2021年中考数学 三轮专题冲刺：等腰三角形（含答案）

2021 中考数学 三轮专题冲刺：等腰三角形 一、选择题 1. （2020·临沂）如图，在 ABC 中，AB AC ， 40A   ， //CD AB ，则 BCD  （ ） A.40° B.50° C.60°. D.70° 2. （2020·福建）如图，AD 是等腰三角形 ABC 的顶角平分线， 5BD ，则CD等 于（ ） A.10 B.5 C.4 D.3 3. 一个等腰三角形两边的长分别为 75和 18，则这个三角形的周长为( ) A．10 3＋3 2 B．5 3＋6 2 C．10 3＋3 2或 5 3＋6 2 D．无法确定 4. 如图，等边三角形 OAB 的边长为 2，则点 B 的坐标为 ( ) A.(1，1) B.(1， ) C.( ，1) D.( ) 5. （2020·河南）如图，在△ABC中，AB=BC= 3 ，∠BAC=30°，分别以点A，C 为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的 面积为( ) A.6 3 B.9 C.6 D. 3 3 6. △ABC 中，AB＝AC，∠A 为锐角，CD 为 AB 边上的高，I 为△ACD 的内切 圆圆心，则∠AIB 的度数是( ) A. 120° B. 125° C. 135° D. 150° 7. 如图，在五边形 ABCDE 中，AB＝AC＝AD＝AE，且 AB∥ED，∠EAB＝120°， 则∠BCD 的度数为( ) A．150° B．160° C．130° D．60° 8. （2020·无锡）如图，等边△ABC 的边长为 3，点 D 在边 AC 上，AD＝1 2 ，线段 PQ 在边 BA 上运动，PQ＝1 2 ，有下列结论： ①CP 与 QD 可能相等； ②△AQD 与△BCP 可能相 似； ③四边形 PCDQ 面积的最大值为31 3 16 ； ④四边形 PCDQ 周长的最小 值为 3＋ 37 2 . 其中，正确结论的序号为（ ） A．①④ B．②④ C．①③ D．② ③ 二、填空题 9. 若等腰三角形的一个底角为 72°，则这个等腰三角形的顶角为 . 10. 如图，AD 是△ABC 的边 BC 上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是________．(把所有正确答案的序号都填写在横线上) ①∠BAD＝∠ACD ②∠BAD＝∠CAD ③ AB＋BD＝AC＋CD ④ AB－BD＝AC－CD 11. （2020·常州）如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线分别交 BC、AB 于点 E、 F．若△AFC 是等边三角形，则∠B＝________°． 12. （2020·湖北孝感）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算 AB 的长为________米．（结果保留根号） 13. 如图，BO 平分∠CBA，CO 平分∠ACB，MN 过点 O 且 MN∥BC，设 AB＝12， AC＝18，则△AMN 的周长为________． 14. （2020·营口）如图，△ABC 为等边三角形，边长为 6，AD⊥BC，垂足为点 D，点 E 和点 F 分别是线段 AD 和 AB 上的两个动点，连接 CE，EF，则 CE+EF 的最小值为 ． 15. 在边长为 4 的等边三角形 ABC 中，D 为 BC 边上的任意一点，过点 D 分别作 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，则 DE+DF= . 16. （2020·绵阳）如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝ CD＝4，点 M 是四边形 ABCD 内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点 M 到直 线 BC 的距离的最小值为 ． 三、解答题 17.（2020·广东）如题20图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，BD=CE， ∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形． 18. 如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AB 边上一点，过点 C 作 CF∥AB 交 ED 的延长线于点 F. (1)求证:△BDE≌△CDF; (2)当 AD⊥BC，AE=1，CF=2 时，求 AC 的长. 19. 如图，△ABC 中，点 E 在 BC 边上，AE=AB，将线段 AC 绕点 A 旋转到 AF 的位置，使得∠CAF=∠BAE.连接 EF，EF 与 AC 交于点 G. (1)求证:EF=BC; (2)若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC 的度数. 20. 已知 AB 是半径为 1 的圆 O 直径，C 是圆上一点，D 是 BC 延长线上一点， 过 D 点的直线交 AC 于 E 点，交 AB 于 F 点，且△AEF 为等边三角形． (1)求证：△DFB 是等腰三角形； (2)若 DA＝ 7AF，求证 CF⊥AB. 21. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，D 是 AB 边上一点(点 D 与 A，B 不重合)，连接 CD，将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90°得到线段 CE，连 接 DE 交 BC 于点 F，连接 BE. (1)求证:△ACD≌△BCE; (2)当 AD=BF 时，求∠BEF 的度数. 2021 中考数学 三轮专题冲刺：等腰三角形-答案 一、选择题 1. 【答案】D 【解析】 根据三角形内角和定理和等腰三角形的等边对等角且 AB AC ， 40A   ，可得： 70ABC ACB     ；然后根据两直线平行内错角相等且 //CD AB 可得： 70BCD ABC     ，所以选 D． 2. 【答案】B 【解析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，∵ AD 是等腰三角形 ABC 的顶 角平分线， 5BD ，∴CD=BD=5，因此本题选 B． 3. 【答案】[解析] A 因为 75＝5 3， 18＝3 2.当 5 3为腰长时，三角形的周 长为 10 3＋3 2；当 5 3为底边长时，因为 3 2＋3 2＝6 2＝ 72， 72< 75，所以不能构成三角形，故三角形的周长为 10 3＋3 2. 4. 【答案】B [解析]过点 B 作 BH⊥AO 于点 H， ∵△OAB 是等边三角形， ∴OH=1，BH= ，∴点 B 的坐标为(1， ). 5. 【答案】D 【解析】∵分别以点A、C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D， ∴AD=AC=CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°. ∵AB=BC，AD=CD，连接BD交AC于点E，∴BD垂直平分AC，∴∠AEB=90°. ∵∠BAC=30°， AB= 3 ，∴BE= 3 2 ，AE= 3 2 ，∴AC=3． 在Rt△ADE中，∵∠DAC=60°，∠AED=90°，AE= 3 2 ，∴DE= 3 32 ，∴ BD= 3 33 2 32 2 + = ， ∴四边形ABCD的面积为： 333322 1  ． 6. 【答案】C 【解析】由 CD 为腰上的高，I 为△ACD 的内心，则∠IAC＋∠ICA ＝1 2(∠DAC＋∠DCA)＝1 2(180°－∠ADC)＝1 2(180°－90°)＝45°，所以∠AIC＝180° －(∠IAC＋∠ICA)＝180°－45°＝135°.又可证△AIB≌△AIC，得∠AIB＝∠AIC ＝135°. 7. 【答案】A [解析] ∵AB∥ED， ∴∠E＝180°－∠EAB＝180°－120°＝60°. 又∵AD＝AE， ∴△ADE 是等边三角形． ∴∠EAD＝60°.∴∠BAD＝∠EAB－∠EAD＝120°－60°＝60°.∵AB＝AC＝AD， ∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠ADC.在四边形 ABCD 中，∠BCD＝∠B＋∠ADC ＝1 2(360°－∠BAD)＝1 2×(360°－60°)＝150°. 故选 A. 8. 【答案】 D 【解析】设 AQ＝x，则 BP＝5 2—x ①如图 1，当点 P 与 B 重合时，此时 QD 为最大，过点 Q 作 QE⊥AC，∵AQ＝5 2 ， ∴AE＝5 4 ，QE＝5 3 4 ，∴DE＝3 4 ，∴此时 QD＝ 21 2 ，即 0≤QD≤ 21 2 ；而3 3 2 ≤CP≤3， 两个范围没有交集，即不可能相等；①错误 ②若△AQD∽△BCP，则AD BP ＝AQ BC ，代入得 2x2—5x+3＝0，解得 x1＝1，x2＝3 2 ， ∴都存在，∴②正确； ③如图 2，过点 D 作 DE⊥AB，过点 P 作 PF⊥BC，S 四边形 PCDQ=S△ABC—S△AQD—S △BPC＝ 3 4 ×32－1 2 x 3 4 －1 2×3× 3 4 （5 2 －x）＝ 3 4 x ＋21 3 16 ，∵5 2—x≥0，即 x≤5 2 ，∴ 当 x=5 2 时面积最大为31 3 16 ；③正确； ④如图，将 D 沿 AB 方向平移1 2 个单位得到 E，连接 PE，即四边形 PQDE 为平行 四边形，∴QD=PE，四边形周长为 PQ+QD+CD+CP=3+PE+PC，即求 PE+PC 的 最小值，作点 E 关于 AB 的对称点 F，连接 CF，线段 CF 的长即为 PE+PC 的最 小值；过点 D 作 DG⊥AB，∴AG＝1 4 ，EN=FN=HM= 3 4 ，∴CH＝3 3 2 ＋ 3 4 ＝7 3 4 ， FH＝MN＝3 2 －1 4 －1 2 ＝3 4 ，∴FC＝ 39 2 ，∴四边形 PCDQ 周长的最小值为 3＋ 39 2 ， ④错误. 二、填空题 9. 【答案】36° [解析]∵等腰三角形的一个底角为 72°， ∴这个等腰三角形的顶角为 180°-72°×2=36°. 10. 【答案】②③④ 【解析】 序号 正误 逐项分析 ① × △BAD 与△ACD 中，虽有两角和一边相等，但不是对应关系的 角和边，所以不能判定两三角形全等 ，因而也就不能得出 AB＝ AC ② √ ∠BAD＝∠CAD 结合 AD 是△ABC 的边 BC 上的高，可得∠B＝ ∠C，所以 AB＝AC，因而△ABC 是等腰三角形 ③ √ 由于 AD 是△ABC 的边 BC 上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°， 因而 AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋ CD)(AC－CD)，由 AB＋BD＝AC＋CD ，得 AB－BD＝AC－CD ， 两式相加得 2AB＝2AC，所以，AB＝AC，得△ABC 是等腰三角 形 ④ √ 由于 AD 是△ABC 的边 BC 上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°， 因而 AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋ CD)(AC－CD)，由 AB－BD＝AC－CD ，得 AB＋BD＝AC＋CD ， 两式相加得 2AB＝2AC，所以 AB＝AC，得△ABC 是等腰三角形 11. 【答案】30° 【解析】本题考查了等边三角形和等腰三角形以及垂直平分线的性质．因为 FE 垂直平分 BC，∴ FC＝FB ∴∠B＝∠BCF ∵△ACF 是等边三角形，∴∠AFC ＝60° ，∴ ∠B＝30° 12. 【答案】（ 5 3 3 -1.6）． 【解析】如图，过点 A 作 AM CM 于 M，则 CM=5m，在 Rt△BCM 中，∠BCM ＝30°,所以 BM=CM tan30°= 5 3 3 .由题意可知△DCN 是等腰直角三角形，所以 CN=CD=3.4m,所以 MN=5-3.4=1.6(m),因为△AMN 是等腰直角三角形，所以 MN=AM=1.6m，所以 AB=BM-AM=（ 5 3 3 -1.6）m.故答案为（ 5 3 3 -1.6）． 13. 【答案】30 [解析] ∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC. ∵∠OBM＝∠OBC， ∴∠MOB＝∠OBM. ∴MO＝MB.同理 NO＝NC. ∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30. 14. 【答案】3 3 【解析】如图 1，根据两点之间线段最短，可得 CE+EF≥CF，又根据垂线段最短 可得，当 CF⊥AB 时，CF 有最小值，此时 CF 与 AD 的交点即为点 E（如图 2）， 在 Rt△AFC 中，AC=6，∠AFC=90°，∠FAC=60°，∴FC=AC·sin60°=6× 3 2 =3 3 ． 图 1 图 2 15. 【答案】2 [解析]如图，作 AG⊥BC 于 G， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B=60°， ∴AG= AB=2 ， 连接 AD，则 S△ABD+S△ACD=S△ABC， ∴ AB·DE+ AC·DF= BC·AG， ∵AB=AC=BC=4， ∴DE+DF=AG=2 . 16. 【答案】3 3 －2 【解析】延长 AD、BC 交于点 P， 作 MH⊥PB 于 H. ∵AB∥CD，∴ PD AD ＝ PC BC ，∠ABC＝∠DCP＝60°.∵AD＝BC＝CD＝4，∴PD＝ PC，∴△PDC 为等边三角形，∴PD＝PC＝CD＝4，∠P＝60°. 由∠AMD＝90°， 可知点 M 在以 AD 为直径的⊙E 上，且在四边形 ABCD 内的一个动点，根据垂 线段最短可知 E、M、H 三点共线时 MH 最小.在 Rt△PEH 中，EP＝6，∠P＝60°， ∴EH＝EP·sin60°＝3 3 ， ∴MH 的最小值＝EH－EM＝3 3 －2. 三、解答题 17. 【答案】 证明：在△BFD 和△CFE 中，∠ABE=∠ACD，∠DFB=∠CFE，BD=CE， ∴△BFD≌△CFE（AAS）.∴∠DBF=∠ECF.∵∠ABE=∠ACD∴∠DBF+∠ABE= ∠ECF+∠ACD. ∴∠ABC=∠ACB.∴ AB=AC.∴ △ ABC 是等腰三角形. 【解析】先利用三角形边边角的判定方法证明∠DBF=∠ECF，再根据等式的性 质，加上相等角得到∠ABC=∠ACB，等角对等边，得到 AB=AC.根据等腰三角 形定义得到△ ABC 是等腰三角形. 18. 【答案】 解:(1)证明:∵CF∥AB， ∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F. ∵AD 是 BC 边上的中线， ∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF. (2)∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2， ∴AB=AE+BE=1+2=3. ∵AD⊥BC，BD=CD， ∴AC=AB=3. 19. 【答案】 解:(1)证明:∵线段 AC 绕点 A 旋转到 AF 的位置，∴AC=AF. ∵∠CAF=∠BAE， ∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE，即∠EAF=∠BAC. 在△ABC 和△AEF 中，AB=AE，∠BAC=∠EAF，AC=AF， ∴△ABC≌△AEF(SAS)，∴EF=BC. (2)∵AE=AB，∴∠AEB=∠ABC=65°. ∵△ABC≌△AEF，∴∠AEF=∠ABC=65°， ∴∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF=180°-65°-65°=50°. ∵∠FGC 是△EGC 的外角，∠ACB=28°， ∴∠FGC=∠FEC+∠ACB=50°+28°=78°. 20. 【答案】 (1)证明：∵AB 为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵△AEF 是等边三角形， ∴∠EAF＝∠EFA＝60°， ∴∠ABC＝30°， ∴∠FDB＝∠EFA－∠B＝60°－30°＝30°，(2 分) ∴∠ABC＝∠FDB， ∴FB＝FD， ∴△BDF 是等腰三角形．(3 分) (2)解：设 AF＝a，则 AD＝ 7a， 解图 如解图，连接 OC，则△AOC 是等边三角形， 由(1)得，BF＝2－a＝DF， ∴DE＝DF－EF＝2－a－a＝2－2a，CE＝AC－AE＝1－a， 在 Rt△ADC 中，DC＝ （ 7a）2－1＝ 7a2－1， 在 Rt△DCE 中，tan30°＝CE DC ＝ 1－a 7a2－1 ＝ 3 3 ， 解得 a＝－2(舍去)或 a＝1 2 ，(5 分) ∴AF＝1 2 ， 在△CAF 和△BAC 中， CA AF ＝BA AC ＝2，且∠CAF＝∠BAC＝60°， ∴△CAF∽△BAC， ∴∠CFA＝∠ACB＝90°， 即 CF⊥AB.(6 分) 21. 【答案】 解:(1)证明:∵线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90°得到线段 CE， ∴∠DCE=90°，CD=CE. 又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DCE， ∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中，∵ ∴△ACD≌△BCE. (2)∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠A=45°， ∵△ACD≌△BCE， ∴AD=BE，∠CBE=∠A=45°. 又 AD=BF，∴BE=BF， ∴∠BEF=∠BFE= =67.5°.