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十三 函数与方程
(建议用时:45 分钟)
A 组 全考点巩固练
1.函数 f(x)=ex+x-3 在区间(0,1)上的零点个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
B 解析:由题知函数 f(x)是增函数.根据函数零点存在定理及 f(0)=-2<0,f(1)=e
-2>0,可知函数 f(x)在区间(0,1)上有且只有一个零点.故选 B.
2.已知 a 是函数 f(x)=2x- x 的零点,若 0<x0<a,则 f(x0)的值满足
( )
A.f(x0)=0 B.f(x0)>0
C.f(x0)<0 D.f(x0)的符号不确定
C 解析:f(x)在(0,+∞)上是增函数,
若 0<x0<a,
则 f(x0)<f(a)=0.
3.若函数 f(x)=2x-
2
x
-a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值 X 围是
( )
A.(1,3) B.(1,2)
C.(0,3) D.(0,2)
C 解析:由条件可知 f(1)f(2)<0,即(2-2-a)·(4-1-a)<0,即 a(a-3)<0,解得
0<a<3.
4.(2019·全国卷Ⅲ)函数 f(x)=2sin x-sin 2x 在[0,2π]的零点个数为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
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B 解析:令 f(x)=0,得 2sin x-sin 2x=0,即 2sin x-2sin xcos x=0,所以 2sin x(1
-cos x)=0,所以 sin x=0 或 cos x=1.又 x∈[0,2π],由 sin x=0 得 x=0,π或 2π;由
cos x=1 得 x=0 或 2π.故函数 f(x)的零点为 0,π,2π,共 3 个.故选 B.
5.函数 f(x)=|x-2|-ln x 在定义域内的零点的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
C 解析:由题意可知 f(x)的定义域为(0,+∞).在同一平面直角坐标系中作出函数 y
=|x-2|(x>0),y=ln x(x>0)的图像如图所示.
由图可知函数 f(x)在定义域内的零点个数为 2.
6.设 f(x)在区间[-1,1]上单调递增,且 f
-
1
2 ·f
1
2 0 时,f(x)有一个零点,需-a0.综上,01,02.又 2x-m>0 恒成
立,则 m≤(2x)min,即 m≤4.所以实数 m 的取值 X 围为(2,4].
16.已知函数 f(x)=
x2,0≤x≤1,
|ln x-1 |,x>1.
若方程 f(x)=kx-2 有两个不相等的实数
根,则实数 k 的取值 X 围是________.
[3,+∞)解析:由题意知函数 f(x)的图像与恒过定点(0,-2)的直线 y=kx-2 有两个
交点,作出 y=f(x)与 y=kx-2 的图像,如图所示.
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当直线 y=kx-2 过点(1,1)时,k=3.
结合图像知,当 k≥3 时,直线与 y=f(x)的图像有两个交点.
17.已知 a∈R,函数 f(x)=log2
1
x
+a
.
(1)当 a=5 时,解不等式 f(x)>0;
(2)若函数 g(x)=f(x)+2log2x 只有一个零点,某某数 a 的取值 X 围.
解:(1)当 a=5 时,f(x)=log2
1
x
+5
.
由 f(x)>0,即 log2
1
x
+5
>0,可得
1
x
+5>1,解得 x<-
1
4
或 x>0.
即不等式 f(x)>0 的解集为
-∞,-
1
4 ∪(0,+∞).
(2)g(x)=f(x)+2log2x=log2
1
x
+a
+2log2x=log2
1
x
+a
·x2 (其中 x>0).
因为函数 g(x)=f(x)+2log2x 只有一个零点,即 g(x)=0 只有一个根,
即
1
x
+a
·x2=1 在(0,+∞)上只有一个解,
即 ax2+x-1=0 在(0,+∞)上只有一个解.
①当 a=0 时,方程 x-1=0,解得 x=1,符合题意;
②当 a≠0 时,设函数 y=ax2+x-1.
当 a>0 时,此时函数 y=ax2+x-1 与 x 轴的正半轴,只有一个交点,符合题意;
当 a<0 时,要使得函数 y=ax2+x-1 与 x 轴的正半轴只有一个交点,
则满足
-
1
2a
>0,
Δ=1+4a=0,
)解得 a=-
1
4
.
综上可得,实数 a 的取值 X 围是
-
1
4 ∪[0,+∞).
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