2021 年中考数学考前模块过关最后冲刺靶向专题练习
（《解直角三角形及其应用》）
知识储备：
1.解直角三角形的常用关系：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，则：
（1）三边关系：a2+b2=c2；
（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；
（3）边与角关系：sinA=cosB= a
c
，cosA=sinB= b
c
，tanA= a
b
； 4）sin2A+cos2A=1．
2.解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：
靶向冲刺习题
1.如图，由边长为 1 的小正方形构成的网格中，点 A，B，C 都在格点上，以 AB
为直径的圆经过点 C、D，求sin ADC 的值.
2.如图，在 4 5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1， ABC 的顶点都
在这些小正方形的顶点上，那么sin ACB 的值为多少？
3.如图，在 ABC 中， 390 ,tan ,3C A ABC o 的平分线 BD 交 AC 于点
. 3D CD ．求 AB 的长？
4.如图，在矩形纸片 ABCD 中，AD＝10，AB＝8，将 AB 沿 AE 翻折，使点 B 落在 B
处，AE 为折痕；再将 EC 沿 EF 翻折，使点 C 恰好落在线段 EB'上的点C 处，EF
为折痕，连接 AC．若 CF＝3，则 tan B AC 等于多少？
5.如图，在矩形 ABCD中， 2AB ， 2 5BC ，E 是 BC 的中点，将 ABE△ 沿
直线 AE 翻折，点 B 落在点 F 处，连结CF ，则cos ECF 的值为多少？
6.如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平
地． / / ,BC AD BE AD ，斜坡 AB 长 26m，斜坡 AB 的坡比为 12∶5．为了减缓
坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不
超过 50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚 A 不动，则坡顶 B 沿 BC
至少向右移多少 m 时，才能确保山体不滑坡．（取 tan50 1.2 ）
7. 如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于 2019 年 12 月 18 日动工，
2020 年 2 月 28 日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该
桥的引桥两端各由 2 个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩
顶端 E 点距地面5m ，从 E 点处测得 D 点俯角为 30°，斜面 ED 长为 4m ，水平面
DC 长为 2m ，斜面 BC 的坡度为 1∶4，求处于同一水平面上引桥底部 AB 的长．（结
果精确到0.1m， 2 1.41, 3 1.73 ）．
8. 鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD ．如图所示，
一架水平飞行的无人机在 A 处测得正前方河流的左岸 C 处的俯角为 ，无人机沿
水平线 AF 方向继续飞行 50 米至 B 处，测得正前方河流右岸 D 处的俯角为
30°．线段 AM的长为无人机距地面的铅直高度，点 M、C、D 在同一条直线上．其
中 tan 2, 50 3MC 米．（1）求无人机的飞行高度 AM；（结果保留根号）（2）
求河流的宽度CD ．（结果精确到 1 米，参考数据： 2 1.41, 3 1.73 ）
9. 如图，某数学活动小组要测量建筑物 AB 的高度，他们借助测角仪和皮尺进
行了实地测量，测量结果如下表．
测量项目 测量数据
测角仪到地面的距离 1.6mCD
点 D 到建筑物的距离 4mBD
从C 处观测建筑物顶部 A的仰角 =67ACE
从C 处观测建筑物底部 B 的俯角 22BCE
请根据需要，从上面表格中选择 3 个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑
物 AB 的高度．（结果精确到 0.1 米，参考数据：
sin 67 0.92,cos67 0.39,tan 67 2.36 ．
sin 22 0.37, cos22 0.93,tan 22 0.40 ）（选择一种方法解答即可）
10. 如图，海上有一灯塔 P，位于小岛 A 北偏东 60°方向上，一艘轮船从北小岛
A 出发，由西向东航行 24nmile 到达 B 处，这时测得灯塔 P 在北偏东 30°方向上，
如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔 P 的正南方，此时轮船与灯
塔 P 的距离是多少 n mile ．（结果保留一位小数， 3 1.73 ）
11. 2020 年 5 月 27 日，2020 珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中
国科技“定义”世界新高度．其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一
个规标，找到 2 个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加．因为地球面并
不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于 300m
时，还要考虑球气差，球气差计算公式为 f＝
20.43d
R
（其中 d 为两点间的水平距
离，R 为地球的半径，R 取 6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高
度+测量点的海拔高度+球气差．
（问题解决）某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动．如
图，点 A，B 的水平距离 d＝800m，测量仪 AC＝1.5m，觇标 DE＝2m，点 E，D，B
在垂直于地面的一条直线上，在测量点 A 处用测量仪测得山项觇标顶端 E 的仰角
为 37°，测量点 A 处的海拔高度为 1800m．
（1）数据 6400000 用科学记数法表示为 ；
（2）请你计算该山的海拔高度．（要计算球气差，结果精确到 0.01m）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
12. 如图，海中有个小岛 A，一艘轮船由西向东航行，在点 B 处测得小岛 A 位于
它的东北方向，此时轮船与小岛相距 20 海里，继续航行至点 D 处，测得小岛 A
在它的北偏西 60°方向，此时轮船与小岛的距离 AD 为多少海里？
13. 如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度 AB ，在观
测点C 处测得大桥主架顶端 A的仰角为 30°，测得大桥主架与水面交汇点 B 的
俯角为 14°，观测点与大桥主架的水平距离CM 为 60 米，且 AB 垂直于桥面．（点
, , ,A B C M 在同一平面内）
（1）求大桥主架在桥面以上的高度 AM；（结果保留根号）
（2）求大桥主架在水面以上的高度 AB ．（结果精确到 1 米）（参考数据
sin14 0.24,cos14 0.97,tan14 0.25, 3 1.73 ）
14. 如图，△ABC、△FED 区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线 PB 与地面 BE 的央
角∠PBE＝43°，视线 PE 与地面 BE 的夹角∠PEB＝20°，点 A，F 为视线与车窗
底端的交点，AF // BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若 A 点到 B 点的距离 AB＝1.6m，则盲
区中 DE 的长度是多少？（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，
tan20°≈0.4）
15. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房
屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 AB
所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C 点测得屋顶 A的仰角为35，此
时地面上C 点、屋檐上 E 点、屋顶上 A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m 到
达点 D 时，又测得屋檐 E 点的仰角为60，房屋的顶层横梁 12EF m ， / /EF CB ，
AB 交 EF 于点G （点C ， D ， B 在同一水平线上）．（参考数据：sin 35 0.6 ，
cos 35 0.8 ， tan35 0.7 ， 3 1.7 ）
（1）求屋顶到横梁的距离 AG ；（2）求房屋的高 AB （结果精确到1m ）．
16. 如图 1 为搭建在地面上的遮阳棚，图 2、图 3 是遮阳棚支架的示意图．遮阳
棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块 E，H 可分别沿等长的立柱
AB，DC 上下移动，AF＝EF＝FG＝1m．（1）若移动滑块使 AE＝EF，求∠AFE 的度
数和棚宽 BC 的长．（2）当∠AFE 由 60°变为 74°时，问棚宽 BC 是增加还是减
少？增加或减少了多少？（结果精确到 0.1m．参考数据： 3 ≈1.73，
sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
17. 今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等
问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图 1，机器人工作时，行人抬
手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时
机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．
（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样
采集某一地区居民的身高数据：
测量对象 男性（18～60 岁） 女性（18～55 岁）
抽样人（人） 2000 5000 20000 2000 5000 20000
平均身高（厘米） 173 175 176 164 165 164
根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用
厘米，女性应采用 厘米；（2）如图 2，一般的，人抬手的高度与身高之
比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点 P 距地
面 105 厘米．指示牌挂在两臂杆 AB，AC 的连接点 A 处，A 点距地面 110 厘米．臂
杆落下时两端点 B，C 在同一水平线上，BC＝100 厘米，点 C 在点 P 的正下方 5
厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．（参考数据表）
计算器按键顺序
计算
结果
（近
似
值）
计算器按键顺序
计算
结果
（近
似值）
0.1 78.
7
0.2
84.
3
1.7 5.7
3.5
11.
3
18. 位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界
文化遗产之一．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，
他们在地面一条水 平步道 MP 上架设测角仪，先在点 M 处测得观星台最高点 A
的仰角为 22，然后沿 MP 方向前进16m到达点 N 处，测得点 A的仰角为 45．测
角仪的高度为1.6m，
1 求观星台最高点 A距离地面的高度(结果精确到0.1m ．参考数据：
22 0.37, 22 0.93, 22 0.40, 2 1.41sin cos tan )；
2 “景点简介”显示，观星台的高度为12.6m ，请计算本次测量结果的误差，
并提出一条减小误差的合理化建议．
2021 年中考数学考前模块过关最后冲刺靶向专题练习
（《解直角三角形及其应用》）（解析版）
知识储备：
1.解直角三角形的常用关系：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，则：
（1）三边关系：a2+b2=c2；
（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；
（3）边与角关系：sinA=cosB= a
c
，cosA=sinB= b
c
，tanA= a
b
； 4）sin2A+cos2A=1．
2.解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：
靶向冲刺习题
1.如图，由边长为 1 的小正方形构成的网格中，点 A，B，C 都在格点上，以 AB
为直径的圆经过点 C、D，求sin ADC 的值.
【详解】∵ ADC 和∠ABC 所对的弧长都是 AC ，∴根据圆周角定理知，∠ABC
＝ ADC ，
∴在 Rt△ACB 中，AB= 2 2 2 22 3 13AC BC
根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝
2 2 13
1313
AC
AB
，∴sin ADC =
2 13
13
2.如图，在 4 5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1， ABC 的顶点都
在这些小正方形的顶点上，那么sin ACB 的值为多少？
【详解】解：如图，过点 A 作 AD BC 于点 D，则 90ADC ，
∴ 2 2 5AC AD CD ，∴
4sin 5
ADACB AC
3.如图，在 ABC 中， 390 ,tan ,3C A ABC o 的平分线 BD 交 AC 于点
. 3D CD ．求 AB 的长？
【详解】解：在 Rt ABC 中， 390 , 3C tanA o 30 , 60 ,A ABC o o
BDQ 是 ABC 的平分线， 30 ,CBD ABD 又 3,CD Q
330
CDBC tan
o ，
在 Rt ABC 中， 90 , 30 C A ，
630
BCAB sin
．
4. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AD＝10，AB＝8，将 AB 沿 AE 翻折，使点 B 落在 B
处，AE 为折痕；再将 EC 沿 EF 翻折，使点 C 恰好落在线段 EB'上的点C 处，EF
为折痕，连接 AC．若 CF＝3，则 tan B AC 等于多少？
【详解】解：连接 AF，设 CE＝x，则 C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，∴2x2﹣20x+173＝125，解得，x＝4 或 6，
当 x＝6 时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍
去，
∴CE＝C′E＝4，∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，∴tan∠B'AC′＝ ' '
' '
B C
A B
= 2 1
8 4
．故答案为：
1
4
．
5.如图，在矩形 ABCD中， 2AB ， 2 5BC ，E 是 BC 的中点，将 ABE△ 沿
直线 AE 翻折，点 B 落在点 F 处，连结CF ，则cos ECF 的值为多少？
【详解】解：由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，
∵点 E 是 BC 中点， 2 5BC ，∴BE=CE=EF= 5 ，∴∠EFC=∠ECF，
AE= 222 5 3 ，
∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF，∴∠ECF=∠AEB，∴cos ECF =cos AEB =
6.如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平
地． / / ,BC AD BE AD ，斜坡 AB 长 26m，斜坡 AB 的坡比为 12∶5．为了减缓
坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不
超过 50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚 A 不动，则坡顶 B 沿 BC
至少向右移多少 m 时，才能确保山体不滑坡．（取 tan50 1.2 ）
【详解】解：如图，设点 B 沿 BC 向右移动至点 H，使得∠HAD=50°，过点 H 作
HF⊥AD 于点 F，
∵AB=26，斜坡 AB 的坡比为 12∶5，则设 BE=12a，AE=5a，
∴ 2 2 212 5 26a a ，解得：a=2，∴BE=24，AE=10，∴HF=BE=24，
∵∠HAF=50°，则 24tan50 1.2HF
AF AF
，解得：AF=20，∴BH=EF=20-10=10，
故坡顶 B 沿 BC 至少向右移 10 m 时，才能确保山体不滑坡
7. 如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于 2019 年 12 月 18 日动工，
2020 年 2 月 28 日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该
桥的引桥两端各由 2 个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩
顶端 E 点距地面5m ，从 E 点处测得 D 点俯角为 30°，斜面 ED 长为 4m ，水平面
DC 长为 2m ，斜面 BC 的坡度为 1∶4，求处于同一水平面上引桥底部 AB 的长．（结
果精确到0.1m， 2 1.41, 3 1.73 ）．
【详解】解：如图，延长CD ，与 AE 相交于 F，过点 D、C 两点分别作 AB 的垂
线交 AB 于点 G、H，则在 Rt DEF△ 中， 4, 30 , 2DE EDF EF ，
3cos30 4 2 32DF DE AG
2, 5 2 3GH DC CH AF ，在 Rt BCH 中， : 1: 4, 12CH BH BH
2 3 2 12 17.46 17.5(m)AB AG GH BH
答：引桥桥墩底端 A 点到起点 B 之间的距离为17.5m．
8. 鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD ．如图所示，
一架水平飞行的无人机在 A 处测得正前方河流的左岸 C 处的俯角为 ，无人机沿
水平线 AF 方向继续飞行 50 米至 B 处，测得正前方河流右岸 D 处的俯角为
30°．线段 AM的长为无人机距地面的铅直高度，点 M、C、D 在同一条直线上．其
中 tan 2, 50 3MC 米．（1）求无人机的飞行高度 AM；（结果保留根号）（2）
求河流的宽度CD ．（结果精确到 1 米，参考数据： 2 1.41, 3 1.73 ）
【详解】（1）由题意可得 AF∥MD∴∠ACM=∠FAC=
在 Rt△ACM 中，AM=CMtan∠ACM=CM tan 50 3 2 100 3 (米);
（2）如图，过点 B 作 BH⊥MD，在 Rt△BDH 中，∠BDH=∠FBD=30°，BH=100 3
∴DH=BH÷tan30°=100 3 ÷ 3
3
=300 米，∵AM⊥DM，AM⊥AF∴四边形 ABHM 是矩
形
∴MH=AB=50 米∴CH=CM-MH=50 3 -50(米)∴CD=DH-CH=300-（50 3 -50）
=350-50 3 ≈263（米）
故河流的宽度CD 为 263 米．
9. 如图，某数学活动小组要测量建筑物 AB 的高度，他们借助测角仪和皮尺进
行了实地测量，测量结果如下表．
测量项目 测量数据
测角仪到地面的距离 1.6mCD
点 D 到建筑物的距离 4mBD
从C 处观测建筑物顶部 A的仰角 =67ACE
从C 处观测建筑物底部 B 的俯角 22BCE
请根据需要，从上面表格中选择 3 个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑
物 AB 的高度．（结果精确到 0.1 米，参考数据：
sin 67 0.92,cos67 0.39,tan 67 2.36 ．
sin 22 0.37, cos22 0.93,tan 22 0.40 ）（选择一种方法解答即可）
【详解】解：第一种选择：选取 1.6 , 4 , 67CD m BD m ACE ‘
, ,CD BD AB BD CE AB 90ABD D BEC
∴四边形 BDCE 为矩形 4 , 1.6CE BD m BE CD m
CE AB 90AEC 在 Rt ACE△ 中， tan AFACE CE
tan 4tan67 4 2.36 9.44AE CE ACE
9.44 1.6 11.04 11.0(m)AB AE BE 答：建筑物 AB 的高度约为11.0m．
第二种选择选取 1.6m ,, 67 22CD ACE BCE
, ,CD BD AB BD CE AB 90ABD D BEC
∴四边形 BDCE 为矩形 1.6BE CD m
在 Rt BCEV 中， BEtan BCE CE
1.6 1.6 4tan 22 0.4CE m
CE AB 90AEC 在 Rt ACE△ 中， tan AEACE CE
tan 4tan67 4 2.36 9.44AE CE ACE m
9.44 1.6 11.04 11.0(m)AB AE BE 答：建筑物 AB 的高度的为11.0m．
第三种选择选取 4mBD ， ,67 22ACE BCE
, ,CD BD AB BD CE AB 90ABD D BEC
∴四边形 BDCE 为矩形 4CE BD m 在 Rt BCEV 中， tan BEBCE CE
4tan 22 4 0.4 1.6BE m CE AB 90AEC
在 Rt ACE 中， tan AEACE CE
tan 4tan67 4 2.76 9.44AE CE ACE m
9.44 1.6 11.04 11.0(m)AB AE BE 答：建筑物 AB 的高度约为11.0m．
10. 如图，海上有一灯塔 P，位于小岛 A 北偏东 60°方向上，一艘轮船从北小岛
A 出发，由西向东航行 24nmile 到达 B 处，这时测得灯塔 P 在北偏东 30°方向上，
如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔 P 的正南方，此时轮船与灯
塔 P 的距离是多少 n mile ．（结果保留一位小数， 3 1.73 ）
【详解】解：过 P 作 PD⊥AB 于 D，∵AB=24，
∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBD=90°-30°=60°，∴∠BPD=30°，
∴∠APB=30°，即∠PAB=∠APB，∴AB=BP=24，
在直角△PBD 中，PD=BP•sin∠PBD=24× 3
2
=12 3 ≈20.8.故答案为：20.8.
11. 2020 年 5 月 27 日，2020 珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中
国科技“定义”世界新高度．其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一
个规标，找到 2 个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加．因为地球面并
不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于 300m
时，还要考虑球气差，球气差计算公式为 f＝
20.43d
R
（其中 d 为两点间的水平距
离，R 为地球的半径，R 取 6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高
度+测量点的海拔高度+球气差．
（问题解决）某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动．如
图，点 A，B 的水平距离 d＝800m，测量仪 AC＝1.5m，觇标 DE＝2m，点 E，D，B
在垂直于地面的一条直线上，在测量点 A 处用测量仪测得山项觇标顶端 E 的仰角
为 37°，测量点 A 处的海拔高度为 1800m．
（1）数据 6400000 用科学记数法表示为 ；
（2）请你计算该山的海拔高度．（要计算球气差，结果精确到 0.01m）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【详解】解：（1）6400000＝6.4×106，故答案为 6.4×106．
（2）如图，过点 C 作 CH⊥BE 于 H．
由题意 AB＝CH＝800m，AC＝BH＝1.5m，在 Rt△ECH 中，EH＝CH•tan37°≈600（m），
∴DB＝600﹣DE+BH＝599.5（m），由题意 f＝
20.43 800
6400000
≈0.043（m），
∴山的海拔高度＝599.5+0.043+1800≈2399.54（m）．
12. 如图，海中有个小岛 A，一艘轮船由西向东航行，在点 B 处测得小岛 A 位于
它的东北方向，此时轮船与小岛相距 20 海里，继续航行至点 D 处，测得小岛 A
在它的北偏西 60°方向，此时轮船与小岛的距离 AD 为多少海里？
【详解】如图，过点 A 作 AC⊥BD，依题意可得∠ABC=45°
∴△ABC 是等腰直角三角形，AB=20(海里)∴AC=BC=ABsin45°=10 2 (海里)
在 Rt△ACD 中，∠ADC=90°-60°=30°∴AD=2AC=20 2 (海里)故答案为：20 2 ．
13. 如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度 AB ，在观
测点C 处测得大桥主架顶端 A的仰角为 30°，测得大桥主架与水面交汇点 B 的
俯角为 14°，观测点与大桥主架的水平距离CM 为 60 米，且 AB 垂直于桥面．（点
, , ,A B C M 在同一平面内）
（1）求大桥主架在桥面以上的高度 AM；（结果保留根号）
（2）求大桥主架在水面以上的高度 AB ．（结果精确到 1 米）（参考数据
sin14 0.24,cos14 0.97,tan14 0.25, 3 1.73 ）
【详解】解：（1） ABQ 垂直于桥面 90 AMC BMC
在 Rt AMC△ 中， 60, 30 CM ACM
tan AMACM CM
3tan30 60 20 33
AM CM （米）
答：大桥主架在桥面以上的高度 AM为 20 3 米．
（2）在 Rt BMC△ 中， 60, 14 CM BCM
tan MBBCM CM tan14 60 0.25 15 MB CM
AB AM MB 15 20 3 50 AB （米）答：大桥主架在水面以上的高度 AB
约为 50 米．
14. 如图，△ABC、△FED 区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线 PB 与地面 BE 的央
角∠PBE＝43°，视线 PE 与地面 BE 的夹角∠PEB＝20°，点 A，F 为视线与车窗
底端的交点，AF // BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若 A 点到 B 点的距离 AB＝1.6m，则盲
区中 DE 的长度是多少？（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，
tan20°≈0.4）
【详解】∵FD⊥AB，AC⊥EB，∴DF∥AC，∵AF∥EB，∴四边形 ACDF 是平行四边
形，
∵∠ACD＝90°，∴四边形 ACDF 是矩形，∴DF＝AC，
在 Rt△ACB 中，∵∠ACB＝90°，∠ABE=43°，∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝
1.12（m），∴DF＝AC＝1.12（m），
在 Rt△DEF 中，∵∠FDE＝90°，∠PEB=20°，∴tan∠PEB＝
DF
DE ≈0.4，∴
DE≈
1.12
0.4 ＝2.8（m）
15. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房
屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 AB
所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C 点测得屋顶 A的仰角为35，此
时地面上C 点、屋檐上 E 点、屋顶上 A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m 到
达点 D 时，又测得屋檐 E 点的仰角为60，房屋的顶层横梁 12EF m ， / /EF CB ，
AB 交 EF 于点G （点C ， D ， B 在同一水平线上）．（参考数据：sin 35 0.6 ，
cos 35 0.8 ， tan35 0.7 ， 3 1.7 ）
（1）求屋顶到横梁的距离 AG ；（2）求房屋的高 AB （结果精确到1m ）．
【详解】解：（1）∵房屋的侧面示意图是轴对称图形， AB 所在直线是对称轴，
/ /EF CB ，
∴ AG EF ， 1 62EG EF ， 35AEG ACB ．
在 Rt AGE 中， 90AGE ， 35AEG °，∵ tan AEG AG
EG
， 6EG ，
tan35 0.7 ．
∴ 6tan35 42AG ° （米）答：屋顶到横梁的距离 AG 约是 4.2 米．
（2）过点 E 作 EH CB 于点 H ，设 EH x ，在 Rt EDH 中， 90EHD ，
60EDH °，
∵ tan EHEDH DH
，∴
tan 60
xDH ° ，在 Rt ECH 中， 90EHC ， 35ECH °，
∵ tan EHECH CH
，∴
tan35
xCH ° ．∵ 8CH DH CD ，∴
8tan35 tan 60
x x ° ° ，
∵ tan35 0.7 ， 3 1.7 ，解得 9.52x ．
∴ 4.2 9.52 13.72 14AB AG BG （米）答：房屋的高 AB 约是 14 米．
16. 如图 1 为搭建在地面上的遮阳棚，图 2、图 3 是遮阳棚支架的示意图．遮阳
棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块 E，H 可分别沿等长的立柱
AB，DC 上下移动，AF＝EF＝FG＝1m．（1）若移动滑块使 AE＝EF，求∠AFE 的度
数和棚宽 BC 的长．（2）当∠AFE 由 60°变为 74°时，问棚宽 BC 是增加还是减
少？增加或减少了多少？（结果精确到 0.1m．参考数据： 3 ≈1.73，
sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【详解】解：（1）∵AE＝EF＝AF＝1,∴△AEF 是等边三角形,∴∠AFE＝60°,
连接 MF 并延长交 AE 于 K，则 FM＝2FK,∵△AEF 是等边三角形,∴AK＝ 1
2
,
∴ 2 2 3
2FK AF AK ,∴FM＝2FK＝ 3 ,∴BC＝4FM＝4 3 ≈6.92≈6.9
（m）;
（2）∵∠AFE＝74°,∴∠AFK＝37°,∴KF＝AF•cos37°≈0.80,
∴FM＝2FK＝1.60,∴BC＝4FM＝6.40＜6.92,6.92﹣6.40＝0.5,
答：当∠AFE 由 60°变为 74°时,棚宽 BC 是减少了，减少了 0.5m.
17. 今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等
问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图 1，机器人工作时，行人抬
手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时
机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．
（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样
采集某一地区居民的身高数据：
测量对象 男性（18～60 岁） 女性（18～55 岁）
抽样人数（人） 2000 5000 20000 2000 5000 20000
平均身高（厘
米）
173 175 176 164 165 164
根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用
厘米，女性应采用 厘米；（2）如图 2，一般的，人抬手的高度与身高之
比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点 P 距地
面 105 厘米．指示牌挂在两臂杆 AB，AC 的连接点 A 处，A 点距地面 110 厘米．臂
杆落下时两端点 B，C 在同一水平线上，BC＝100 厘米，点 C 在点 P 的正下方 5
厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．（参考数据表）
计算器按键顺序
计算
结果
（近
似
值）
计算器按键顺序
计算
结果
（近
似值）
0.1
78.
7
0.2
84.
3
1.7 5.7
3.5
11.
3
【详解】解：（1）用表格可知，男性应采用 176 厘米，女性应采用 164 厘米，故
答案为：176，164；
（2）如图 2 中，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝FC＝50cm，∠FAC＝∠FAB，
由题意 AF＝10cm，∴tan∠FAC＝ FC
AF
＝ 50
10
＝5，∴∠FAC＝78.7°，
∴∠BAC＝2∠FAC＝157.4°，答：两臂杆的夹角为 157.4°．
18. 位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界
文化遗产之一．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，
他们在地面一条水 平步道 MP 上架设测角仪，先在点 M 处测得观星台最高点 A
的仰角为 22，然后沿 MP 方向前进16m到达点 N 处，测得点 A的仰角为 45．测
角仪的高度为1.6m，
1 求观星台最高点 A距离地面的高度(结果精确到0.1m ．参考数据：
22 0.37, 22 0.93, 22 0.40, 2 1.41sin cos tan )；
2 “景点简介”显示，观星台的高度为12.6m ，请计算本次测量结果的误差，
并提出一条减小误差的合理化建议．
【详解】解：（1）如图，过点 A 作 AE⊥MN 交 MN 的延长线于点 E，交 BC 的延长
线于点 D，
设 AD 的长为 xm，∵AE⊥ME，BC∥MN，∴AD⊥BD，∠ADC=90°，
∵∠ACD=45°，∴CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，由题易得，四边形 BMNC 为
矩形，
∵AE⊥ME，∴四边形 CNED 为矩形，∴DE=CN=BM=1.6m，
在 Rt△ABD 中， tan ABD= 0.4016
AD x
BD x
∠ ，解得： 10.7x ，
即 AD=10.7m，AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3m，答：观星台最高点 A 距离地面的高度
为 12.3m．
（2）本次测量结果的误差为：12.6-12.3=0.3m，减小误差的合理化建议：多次
测量，求平均值．
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