w R w W w R w R 可获奖金 10 元,其余可获奖金 0 元,所以顾 客 A 根据方案 ,a b 各抽奖一次所获奖金及其概率如表 2: 由表 1,表 2 可知顾客 A 最有可能获得的奖金数为 15 元. 20.(1) : 2 3 0l x y  或 : 2 16 0l x y   ;(2) 4 17 . 【解析】(Ⅰ)由题意得 0k  。 直线l 的方程为    4 6 6 4y k x y k x     ,即 , 令 0x  ,得 6 4y k   13 令 0y  ,得 4 6x k    ∵l 的纵截距是横截距的两倍 46 4 2 6k k         解得 2 3k  或 2k   ∴直线  2 6 43l y x  的方程为 或  2 6 4y x    , 即 2 3 0x y  或 2 16 0x y   (Ⅱ)当 1k   时,直线 10 0l x y  的方程为 , 设点 M 关于l 的对称点为  1 ,M a b , 则 16{ 6 10 02 b a a y      , 解得 10{ 4 a b   ,  1 10,4M点 的坐标为 ,  1 10,4M 关于 y 轴的对称点为  2 10,4M  光线所经过的路程为  2 2 2| | 6+10 +(0-4) 4 17M M   21.(1) (2) 【解析】 (Ⅰ) , , 因此可求得回归直线方程 . (Ⅱ)当 时, , 故该同学预计可得 分左右. 14 22. 【解析】(1)设 F(c,0). ∵直线 AF 的斜率为 , ∴ = ,解得 c= . 又离心率为 e= = , 由 b2=a2﹣c2,解得:a=2,b=1, ∴椭圆 E 的方程为 +y2=1. (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意可设直线 l 的方程为:y=kx﹣2,与椭圆方程联 立, 整理得:(1+4k2)x2﹣16kx+12=0,当△=16(4k2﹣3)>0 时,即 k2> 时, x1+x2= ,x1•x2= , ∴|PQ|= , ∵点 O 到直线 l 的距离 d= , ∴S△OPQ= •d•|PQ|= , 设 =t>0,则 4k2=t2+3, ∴S△OPQ= = ≤1, 当且仅当 t=2,即 =2,解得 k=± 时取等号,且满足△>0, ∴△OPQ 的面积最大时,直线 l 的方程为:y=± x﹣2

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