中考数学二轮专题复习：函数综合题

上教考资源网 助您教考无忧 版权所有@中国教育考试资源网 中考数学二轮专题复习 函数型综合题 【简要分析】 中考中的函数综合题，聊了灵活考查相关的基础知识外，还特别注重考查分析转化能力、 数形结合思想的运用能力以及探究能力．此类综合题，不仅综合了《函数及其图象》一章的基 本知识，还涉及方程（组）、不等式（组）及几何的许多知识点，是中考命题的热点．善于根 据数形结合的特点，将函数问题、几何问题转化为方程（或不等式）问题，往往是解题的关键． 【典型考题例析】 例 1：如图 2-4-20，二次函数的图象与 x 轴交于 A、B 两 点，与 y 轴交于点 C，点 C、D 是二次函数图象上的一对对称 点，一次函数的图象过点 B、D．（1）求 D 点的坐标．（2） 求一次函数的解析式．（3）根据图象写出使一次函数值大于 二次函数的值的 x 的取值范围． 分析与解答 （1）由图 2-4-20 可得 C（0，3）． ∵抛物线是轴对称图形，且抛物线与 x 轴的两个交点为 A （－3，0）、B（1，0）， ∴抛物线的对称轴为 1x   ，D 点的坐标为（－2，3）． （2）设一次函数的解析式为 y kx b  ， 将点 D（－2，3）、B（1，0）代入解析式，可得 2 3 0 k b k b       ，解得 1, 1k b   ． ∴一次函数的解析式为 1y x   ． （3）当 2 1x x  或 时，一次函数的值大于二次函数的值． 说明：本例是一道纯函数知识的综合题，主要考查了二 次函的对称性、对称点坐标的求法、一次函数解析式的求法 以及数形结合思想的运用等． 例 2 如图 2-4-21，二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    的图象 与 x 轴交于 A、B 两点，其中 A 点坐标为（－1，0），点 C （0，5）、D（1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式． （2）求△MCB 的面积． 分析与解答 第（1）问，已知抛物线上三个点的坐标，利用待定系数法可求出其解析式．第 （20 问，△MCB 不是一个特殊三角形，我们可利用面积分割的方法转化成特殊的面积求解． 上教考资源网 助您教考无忧 版权所有@中国教育考试资源网 （1）设抛物线的解析式为 2y ax bx c   ，根据题意，得 0 5 8 a b c c a b c          ，解之，得 1 4 5 a b c       ． ∴所求抛物线的解析式为 2 4 5y x x    ． （2）∵C 点的坐标为（0，5）．∴OC=5．令 0y  ，则 2 4 5 0x x    ，解得 1 21, 5x x   ． ∴B 点坐标为（5，0）．∴OB=5． ∵ 2 24 5 ( 2) 9y x x x      ，∴顶点 M 坐标为（2，9）． 过点 M 用 MN⊥AB 于点 N，则 ON=2，MN=9． ∴ 1 1(5 9) 9 (5 2) 5 5 152 2MCB BNM OBCOCMNS S S S             梯形 说明：以面积为纽带，以函数图象为背景，结合常见的平面几何图形而产生的函数图象与 图形面积相结合型综合题是中考命题的热点．解决这类问题的关键是把相关线段的长与恰当的 点的坐标联系起来，必要时要会灵活将待求图形的面积进行分割，转化为特殊几何图形的面积 求解． 例 3 ：已知抛物线 2 ( 4) 2 4y x m x m      与 x 轴交于 1( ,0)A x 、 2( ,0)B x ，与 y 轴交于点 C，且 1x 、 2x 满足条件 1 2 1 2, 2 0x x x x   （1）求抛物线的角析式； （2）能否找到直线 y kx b  与抛物线交于 P、Q 两点，使 y 轴恰好平分△CPQ 的面积？ 求出 k 、 b 所满足的条件． 分析与解答 （1）∵△= 2 2( 4) 4(2 4) 32 0m m m      ， ∴对一切实数 m ，抛物线与 x 轴恒有两个交点， 由根与系数的关系得 1 2 4x x m   …①， 1 2 (2 4)x x m   …②． 由 已 知 有 1 22 0x x  … ③ ． ③ － ① ， 得 2 1 24 , 2 2 8.x m x x m      由 ② 得 (2 8)(4 ) (2 4)m m m     ．化简，得 2 9 14 0m m   ． 解得 1 2 1 1 22, 7. 2 , 4, 2m m m x x     当 时 ，满足 1 2x x ．当 2 7m  时， 1 26, 3x x   ，不 满足 1 2x x ，∴抛物线的解析式为 2 2 8y x x    ． （2）如图 2-4-22，设存在直线 y kx b  与抛物线交 于点 P、Q，使 y 轴平分△CPQ 的面积，设点 P 的横坐标 为 Qx ，直线与 y 轴交于点 E． ∵ 1 1 2 2PCE QCE P QS S CE x CE x        ， 上教考资源网 助您教考无忧 版权所有@中国教育考试资源网 ∴ P Qx x ，由 y 轴平分△CPQ 的面积得点 P、Q 在 y 轴的两侧，即 P Qx x  ，∴ 0P Qx x  ， 由 2 2 8 y kx b y x x        得 2 ( 2) 8 0x k x b     ． 又∵ Px 、 Qx 是方程 2 ( 2) 8 0x k x b     的两根， ∴ ( 2) 0P Qx x k     ，∴ 2k   ． 又直线与抛物线有两个交点， ∴当 2 8k b  且 时，直线 y kx b  与抛物线的交点 P、Q，使 y 轴能平分△CPQ 的面积．故 2 ( 8)y x b b    ． 说明 本题是一道方程与函数、几何相结合的综合题，这类题主要是以函数为主线．解题 时要注意运用数形结合思想，将图象信息与方程的代信息相互转化．例如：二次函数与 x 轴有 交点．可转化为一元二次旗号有实数根，并且其交点的横坐标就是相应一元二次方程的解．点 在函数图象上，点的坐标就满足该函数解析式等． 例 4 已知：如图 2-4-23，抛物线 2y ax bx c   经过原点 （0，0）和 A（－1，5）． （1）求抛物线的解析式． （2）设抛物线与 x 轴的另一个交点为 C．以 OC 为直径 作⊙M，如果过抛物线上一点 P 作⊙M 的切线 PD，切点为 D， 且与 y 轴的正半轴交于点为 E，连结 MD．已知点 E 的坐标为 （0，m ），求四边形 EOMD 的面积．（用含 m 的代数式表示） （3）延长 DM 交⊙M 于点 N，连结 ON、OD，当点 P 在 （2）的条件下运动到什么位置时，能使得 DONEOMDS S四边形 ？请求出此时点 P 的坐标． 分析与解答 （1）∵抛物线过 O(0，0)、A（1，－3）、B（－1，5）三点， ∴    c=0 a+b+c=-3 a-b+c=5 ，解得 1 4 0 a b c       ，∴抛物线的解析式为 2 4y x x  ． （2）抛物线 2 4y x x  与 x 轴的另一个交点坐标为 C（4，0），连结 EM． ∴⊙M 的半径是 2，即 OM=DM=2． ∵ED、EO 都是的切线，∴EO=ED． 上教考资源网 助您教考无忧 版权所有@中国教育考试资源网 ∴△EOM≌△EDM．∴ 12 2 22OMEEOMDS S OM OE m   四边形 （3）设 D 点的坐标为（ 0x ， 0y ），则 0 0 12 2 22OMEEOMDS S OM y y    四边形 ． 当 DONEOMDS S四边形 时，即 02 2m y ， 0m y ，故 ED∥ x 轴， 又∵ED 为切线，∴D 点的坐标为（2，3）， ∵点 P 在直线 ED 上，故设点 P 的坐标为（ x ，2）， 又 P 在抛物线上，∴ 22 4x x  ．∴ 1 22 6, 2 6x x    ． ∴ (2 6,2)P  或 (2 6,2)P  为所求. 【提高训练】 1．已知抛物线的解析式为 2 (2 1)y x m x m m     ，（1）求证：此抛物线与 x 轴必有两个 不同的交点．（2）若此抛物线与直线 3 4y x m   的一个交点在 y 轴上，求 m 的值． 上教考资源网 助您教考无忧 版权所有@中国教育考试资源网 2．如图 2-4-24，已知反比例函数 12y x  的图象与一次函数 4y kx  的图象相交于 P、Q 两 点，并且 P 点的纵坐标是 6．（1）求这个一次函数的解析式．（2）求△POQ 的面积． 3．在以 O 这原点的平面直角坐标系中，抛物线 2 ( 0)y ax bx c a    与 y 轴交于点 C（0， 3）．与 x 轴正半轴交于 A、B 两点（B 点在 A 点的右侧），抛物线的对称轴是 2x  ，且 3 2AOCS  ．（1）求此抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为 D，求四边形 ADBC 的面 积． ４．OABC 是一张平放在直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴 上，OA=10，OC=6．（1）如图 2-4-25，在 AB 上取一点 M，使得△CBM 沿 CM 翻折后， 点 B 落在 x 轴上，记作 B′点，求所 B′点的坐标．（2）求折痕 CM 所在直线的解析式．（3） 上教考资源网 助您教考无忧 版权所有@中国教育考试资源网 作 B′G∥AB 交 CM 于点 G，若抛物线 21 6y x m  过点 G，求抛物线的解析式，交判断以原 点 O 为圆心，OG 为半径的圆与抛物线除交点 G 外，是否还有交点？若有，请直接写出交点 的坐标． 5．如图 2-4-26，在 Rt△ABC 中，∠ACB=900， BC AC ，以斜边 AB 所在直线为 x 轴，以斜边 AB 上的高所在的直线为 y 轴，建立直角坐标系，若 2 2 17OA OB  ，且线段 OA、OB 的长 是关于 x 的一元二次方程 2 2( 3) 0x mx m    的两根．（1）求点 C 的坐标．（2）以斜 边 AB 为直径作圆与 y 轴交于另一点 E，求过 A、B、E 三点的抛物线的解析式，并画出此抛 物线的草图．（3）在抛物线的解析式上是否存在点 P，使△ABP 和△ABC 全等？若相聚在， 求出符合条件的 P 点的坐标；若不存在，请说明理由． 上教考资源网 助您教考无忧 版权所有@中国教育考试资源网 【答案】 1．（1） 2 2[ (2 1)] 4( ) 1 0m m m        ，∴抛物线与 x 轴必有两个不同的交点． （2） 1 5m    或 1 5m    ． 2．（1） 4y x  ．（2） 16POQS  ． 3．（1） 2 4 3y x x   ．（2） 4ADBCS 四边形 ．4．（1）B′（8，0）；（2） 1 63y x   （3）抛物线方程为 21 22 6 3y x  ．除了交点 G 外，另有交点为点 G 关于 y 轴的对称点，其 坐标为（－8，10 3 ）． 5．（1）C（0，2）． （2） 21 3 22 2y x x   ． （3）存在，其坐标为（0，－2）和（3，-2）． 上教考资源网 助您教考无忧 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