2022年高考数学一轮复习讲练测1.1 集合的概念及其基本运算（讲）原卷版

1 / 7 2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江） 第一章 集合与常用逻辑用语 专题 1.1 集合的概念及其基本运算（讲） 【考试要求】 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描 述不同的具体问题； 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义； 3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集 的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算. 【高考预测】 纵观近几年的高考试题，考查集合的混合运算，以交集、并集的考查和集合的表示方法为主.其中集合多以 列举法呈现，以描述法呈现时，元素的性质以不等式为主．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素 所具有属性的，明确集合中含有的元素，进一步进行交、并、补等运算．本专题在高考中分值通常为 5 分 左右,属于中低档题. 2020 年增加新定义“压轴题”，重在考查学生的综合素质，复习中应予足够重视. 【知识与素养】 1.元素与集合 （1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． （2）集合与元素的关系：若 a 属于集合 A，记作 a A ；若 b 不属于集合 A，记作b A ． （3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． （4）五个特定的集合及其关系图： N*或 N＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 【典例 1】（2020·浙江高一课时练习）已知集合 { }, 2 3A x x a  ∣ „ ，则 a 与集合 A 的关系是（ ）. A． a A B． a A C． a A D． a A 【易混辨析】描述法中，集合的“代表元素”可是单个字母、有序数对（点的坐标）等，解题过程中要注 意区分.本题考查集合与元素关系，重点考查学生对概念的理解与识别，以及数学抽象这一核心素养． 2.集合间的基本关系 2 / 7 (1)子集：若对任意 x∈A，都有 x∈B，则 A ⊆ B 或 B ⊇ A. (2)真子集：若 A ⊆ B，且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A，则 A B 或 B A. (3)相等：若 A ⊆ B，且 B ⊆ A，则 A＝B. (4)空集的性质： ∅ 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 【典例 2】（2021·浙江湖州市·高一月考）已知集合    | 0 = |1 2A x x a B x x    ， ，若 B A ， 则实数 a 的取值范围为（ ） A． 0a  B． 0 1a  C．1 2a  D． 2a  【重点总结】近几年高考命题中，较多的考查集合的运算，集合的呈现往往涉及不等式、函数的定义域或 值域，应注意首先明确集合中元素的“特征性质”，化简集合，再判断集合的关系或进行集合的运算.涉及 不等式问题，可以借助于“数轴”求解. 不同重点考查学生对概念的理解与识别，以及数学抽象、数学运 算、直观想象能力等核心素养． 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为 U，则集合 A 的补集为 CUA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或 x∈ B} {x|x∈A，且 x ∈B} {x|x∈U，且 x∉A} 求集合 A 的补集的前提是“A 是全集 U 的子集”，集合 A 其实是给定的条件.从全集 U 中取出集合 A 的全部 元素，剩下的元素构成的集合即为 CUA. 【典例 3】（2019 年浙江卷）已知全集  1,0,1,2,3U   ，集合  0,1,2A  ，  1,0,1B   ，则 U A B ð （ ） A． 1 B． 0,1 C． 1,2,3 D． 1,0,1,3 3 / 7 【易错提醒】 本题根据交集、补集的定义可得.易于因对补集、交集的概念理解有误，也有运算顺序理解错误导致误选. 4.集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩ ∅ ＝ ∅ ，A∩B＝B∩A. (2)A∪A＝A，A∪ ∅ ＝A，A∪B＝B∪A. (3)A∩(CUA)＝ ∅ ，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A. 特别提醒: 1.若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 2n 个，真子集有 2n－1 个. 2.子集的传递性：A ⊆ B，B ⊆ C ⇒ A ⊆ C. 3.A ⊆ B ⇔ A∩B＝A ⇔ A∪B＝B ⇔ CUA ⊇ CUB. 4. CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB). 【重点难点突破】 考点一 集合的基本概念 例 1.(2018 课标 II 理 2)已知集合   2 2, 3 , ,A x y x y x y    Z Z ，则 A 中元素的个数为（ ） A．9 B．8 C．5 D．4 【规律方法】与集合中的元素有关的问题的三种求解策略 (1)研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件. (2)根据元素与集合的关系求参数时要注意检验集合中的元素是否满足互异性. (3)集合中的元素与方程有关时注意一次方程和一元二次方程的区别. 【变式探究】（2020·巴楚县第一中学高三二模）已知集合  1,2A  ，  2,4B  ，则集合  , ,M z z x y x A y B     中元素的个数为（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【领悟技法】 与集合元素有关问题的思路： （1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集． （2）看这些元素满足什么限制条件． （3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性 考点二：集合间的基本关系 4 / 7 例 2.（2021·江苏省高三三模）设 ,a bR ，则集合         2 2| 1 0 , | 1 0P x x x a Q x x x b        ，若 P Q ，则 a b  （ ） A． 0 B． 2 C． 2 D．1 【方法技巧】 (1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含 有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法． (2)要确定非空集合 A 的子集的个数，需先确定集合 A 中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是 它自身的子集． (3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参 数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题． 【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解． 【变式探究】 1.（2021·赤峰二中高三一模（文））已知集合  2 2 0,Q x x x x  N＝ ，且 P Q ，则满足条件的集合 P 的个数（ ） A．8 B．9 C．15 D．16 2．（2020·全国高一课时练习）若集合 A={1，3，x}，B={x2，1}，且 B ⊆ A，则满足条件的实数 x 的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点三：集合的基本运算 例 3.（2021·湖南永州市·高三三模）已知集合 M，N 是实数集 R 的子集，若  1,2N  ，且 RM N ð ， 则符合条件的集合 M 的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 例 4．（2020·全国高考真题（文））已知集合 A={x||x|1，x∈Z}，则 A∩B=（ ） A． B．{–3，–2，2，3） C．{–2，0，2} D．{–2，2} 例 5.（2020·全国高考真题（理））已知集合 U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则 ( )U A B ð （ ） A．{−2，3} B．{−2，2，3} C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，3} 5 / 7 例 6.（2020·全国高考真题（理））已知集合 {( , ) | , , }A x y x y y x  *N ， {( , ) | 8}B x y x y   ，则 A B 中 元素的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【规律方法】 如何解集合运算问题 (1)看元素构成:集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键. (2)对集合化简:有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决. (3)应用数形结合:常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图. (4)创新性问题:以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相 应数学知识来解决. 【变式探究】 1．（2020·福建省高三其他（文））设全集 { | 8},U x N x   集合 {1,3,7}A  ，则 U A ð （ ） A．{2,4,5,6} B．{0,2,4,5,6} C．{2,4,5,6,8} D．{0,2,4,5,6,8} 2.（2020·浙江高考真题）已知集合 P={ |1 4} x x ， { | 2 3}Q x x   ，则 PQ=（ ） A．{ |1 2}x x  B．{ | 2 3}x x  C．{ | 3 4}x x  D．{ |1 4} x x 3．（2020·浙江省高三二模）已知集合 {0,1,2,3 ,}I  集合 {0,1}, {0,3},M N  则 ( )IN M  ð （ ） A．{0} B．{3} C．{0，2，3} D． 4. （2021·湖南高三月考）已知集合 {1,2,3,4,5}A  ， 2{ | 3 0}B x x x   ，则 RA Bð 中的元素个数为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点四：利用集合的运算求参数 例 7.（2020·全国高考真题（理））设集合 A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且 A∩B={x|–2≤x≤1}，则 a=（ ） A．–4 B．–2 C．2 D．4 例 8.已知集合 2 7{ | }A x x    ， 1 2 1{ | }B x m x m     ，且 B   ，若 A B A ，则实数 m 的取值范围是( ) 6 / 7 A． 3 4m   B． 3 4m   C． 2 4m  D． 2 4m  【方法规律】 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 ①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； ②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． 【易错警示】在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)． 【变式探究】 1. （2021·湖南高三月考）已知集合  2 2 3 0A x x x    ，  B x x a  ，若  1A B x a x a     ， 则 a （ ） A．2 B．1 C．0 D．-1 2.（2020·上海高三三模）已知集合 { 1,0, }A a  ， { |1 2 2}xB x   ，若 A B   ，则实数 a 的取值 范围是________ 考点五：集合的新定义问题 例 9.（2020·浙江高考真题）设集合 S，T，S N*，T  N*，S，T 中至少有两个元素，且 S，T 满足： ①对于任意 x，yS，若 x≠y，都有 xyT ②对于任意 x，yT，若 x