中考数学第三轮冲刺复习：三角形压轴题综合训练

2021年中考数学第三轮冲刺复习：三角形 压轴题综合训练 1、如图， ABC 中，D 是 AB 上一点，DE AC 于点 E ，F 是 AD 的中点，FG BC 于点G ，与 DE 交于点 H ，若 FG AF ， AG 平分 CAB ，连接GE ，GD . （1）求证： ECG GHD   ； （2）小亮同学经过探究发现： AD AC EC  .请你帮助小亮同学证明这一结论. （3）若 30B   ，判定四边形 AEGF 是否为菱形，并说明理由. 2、如图，△ABD中，∠ABD＝∠ADB． （1）作点A关于BD的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，连接BC，DC，连接AC，交BD于点O． ①求证：四边形ABCD是菱形； ②取BC的中点E，连接OE，若OE＝ ，BD＝10，求点E到AD的距离． 3、已知：△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接 AE、BD 交于点 O．AE 与 DC 交于点 M，BD 与 AC 交于点N． （1）如图 1，求证：AE=BD； （2）如图 2，若 AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中四对全等的直角三角 形． 4、在△ABC中，∠ABC＝90°、 (1) 如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN (2) 如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC＝ 5 52 ，求tanC的值 (3) 如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC＝ 5 3 ， 5 2 AC AD ，直接写出tan ∠CEB的值 5、已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE绕点A按顺时针方向旋 转一个角度α（0°＜α＜90°）得到△AD'E′，连接BD′、CE′，如图1． （1）求证：BD′=CE'； （2）如图2，当α=60°时，设AB与D′E′交于点F，求 的值． 6、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同 时动点Q从点A出发以 cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动 时间为t（s）． （1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？ （2）是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请 说明理由； （3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式． 7、（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目： 如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO= ，BO：CO=1：3，求AB的 长． 经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如 图2）． 请回答：∠ADB= °，AB= ． （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO= ，∠ABC=∠ACB=75°，BO： OD=1：3，求DC的长． 8、已知在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB≥AC，D，E 分别为 AC，BC 边上的点（不包括端点），且 = =m， 连结 AE，过点 D 作 DM⊥AE，垂足为点 M，延长 DM 交 AB 于点 F． （1）如图 1，过点 E 作 EH⊥AB 于点 H，连结 DH． ①求证：四边形 DHEC 是平行四边形； ②若 m= ，求证：AE=DF； （2）如图 2，若 m=，求 的值． 9、如图，△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D，∠FAC= ∠ABC，且∠FAC在AC下方．点P，Q分别是射线 BD，射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ，过点P作PE⊥CQ于点E，连接 DE ． （1）若∠ABC=60°，BP=AQ． ①如图1，当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系； ②如图2，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由； （2）若∠ABC=2α≠60°，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使（1）中①的 结论仍然成立（用含α的三角函数表示）． 10、在△ABC 中，∠ABC=90°． （1）如图 1，分别过A、C 两点作经过点 B 的直线的垂线，垂足分别为 M、N，求证：△ABM∽△ BCN； （2）如图 2，P 是边 BC 上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC= ，求 tanC 的值； （3)如图 3，D 是边 CA 延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC= ， ，直接写出 tan ∠CEB 的值． 11、如图，在 Rt ABC 中， 90ACB  ， 4, 2AC BC  ， Rt ABC 绕点C按顺时针方向旋转得到 Rt A B C △ ， A C 与 AB 交于点D． （1）如图，当 / /A B AC  时，过点B作 BE A C ，垂足为E，连接 AE ． ①求证： AD BD ； ②求 ACE ABE S S   的值； （2）如图，当 A C AB  时，过点D作 / /DM A B  ，交 B C 于点N，交 AC 的延长线于点M，求 DN NM 的 值． 12、在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．△ABC是边长为2的等边形，E是AC上一点， 小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF． （1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来， 并证明． （2）当点E在线段上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为 ，求AE的长． （3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面积S1与△DBF的 面积S2之间的数量关系．并说明理由． （4）如图2，当△ECD的面积S1= 时，求AE的长． 13、在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）． （1）如图1，若EF∥BC，求证： （2）如图2，若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心， ，求 的值． 14、如图，已知∠ ൮t ，在∠ ൮t 的平分线OM上有一点C，将一个 将 角的顶点与点C重合， 它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E． ㄠ 当∠ th 绕点C旋转到CD与OA垂直时 如图 ㄠ ，请猜想 ൮h ൮ 与OC的数量关系，并说明理由； 将ㄠ 当∠ th 绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置， ㄠ 中的结论是否成立？并说明理由； 说ㄠ 当∠ th 绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若 成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需 证明． 15、(1)问题发现 如图 1，在△OAB 和△OCD 中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接 AC，BD 交于点 M．填 空： ① BD AC 的值为 ；②∠AMB 的度数为________． (2)类比探究：如图 2，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接 AC 交 BD 的延长线于点M．请判断 BD AC 的值及∠AMB 的度数，并说明理由； (3)拓展延伸：在（2）的条件下，将△OCD 绕 点 O 在平面内旋转，AC，BD 所在直线交于点 M，若 OD=1， OB= 7 ，请直接写出当点 C 与点M 重合时AC 的长． 16、如图1，点B在线段CE 上，Rt△ ABC ≌Rt△CEF ， 90ABC CEF    ， 30BAC  ， 1BC  ． （1）点F到直线CA 的距离是_________； （2）固△ ABC ，将△CEF 绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋 转． ①请你在图1中用直尺和圆规画出线段 EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示， 保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________； ②如图2，在旋转过程中，线段CF 与 AB 交于点O，当OE OB 时，求 OF 的长． 17、问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如 果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC= AB． 探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究． （1）如图1，连接AB边上中线CE，由于CE= AB，易得结论：①△ACE为等边三角形；②BE 与CE之间的数量关系为 ． （2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接 BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明． （3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎 样的数量关系？请直接写出你的结论 ． 拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣ ，1），点B是x轴正半 轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐 标．