中考一轮复习之分式(一)
知识考点:
分式运算是初中代数计算的综合运用,它与整式运算相比,步骤增多,符号变化复杂,方法比较灵活。
了解分式的概念,熟练掌握分式的基本性质,并能灵活运用它进行分式的约分、通分及计算是解题的关键。
精典例题:
【例 1】
(1)当 x 为何值时,分式
2
1
2
2
xx
x 有意义?
(2)当 x 为何值时,分式
2
1
2
2
xx
x 的值为零?
分析:①判断分式有无意义,必须对原分式进行讨论而不能讨论化简后的分式;②在分式
B
A 中,若 B
=0,则分式
B
A 无意义;若 B≠0,则分式
B
A 有意义;③分式
B
A 的值为零的条件是 A=0 且 B≠0,两者缺
一不可。
答案:(1) x ≠2 且 x ≠-1;(2) x =1
【例 2】计算:
(1)
2
122
42
aaa
a
(2) 22
2
xx
x
(3)
xx
x
x
x
x 2
4
2
121 2
分析:(1)题是分式的乘除混合运算,应先把除法化为乘法,再进行约分,有乘方的要先算乘方,
若分式的分子、分母是多项式,应先把多项式分解因式;(2)题把 2 x 当作整体进行计算较为简便;
(3)题是分式的混合运算,须按运算顺序进行,结果要化为最简分式或整式。
答案:(1)
2
1
a
;(2)
2
4
x
;(3)
1
2
x
x
【例 3】计算:
(1)
x
yxyxx
yx
yxx
3
2
3
2
(2) 42 1
4
1
2
1
1
1
1
xxxx
分析:对于特殊题型,可根据题目特点,选择适当的方法,使问题简化。(1)题可以将 yx 看作
一个整体 yx ,然后用分配律进行计算;(2)题可采用逐步通分的方法,即先算
xx 1
1
1
1 ,用其
结果再与 21
2
x
相加,依次类推。
答案:(1)
yx
x
2 ;(2) 81
8
x
探索与创新:
【问题】先阅读下列文字,再解答下列问题:
初中数学课本中有这样一段叙述:“要比较 a 与b 的大小,可先求出 a 与b 的差,再看这个差是正数、
负数还是零。”由此可见,要判断两个代数式值的大小,只要考虑它们的差就可以了。
试问:甲乙两人两次同时在同一粮店购买粮食(假设两次购买粮食的单价不相同),甲每次购买粮食
100 千克,乙每次购粮用去 100 元。
(1)假设 x 、 y 分别表示两次购粮的单价(单位:元/千克)。试用含 x 、 y 的代数式表示:甲两次
购买粮食共需付款 元;乙两次共购买 千克的粮食;若甲两次购粮的平均单价
为每千克 1Q 元,乙两次购粮的平均单价为每千克 2Q 元,则 1Q = ; 2Q = 。
(2)规定:谁两次购粮的平均单价低,谁的购粮方式就更合算,请你判断甲乙两人的购粮方式哪一
个更合算些?并说明理由。
解:(1)第一次购买粮食付款 x100 元,第二次购买粮食付款 y100 元,两次共付款 yx 100100 元。
乙第一次购买粮食
x
100 千克,第二次购买粮食
y
100 千克,故两次共购买粮食
yx
100100 千克。
∵平均单价=
两次购买粮食的重量和
两次购买粮食的总金额
∴ 1Q =
100100
100100
yx =
2
yx ; 2Q =
yx
100100
100100
=
yx
xy
2
(2)要判断谁更合算,就是判断 1Q 、 2Q 的大小,小的更合算些。
∵ 1Q - 2Q =
2
yx -
yx
xy
2 =
yx
yx
2
2
且 x ≠ y
∴ 2yx >0 而 yx 2 >0
∴ 1Q - 2Q >0
故 1Q > 2Q
∴乙的购粮方式更合算。
跟踪训练:
一、填空题:
1、当 x 时,分式
4
2
2
x
x 有意义。
当 x 时,分式
1
872
x
xx 的值为零。
当 x 时,分式
x
x
612
1 2
的值为负数。
当 x 时,分式
x
x
32
2
的值为-1。
2、计算:
①
x
x
1
12
= 。
② 2
32
x
y
x
y
y
x
= 。
③
mn
n
nm
m
22
= 。
④ 11
12
aa
a = 。
3、已知 311
yx
。则分式
yxyx
yxyx
2
232 的值为 。
4、若 x <0,则
3
1
3
1
xx
= 。
5、若分式
1x
x 的值是整数,则整数 x 的值是 。
6、请你先化简,再选一个使原式有意义,而你又喜爱的数值代入求值:
1
1 2
2
23
x
x
xx
xx = 。
二、选择题:
1、在代数式
13 x
x 、
2
12 x 、 2
3 yx 、
2
3
a
ba 、
1
12
x
x 、
a 中,分式的个数是( )
A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个
2、已知
96
32
2
2
xx
xx 的值为零,则 2x 的值是( )
A、-1 或
9
1 B、1 或
9
1 C、-1 D、1
3、甲瓶盐水含盐量为
m
1 ,乙瓶盐水含盐量为
n
1 ,从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合制成新盐水的含
盐量为( )
A、
mn
nm
2
B、
mn
nm C、
mn
1 D、随所取盐水重量而定
三、计算题:
1、
2
522
3
xxx
x
2、
42
1
444
1
22
xx
x
xx
3、
12 22
2
22
n
mn
nm
nmn
nmnm
nm
4、
2
1
1
1
1
1
2
84
22
2
aaa
a
a
a
aa
aa
四、阅读下面题目的计算过程:
xx
x
1
2
1
3
2 =
11
12
11
3
xx
x
xx
x ①
= 123 xx ②
= 223 xx ③
= 1 x ④
(1)上面计算过程从哪一步开始出现错误,请写出该步的代号 。
(2)错误原因是 。
(3)本题的正确结论是 。
五、问题探索:
(1)已知一个正分数
m
n ( m > n >0),如果分子、分母同时增加 1,分数的值是增大还是减小?请
证明你的结论。
(2)若正分数
m
n ( m > n >0)中分子和分母同时增加 2,3… k (整数 k >0),情况如何?
(3)请你用上面的结论解释下面的问题:
建筑学规定:民用住宅窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的比应不小
于 10%,并且这个比值越大,住宅的采光条件越好,问同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光
条件是变好还是变坏?请说明理由。
参考答案
一、填空题:
1、≠±2,=8,>2,=1 或 2;2、 1x , x , nm ,
1
2
a
a ;3、
5
3 ;
4、
9
2
2 x
x ;5、2 或 0;6、略
二、选择题:CDA
三、计算题:
1、
3
1
x
;2、 222
4
x
x ;3、
nm
mn
;4、
2
1
a
四、阅读题:
(1)②;(2)去了分母;(3)
x1
1
五、问题探索:
(1)
m
n <
1
1
m
n ( m > n >0)
证明:∵
m
n -
1
1
m
n = 1
mm
mn <0(条件是 m > n >0)
∴
m
n <
1
1
m
n
(2)
m
n <
km
kn
( m > n >0, k >0)
(3)设原来的地板面积和窗户面积分别为 x 、 y ,增加面积为 a ,则由(2)知:
ax
ay
>
x
y ,所以
住宅的采光条件变好了。