2022版新教材高考数学一轮复习39空间中的垂直关系训练含解析新人教B版

考试 1 / 11 三十九 空间中的垂直关系 (建议用时：45 分钟) A 组 全考点巩固练 1．(2021·某某模拟)已知直线 l⊥平面α，直线 m∥平面β.若α⊥β，则下列结论正确的是 ( ) A．l∥β或 l⊂βB．l∥m C．m⊥αD．l⊥m A 解析：直线 l⊥平面α，α⊥β，则 l∥β或 l⊂β，A 正确．故选 A. 2．(2020·威海模拟)设α，β是两个不同的平面，则α⊥β的充要条件是( ) A．平面α内任意一条直线与平面β垂直 B．平面α，β都垂直于同一条直线 C．平面α，β都垂直于同一平面 D．平面α内存在一条直线与平面β垂直 D 解析：若α⊥β，则平面α内存在直线与平面β不垂直，选项 A 不正确；若平面α，β 都垂直于同一条直线，则平面α与β平行，选项 B 不正确；若平面α，β都垂直于同一平面， 则平面α，β可以平行，也可以相交，选项 C 不正确；若平面α内存在一条直线与平面β垂直， 则根据面面垂直的判定定理，可知α⊥β，若α⊥β，则由面面垂直的性质定理知，平面α内 垂直于平面α与β的交线的直线一定垂直于平面β，故选项 D 正确．故选 D. 3．如图，在四面体 D－ABC 中，若 AB＝CB，AD＝CD，E 是 AC 的中点，则下列结 论正确的是( ) A．平面 ABC⊥平面 ABD B．平面 ABD⊥平面 BDC C．平面 ABC⊥平面 BDE，且平面 ADC⊥平面 BDE 考试 2 / 11 D．平面 ABC⊥平面 ADC，且平面 ADC⊥平面 BDE C 解析：因为 AB＝CB，且 E 是 AC 的中点，所以 BE⊥AC，同理有 DE⊥AC，于是 AC⊥平面 BDE.因为 AC 在平面 ABC 内，所以平面 ABC⊥平面 BDE.又由于 AC⊂平面 ACD， 所以平面 ACD⊥平面 BDE. 4．(多选题)如图，AB 是半圆 O 的直径，VA 垂直于半圆 O 所在的平面，点 C 是圆周 上不同于 A，B 的任意一点，M，N 分别为 VA，VC 的中点，则下列结论正确的是( ) A．MN∥AB B．平面 VAC⊥平面 VBC C．MN 与 BC 所成的角为 90° D．BC⊥平面 VAC BCD 解析：因为 MN∥AC，AC∩AB＝A，所以 MN 与 AB 不平行，A 错误．由题意 得 BC⊥AC，因为 VA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，所以 VA⊥BC.因为 AC∩VA＝A，所以 BC⊥平面 VAC，D 正确．因为 BC⊂平面 VBC，所以平面 VAC⊥平面 VBC，B 正确．因为 AB 是半圆 O 的直径，所以 AC⊥BC，又 MN∥AC，所以 MN 与 BC 所成的角为 90°，C 正 确． 5．已知三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱与底面垂直，体积为 9 4 ，底面是边长为 3的正三 角形．若 P 为底面 A1B1C1 的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为( ) A. 5π 12 B. π 3 C. π 4 D. π 6 B 解析：如图，取正三角形 ABC 的中心 O，连接 OP，则∠PAO 是 考试 3 / 11 PA 与平面 ABC 所成的角． 因为底面边长为 3， 所以 AD＝ 3× 3 2 ＝ 3 2 ，AO＝ 2 3 AD＝ 2 3 × 3 2 ＝1. 三棱柱的体积为 3 4 ×( 3)2AA1＝ 9 4 ， 解得 AA1＝ 3，即 OP＝AA1＝ 3， 所以 tan∠PAO＝ OP OA ＝ 3. 因为直线与平面所成角的 X 围是 0， π 2 ， 所以∠PAO＝ π 3 . 6．(2019·卷)已知 l，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥α；③l⊥α. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________. 如果 l⊥α，m∥α，则 l⊥m(或若 l⊥m，l⊥α，则 m∥α) 解析：将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：(1)如果 l⊥α，m∥α， 则 l⊥m，正确；(2)如果 l⊥α，l⊥m，则 m∥α，正确；(3)如果 l⊥m，m∥α，则 l⊥α，错 误，有可能 l 与α斜交或 l∥α. 7．(2020·潍坊统考)如图，已知六棱锥 P－ABCDEF 的底面是正六边形，PA⊥平面 ABC， PA＝2AB，则下列结论： ①PB⊥AE；②平面 ABC⊥平面 PBC； 考试 4 / 11 ③直线 BC∥平面 PAE；④∠PDA＝45°. 其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)． ①④解析：对于①，因为 PA⊥平面 ABC，所以 PA⊥AE.又 EA⊥AB，PA∩AB＝A，所 以 EA⊥平面 PAB，从而可得 EA⊥PB，故①正确． 对于②，因为 PA⊥平面 ABC，所以平面 ABC 与平面 PBC 不可能垂直，故②不正确． 对于③，因为在正六边形中，BC∥AD，所以 BC 与 EA 必有公共点．从而 BC 与平面 PAE 有公共点，所以直线 BC 与平面 PAE 不平行，故③不正确． 对于④，由条件易得△PAD 为直角三角形，且 PA⊥AD，又 PA＝2AB＝AD，所以∠PDA ＝45°，故④正确．综上，①④正确． 8．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA ⊥PD，PA＝PD，E，F 分别为 AD，PB 的中点． (1)求证：PE⊥BC； (2)求证：平面 PAB⊥平面 PCD； (3)求证：EF∥平面 PCD. 证明：(1)因为 PA＝PD，E 为 AD 的中点， 所以 PE⊥AD. 因为底面 ABCD 为矩形， 所以 BC∥AD，所以 PE⊥BC. (2)因为底面 ABCD 为矩形， 所以 AB⊥AD. 又因为平面 PAD⊥平面 ABCD， 所以 AB⊥平面 PAD. 因为 PD⊂平面 PAD，所以 AB⊥PD. 又因为 PA⊥PD，PA∩AB＝A， 所以 PD⊥平面 PAB. 因为 PD⊂平面 PCD， 考试 5 / 11 所以平面 PAB⊥平面 PCD. (3)如图，取 PC 的中点 G，连接 FG，DG. 因为 F，G 分别为 PB，PC 的中点， 所以 FG∥BC，FG＝ 1 2 BC. 因为四边形 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点， 所以 DE∥BC，DE＝ 1 2 BC. 所以 DE∥FG，DE＝FG. 所以四边形 DEFG 为平行四边形． 所以 EF∥DG. 又因为 EF⊄ 平面 PCD，DG⊂平面 PCD， 所以 EF∥平面 PCD. 9．(2020·某某卷)如图，在三棱台 DEF－ABC 中，平面 ADFC⊥平面 ABC，∠ACB＝∠ ACD＝45°，DC ＝2BC. (1)证明：EF⊥DB； (2)求 DF 与平面 DBC 所成角的正弦值． (1)证明：作 DH⊥AC 交 AC 于点 H，连接 BH. 因为平面 ADFC⊥平面 ABC，而平面 ADFC∩平面 ABC＝AC， DH⊂平面 ADFC， 所以 DH⊥平面 ABC，而 BC⊂平面 ABC， 即有 DH⊥BC. 因为∠ACB＝∠ACD＝45°， 所以 CD＝ 2CH＝2BC，所以 CH＝ 2BC. 考试 6 / 11 在△CBH 中，BH2＝CH2＋BC2－2CH·BC·cos 45°＝BC2，即有 BH2＋BC2＝CH2，所以 BH⊥BC. 由棱台的定义可知，EF∥BC，所以 DH⊥EF，BH⊥EF. 又 BH∩DH＝H，所以 EF⊥平面 BHD， 而 BD⊂平面 BHD，所以 EF⊥DB. (2)解：因为 DF∥CH，所以 DF 与平面 DBC 所成角即为 CH 与平面 DBC 所成角． 作 HG⊥BD 于点 G，连接 CG， 由(1)可知，BC⊥平面 BHD， 所以平面 BCD⊥平面 BHD. 又平面 BCD∩平面 BHD＝BD，HG⊂平面 BHD， 所以 HG⊥平面 BCD. 即 CH 在平面 DBC 内的射影为 CG，∠HCG 即为所求角． 在 Rt△HGC 中，设 BC＝a，则 CH＝ 2a，HG＝ BH·DH BD ＝ 2a·a 3a ＝ 2 3 a， 所以 sin∠HCG＝ HG CH ＝ 3 3 . 故 DF 与平面 DBC 所成角的正弦值为 3 3 . B 组 新高考培优练 10．(2020·某某 4 月调研)已知两个平面互相垂直，下列命题： ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线； 考试 7 / 11 ③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面． 其中正确命题的个数是( ) A．3B．2 C．1D．0 C 解析：在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中进行判断，如图，①在正方体 ABCD－ A1B1C1D1 中，平面 ADD1A1⊥平面 ABCD，A1D⊂平面 ADD1A1，BD⊂平面 ABCD，但 A1D 与 BD 不垂直，故①错； ②在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，平面 ADD1A1⊥平面 ABCD，l 是平面 ADD1A1 内任 意一条直线，l 与平面 ABCD 内和 AB 平行的所有直线(包括 AB)垂直，故②正确； ③在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，平面 ADD1A1⊥平面 ABCD，A1D⊂平面 ADD1A1， 但 A1D 与平面 ABCD 不垂直，故③错； ④在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，平面 ADD1A1⊥平面 ABCD，且平面 ADD1A1∩平 面 ABCD＝AD，过交线 AD 上的任一点作交线的垂线 l，则 l 可能与平面 ABCD 垂直，也可 能与平面 ABCD 不垂直，故④错．故选 C. 11．(多选题)(2021·某某教学质量检测)已知 m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不 同的平面，则下列命题正确的是( ) A．若 m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β B．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则 n⊥α或 n⊥β C．若 m⊥α，m⊥n，n⊂β，则α∥β或α⊥β D．若α∩β＝m，n∥m，n⊄ α，n⊄ β，则 n∥α且 n∥β AD 解析：对于 A，由面面垂直的判定定理可知 A 正确．对于 B，n 与α，β的位置关 考试 8 / 11 系可能为平行、相交或 n 在平面内，故 B 错误．对于 C，α与β的位置关系为平行或相交但 不垂直，故 C 错误．对于 D，由线面平行的判定定理可知 D 正确．故选 AD. 12．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足________时，平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为正确的 条件即可) DM⊥PC(或 BM⊥PC 等)解析：因为 PA⊥底面 ABCD，所以 BD⊥PA.连接 AC(图略)， 则 BD⊥AC，且 PA∩AC＝A，所以 BD⊥平面 PAC，所以 BD⊥PC.所以当 DM⊥PC(或 BM ⊥PC)时，即有 PC⊥平面 MBD.又 PC⊂平面 PCD，所以平面 MBD⊥平面 PCD. 13．如图，点 P 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动，则下列四个命题： ①三棱锥 A－D1PC 的体积不变； ②A1P∥平面 ACD1； ③DP⊥BC1； ④平面 PDB1⊥平面 ACD1. 其中正确的是________．(填序号) ①②④解析：由题意可得直线 BC1 平行于直线 AD1，并且直线 AD1⊂平面 AD1C，直线 BC1⊄ 平面 AD1C，所以直线 BC1∥平面 AD1C. 所以点 P 到平面 AD1C 的距离不变， VA－D1PC＝VP－AD1C， 所以三棱锥 A－D1PC 的体积不变，故①正确． 连接 A1C1，A1B， 考试 9 / 11 可得平面 AD1C∥平面 A1C1B. 又 A1P⊂平面 A1C1B， 所以 A1P∥平面 ACD1，故②正确． 当点 P 运动到点 B 时，△DBC1 是等边三角形， 所以 DP 不垂直于 BC1，故③不正确． 因为直线 AC⊥平面 BDB1，DB1⊂平面 BDB1. 所以 AC⊥DB1.同理可得 AD1⊥DB1. 所以 DB1⊥平面 AD1C. 又 DB1⊂平面 PDB1. 所以平面 PDB1⊥平面 ACD1.故④正确． 14．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PC＝AD＝CD＝ 1 2 AB＝2，AB∥DC，AD⊥CD， PC⊥平面 ABCD. (1)求证：BC⊥平面 PAC； (2)若 M 为线段 PA 的中点，且过 C，D，M 三点的平面与线段 PB 交于点 N，确定点 N 的位置，说明理由，并求三棱锥 A－CMN 的高． (1)证明：连接 AC，在直角梯形 ABCD 中， AC＝ AD2＋DC2＝2 2， BC＝ AB－CD 2＋AD2＝2 2， 所以 AC2＋BC2＝AB2，即 AC⊥BC. 又 PC⊥平面 ABCD，BC⊂平面 ABCD， 考试 10 / 11 所以 PC⊥BC. 又 AC∩PC＝C，AC，PC⊂平面 PAC， 所以 BC⊥平面 PAC. (2)解：N 为 PB 的中点，理由如下：连接 MN，. 因为 M 为 PA 的中点，N 为 PB 的中点， 所以 MN∥AB，且 MN＝ 1 2 AB＝2. 又因为 AB∥CD，所以 MN∥CD， 所以 M，N，C，D 四点共面， 所以点 N 为过 C，D，M 三点的平面与线段 PB 的交点． 因为 BC⊥平面 PAC，N 为 PB 的中点， 所以点 N 到平面 PAC 的距离 d＝ 1 2 BC＝ 2. 又 S△ACM＝ 1 2 S△ACP＝ 1 2 × 1 2 ·AC·PC＝ 2， 所以 V 三棱锥 N－ACM＝ 1 3 × 2× 2＝ 2 3 . 由题意可知，在 Rt△PCA 中， PA＝ AC2＋PC2＝2 3，CM＝ 3. 在 Rt△PCB 中，PB＝ BC2＋PC2＝2 3， ＝ 3，所以 S△CMN＝ 1 2 ×2× 2＝ 2. 设三棱锥 A－CMN 的高为 h， 考试 11 / 11 则 V 三棱锥 N－ACM＝V 三棱锥 A－CMN＝ 1 3 × 2×h＝ 2 3 ， 解得 h＝ 2，故三棱锥 A－CMN 的高为 2.