高二数学人教A版选择性必修第二册第五章5.1.1　变化率问题同步练习

2021 年高中数学人教 A 版（新教材）选择性必修第二册 5.1.1 变化率问题 一、选择题 1．函数 f (x)＝x2－1 在区间[1，m]上的平均变化率为 3，则实数 m 的值为( ) A．3 B．2 C．1 D．4 2．已知一直线运动的物体，当时间从 t 变到 t＋Δt 时物体的位移为Δs，那么lim Δt→0 Δs Δt 为( ) A．时间从 t 变到 t＋Δt 时物体的速度 B．在 t 时刻该物体的瞬时速度 C．当时间为Δt 时物体的速度 D．时间从 t 变到 t＋Δt 时物体的平均速度 3．若函数 f (x)在 x0 处有定义，则lim h→0 fx0＋h－fx0 h 的结果( ) A．与 x0，h 均无关 B．仅与 x0 有关，而与 h 无关 C．仅与 h 有关，而与 x0 无关 D．与 x0，h 均有关 4．在 x＝1 附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝1 x 中，平均变化 率最大的是( ) A．④ B．③ C．② D．① 5．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是 5.0×105 m/s2，枪弹从枪口 射出时所用时间为 1.6×10－3 s，则枪弹射出枪口时的瞬时速度为( ) A．800 m/s B．600 m/s C．200 m/s D．400 m/s 6．(多选题)一做直线运动的物体，其位移 s(单位：m)与时间 t(单位：s)的关系是 s＝3t－t2. 则下列正确的是（ ） A．此物体的初速度是 3 m/s B．此物体在 t＝2 时的瞬时速度大小为 1 m/s，方向与初速度相反 C．t＝0 到 t＝2 时平均速度 1 m/s D．t＝3 s 时的瞬时速度为 0 m/s 7．已知函数 f (x)在 x0 处的导数为 1，则lim Δx→0 fx0＋2Δx－fx0 Δx 等于( ) A．2 B．－2 C．1 D．－1 二、填空题 8．已知函数 y＝2 x ＋3，当 x 由 2 变到 1.5 时，函数的增量Δy＝________. 9．已知汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]， [t2，t3]上的平均速度分别为 v1 ，v2 ，v3 ，则三者的大小关系为________．(由大到小排列) 10．一物体位移 s 和时间 t 的关系是 s＝2t－3t2，则物体的初速度是__________． 11．一质点按照运动规律 s＝2t2－t 运动，其中 s 表示位移，t 表示时间，则质点在[2，2＋ Δt]这段时间内的平均速度是________，在 t＝2 时的瞬时速度是________． 12．某堆雪在融化过程中，其体积 V(单位：m3)与融化时间 t(单位：h)近似满足函数关系： V(t)＝H 10－ 1 10t 3 (H 为常数)其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度 为 v (m3/h)．那么 t1，t2，t3，t4 中，瞬时融化速度等于 v (m3/h)的时刻是图中的________． 三、解答题 13．若函数 f (x)＝ax2＋c，且 f ′(1)＝2，求 a 的值． 14．若一物体的运动时间 t(单位：s)与位移 s(单位：m)的函数关系式为 s＝ 3t2＋2， 0≤t＜3， 29＋3t－32，t≥3， 求此物体在 t＝1 和 t＝5 时的瞬时速度． 15．试比较正弦函数 y＝sin x 在 x＝0 和 x＝π 2 附近的平均变化率哪一个大． 参考答案 一、选择题 1．答案：B 解析：由已知得：m2－1－12－1 m－1 ＝3， ∵m－1≠0，∴m＋1＝3，∴m＝2. 2．答案：B 解析：Δs Δt 表示从时间 t 到 t＋Δt 时物体的平均速度，从而lim Δt→0 Δs Δt 表示在 t 时刻该物体的瞬时 速度．选 B. 3．答案：B 解析：根据曲线在某点处切线斜率的意义知，该极限值只与 x0 有关，而与 h 没有关系．] 4．答案：B 解析：Δx＝0.3 时，①y＝x 在 x＝1 附近的平均变化率 k1＝1；②y＝x2 在 x＝1 附近的平均变 化率 k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3 在 x＝1 附近的平均变化率 k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝1 x 在 x＝1 附近的平均变化率 k4＝－ 1 1＋Δx ＝－10 13.∴k3＞k2＞k1＞k4，故应选 B. 5．答案：A 解析：位移公式为 s＝1 2at2，∵Δs＝1 2a(t0＋Δt)2－1 2at2 0＝at0Δt＋1 2a(Δt)2 ， ∴Δs Δt ＝at0＋1 2aΔt，∴lim Δt→0 Δs Δt ＝lim Δt→0 at0＋1 2aΔt ＝at0， 已知 a＝5.0×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s，∴at0＝800 m/s. 所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为 800 m/s. 6．答案：ABC 解析：A 中，初速度 v0＝lim Δt→0 s0＋Δt－s0 Δt ＝lim Δt→0 3Δt－Δt2 Δt ＝lim Δt→0 (3－Δt)＝3(m/s)． 即物体的初速度为 3 m/s.即 A 正确； B 中，v＝lim Δt→0 s2＋Δt－s2 Δt ＝lim Δt→0 32＋Δt－2＋Δt2－3×2－4 Δt ＝lim Δt→0 －Δt2－Δt Δt ＝lim Δt→0 (－Δt－1)＝－1(m/s)． 即此物体在 t＝2 时的瞬时速度为 1 m/s，方向与初速度相反．即 B 正确． C 中， v ＝s2－s0 2－0 ＝6－4－0 2 ＝1(m/s)． 即 t＝0 到 t＝2 时的平均速度为 1 m/s.即 C 正确． D 中，v＝lim Δx→0 33＋Δx－3＋Δx2－3×3－32 Δx ＝lim Δx→0 (－3－Δx)＝－3.故 D 错误， 故应选 ABC. 7．答案：A 解析：lim Δx→0 fx0＋2Δx－fx0 Δx ＝2lim Δx→0 fx0＋2Δx－fx0 2Δx ＝2f ′(x0)＝2×1＝2，故选 A. 二、填空题 8．1 3 解析：Δy＝f (1.5)－f (2)＝ 2 1.5 ＋3 － 2 2 ＋3 ＝4 3 －1＝1 3. 9. v3 ＞ v2 ＞ v1 解析：∵ v1 ＝st1－st0 t1－t0 ＝kOA， v2 ＝st2－st1 t2－t1 ＝kAB， v3 ＝st3－st2 t3－t2 ＝kBC.又∵由图象得 kOA＜kAB＜kBC，∴ v3 ＞ v2 ＞ v1 . 10．答案：2 解析：物体的速度为 v＝s′(t)， ∴s′(t)＝lim Δt→0 st＋Δt－st Δt ＝lim Δt→0 2t＋Δt－3t＋Δt2－2t＋3t2 Δt ＝lim Δt→0 2Δt－6tΔt－3Δt2 Δt ＝2－6t. 即 v＝2－6t，所以物体的初速度是 v0＝2－6×0＝2.] 11．答案：7＋2Δt 7 解析： v ＝Δs Δt ＝22＋Δt2－2＋Δt－2×22－2 Δt ＝2Δt2＋7Δt Δt ＝7＋2Δt，v＝lim Δt→0 (7＋2Δt)＝7. 12．答案：t3 解析： V ＝V100－V0 100－0 ，反映的是 V(t)图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知 t3 处瞬时 速度(即切线的斜率)与平均速度一致． 三、解答题 13．解： ∵f (1＋Δx)－f (1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx. ∴f ′(1)＝lim Δx→0 f1＋Δx－f1 Δx ＝lim Δx→0 aΔx2＋2aΔx Δx ＝lim Δx→0 (aΔx＋2a)＝2a， 即 2a＝2，∴a＝1. 14．解： 当 t＝1 时，s＝3t2＋2， ∴v＝lim Δt→0 Δs Δt ＝lim Δt→0 31＋Δt2＋2－3×12＋2 Δt ＝lim Δt→0 (6＋3Δt)＝6. 当 t＝5 时，s＝29＋3(t－3)2， ∴v＝lim Δt→0 29＋3Δt＋22－29－3×22 Δt ＝lim Δt→0 (3Δt＋12)＝12. 故此物体在 t＝1 和 t＝5 时的瞬时速度分别是 6 m/s 和 12 m/s 15．解：当自变量从 0 变到Δx 时，函数的平均变化率为 k1＝sin Δx－sin 0 Δx ＝sin Δx Δx . 当自变量从π 2 变到Δx＋π 2 时，函数的平均变化率为 k2＝ sin π 2 ＋Δx －sinπ 2 Δx ＝cos Δx－1 Δx . 由于是在 x＝0 和 x＝π 2 附近的平均变化率， 故可知Δx 较小，但Δx 即可为正，又可为负． 当Δx＞0 时，k1＞0，k2＜0，即 k1＞k2； 当Δx＜0 时，k1－k2＝sin Δx Δx －cos Δx－1 Δx ＝sin Δx－cos Δx＋1 Δx ＝ 2sin Δx－π 4 ＋1 Δx . ∵Δx＜0，∴Δx－π 4 ＜－π 4 ，∴sin Δx－π 4 ＜－ 2 2 ， 从而有 2sin Δx－π 4 ＜－1， 2sin Δx－π 4 ＋1＜0，∴k1－k2＞0，即 k1＞k2. 综上可知，正弦函数 y＝sin x 在 x＝0 附近的平均变化率大于在 x＝π 2 附近的平均变化率．