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第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第 1 课时 勾股定理
学习目标：1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，
体会数形结合的思想；
2.会用勾股定理进行简单的计算.
重点：用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.
难点：会用勾股定理进行简单的计算.
一、知识回顾
1.网格中每个小正方形的面积为单位 1,你能数出图中的正方形 A、B 的面积吗？你又能想到什么方法算出正方
形 C 的面积呢？
一、要点探究
探究点 1：勾股定理的认识及验证
想一想 1.2500 年前，毕达哥拉斯去老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面，联想到了正
方形 A，B 和 C 面积之间的关系，你能想到是什么关系吗？
2.右图中正方形 A、B、C 所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？
方法 1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各
边都在网格线上的正方形）：
左图：Sc=__________________________;
右图：Sc=__________________________.
方法 2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成
易求出面积的三角形和四边形）：
左图：Sc=__________________________;
右图：Sc=__________________________.
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3.在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形 A、B、C 是否也有类似的面积关系？
(每个小正方形的面积为单位 1)
4.正方形 A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
思考 你发现了直角三角形三条边之间的什么规律？你能结合字母表示出来吗？
猜测：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a,b，斜边长为 c,那么________.
活动 2 接下来让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明活动 1 的猜想.
证法 利用我国汉代数学家赵爽的“赵爽弦图”
要点归纳：
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c,那么 a2+b2=c2.
公式变形： 2 2 2 2 2 2- - .a c b b c a c a b , ，
探究点 2：利用勾股定理进行计算
典例精析
例 1 如图，在 Rt△ABC 中， ∠C=90°.
（1）若 a=b=5,求 c;
（2）若 a=1,c=2,求 b.
变式题 1 在 Rt△ABC 中， ∠C=90°.
（1）若 a：b=1：2 ，c=5,求 a;
（2）若 b=15，∠A=30°,求 a,c.
方法总结:已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列
方程求解.
变式题 2 在 Rt△ABC 中，AB＝4，AC＝3，求 BC 的长.
证明：∵S 大正方形＝________，
S 小正方形＝________,
S 大正方形＝___·S 三角形＋S 小正方形，
∴________=________+__________.
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方法总结:当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是
斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
例 2 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求 CD 的长.
方法总结:由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理
联合使用．
针对训练
求下列图中未知数 x、y 的值：
二、课堂小结
内 容
勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c,那么
a2+b2=c2.
注 意
1.在直角三角形中
2.看清哪个角是直角
3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
当堂检测
1.下列说法中,正确的是 （ ）
A.已知 a,b,c 是三角形的三边，则 a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在 Rt△ABC 中，∠C=90°,所以 a2+b2=c2
D.在 Rt△ABC 中，∠B=90°,所以 a2+b2=c2
2. 右图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_____________.
3.在△ABC 中，∠C=90°.
（1）若 a=15，b=8，则 c=_______.
（2）若 c=13，b=12，则 a=_______.
4.若直角三角形中，有两边长是 5 和 7，则第三边长的平方为_________.
5.求斜边长 17cm、一条直角边长 15cm 的直角三角形的面积.
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6.如图，在△ABC 中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC 的周长．
能力提升：
7.如图，以 Rt△ABC 的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边 AB＝3，求△ABE 及阴影部分的面
积.
第 2 课时 勾股定理在实际生活中的应用
学习目标：1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题；
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的
联系，并进一步求出未知边长.
重点：运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.
难点：能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，
并进一步求出未知边长.
一、知识回顾
1. 你能补全以下勾股定理的内容吗？
如果直角三角形的两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c,那么____________.
2. 勾股定理公式的变形：a=_________,b=_________,c=_________.
3. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°.
(1)若 a=3,b=4,则 c=_________;(2)若 a=5,c=13,则 b=_________.
二、要点探究
探究点 1：勾股定理的简单实际应用
典例精析
例 1 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面 6 米处断裂，树的顶部落在离树根底部 8 米处.你
能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
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方法总结:利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
针对训练
1. 湖的两端有 A、B 两点，从与 BA 方向成直角的 BC 方向上的点 C 测得 CA=130
米,CB=120 米,则 AB 为 ( )
A.50 米 B.120 米 C.100 米 D.130 米
2.如图，学校教学楼前有一块长方形长为 4 米，宽为 3 米的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草
坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草.
（1）求这条“径路”的长；
（2）他们仅仅少走了几步(假设 2 步为 1 米)？
探究点 2：利用勾股定理求两点距离及验证“HL”
思考:在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学
习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
证明:如图,在 Rt△ABC 和 Rt△A’B’C’中,∠C=∠C’=90°, AB=A’B’,AC=A’C’．
求证：△ABC≌△A’B’C’ ．
证明：在 Rt△ABC 和 Rt△A’B’C’中，∠C=∠C’=90°，
根据勾股定理得 BC=_______________,B’C’=_________________.
∵AB=A’B’，AC=A’C’，∴_______=________.
∴____________≌____________ (________)．
典例精析
例 2 如图，在平面直角坐标系中有两点 A(-3,5),B(1,2)求 A,B 两点间的距离.
方法总结:两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点 2 2
1 1 2 2 2 1 2 1, , , , .A x y B x y AB x x y y 则
探究点 3：利用勾股定理求最短距离
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想一想:1.在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下一点食物在 B 处，恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信
息，于是它想从 A 处爬向 B 处，蚂蚁怎么走最近(在以下四条路线中选择一条)？
2.若已知圆柱体高为 12 cm，底面半径为 3 cm，π取 3，请求出最短路线的长度.
要点归纳:立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段
最短确定最短路线.
典例精析
例 3 有一个圆柱形油罐，要以 A 点环绕油罐建梯子，正好建在 A 点的正上方点 B 处，问梯子最短需多少米(已
知油罐的底面半径是 2 m，高 AB 是 5 m，π取 3）?
变式题 小明拿出牛奶盒，把小蚂蚁放在了点 A 处，并在点 B 处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成
任务的最短路程么？
例 4 如图，一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处，他想把他的
马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
方法总结:求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的
对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三
角形，再运用勾股定理求最短路径.
针对训练
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1.如图，是一个边长为 1 的正方体硬纸盒，现在 A 处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达 B 处吃食物，
求蚂蚁爬行的最短距离是多少
二、课堂小结
当堂检测
1.从电杆上离地面 5m 的 C 处向地面拉一条长为 7m 的钢缆，则地面钢缆 A 到电线杆底部 B 的距离是
（ ）
A.24m B.12m C. 74 m D. 2 6 m
2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 9cm，内壁高 12cm，则这只铅笔的长度可能是
（ ）
A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm
3.已知点(2,5),(-4,-3),则这两点的距离为_______.
4.如图，有两棵树，一棵高 8 米，另一棵 2 米，两棵对相距 8 米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，
问小鸟至少飞行多少？
5. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 55cm，10cm 和 6cm，A 和 B 是这个台阶的两
个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物.这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到 B 点，
最短线路是多少？
勾股定理
的应用
用勾股定理解决实际问题
解决“HL”判定方法证全等的正确性问题
用勾股定理解决点的距离及路径最短问题
第 1 题图 第 2 题图
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能力提升
6.为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的
高为 108cm，其横截面周长为 36cm，如果在表面均匀缠绕油纸 4 圈，应裁剪多长的油纸？
第 3 课时 利用勾股定理作图或计算
学习目标：1.会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；
2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.
重点：会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.
难点：灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.
一、知识回顾
1.我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示
3,-2.5 的点吗？
2.求下列三角形的各边长.
三、要点探究
探究点 1：勾股定理与数轴
想一想 1.你能在数轴上表示出 2 的点吗？ 2 呢？(提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就
能在数轴上画出表示该无理数的点.)
2.长为 13 的线段能是这样的直角三角形的斜边吗,即是直角边的长都为正整数？
3.以下是在数轴上表示出 13 的点的作图过程，请你把它补充完整.
(1)在数轴上找到点 A,使 OA=______;
(2)作直线 l____OA,在 l 上取一点 B，使 AB=_____;
(3)以原点 O 为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴交于 C 点，则点 C 即为表示______的点.
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要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以
无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.
类似地，利用勾股定理可以作出长 2, 3, 5为线段,形成如图所示的数学海螺.
典例精析
例 1 如图，数轴上点 A 所表示的数为 a，求 a 的值.
易错点拨:求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长.
针对训练
1.如图，点 A 表示的实数是 （ ）
A . 3 B . 5 C . 3 D . 5
2.如图，矩形 ABCD 中，AB=3，AD=1，AB 在数轴上，若以点 A 为圆心，对角线 AC 的长为半径作弧交数轴
于点 M，则点 M 表示的数为（ ）
A .2 B . 5 1 C . 10 1 D . 5
3.你能在数轴上画出表示 17 的点吗？
探究点 2：勾股定理与网格综合求线段长
典例精析
例 2 在如图所示的 6×8 的网格中，每个小正方形的边长都为 1，写出格点△ABC 各顶点的坐标，并求出此三
角形的周长．
第 1 题图 第 2 题图
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方法总结:勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理
求其长度.
例 3 如图，在 2×2 的方格中，小正方形的边长是 1，点 A、B、C 都在格点上，求 AB 边上的高.
方法总结:此类网格中求格点三角形的高的题，常用方法是利用网格求面积，再用面积法求高.
针对训练
1.如图是由 4 个边长为 1 的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长
度为 5 的线段？
2. 如图，在 5×5 正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，画出一个三角形的长分别为 2,2, 10 .
探究点 3：勾股定理与图形的计算
典例精析
例 4 如图，折叠长方形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的 F 点处，若 AB=8cm，BC=10cm，求 EC 的长.
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方法总结:折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:(1)设一条未知线段的长为 x(一般设所求线段的长为 x)；
(2)用已知线数或含 x 的代数式表示出其他线段长；(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于 x 的方
程；(4)解这个方程，从而求出所求线段长.
变式题 如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B 落在 CD 边上的 B′处，点 A
的对应点为 A′，且 B′C＝3，求 AM 的长.
针对训练
1.如图，四边形 ABCD 中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四边形 ABCD 的面积．
二、课堂小结
当堂检测
1.如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A、B 都是格点，则线段 AB 的长度为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.25
利用勾股
定理作图
或计算
在数轴上表示出无理数的点
利用勾股定理解决网格中的问题
利用勾股定理解决折叠问题及其
他图形的计算
通常与网格求线段长或面
积结合起来
通常用到方程思想
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2.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的 2 个单位长度的位置找一个点 D，然后点
D 做一条垂直于数轴的线段 CD，CD 为 3 个单位长度，以原点为圆心，以到点 C 的距离为半径作弧，交数轴
于一点，则该点位置大致在数轴上（ ）
A.2 和 3 之间 B.3 和 4 之间
C.4 和 5 之间 D.5 和 6 之间
3.如图，网格中的小正方形边长均为 1，△ABC 的三个顶点均在格点上，则 AB 边上的高为_______.
4.如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形 ABCD 的周长为 32cm，求△BCD
的面积．
5. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，BC=4，将矩形沿 AC 折叠，点 D 落在点 D′处，求重叠部分△AFC 的面积.
能力提升
6.问题背景：
在△ABC 中，AB、BC、AC 三边的长分别为 5 10 3a、 、 ,求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建
立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC 三个顶点都在小正
方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）求△ABC 的面积；
（2）若△ABC 三边的长分别为 5 ,2 2 , 17a a a(a＞0)，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为 a）画
出相应的△ABC，并求出它的面积．
图① 图②
第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图
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第 1 课时 勾股定理的逆定理
学习目标：1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数；
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.
重点：掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.
难点：能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.
一、知识回顾
1.勾股定理的内容是什么？
2. 求以线段 a、b 为直角边的直角三角形的斜边 c 的长：
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
③ a＝4，b＝7.5.
四、要点探究
探究点 1：勾股定理的逆定理
量一量 有以下三组数，分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
算一算 这三组数在数量关系上有什么相同点？
思考 据此你有什么猜想呢?
猜测：如果三角形的三边长 a,b,c 满足___________,那么这个三角形是_________三角形.
活动 2 为了验证活动 1 的猜测，下面我们根据全等进行证明.
证一证 已知：如图，△ABC 的三边长 a，b，c，满足 a2+b2=c2．
求证：△ABC 是直角三角形．
证明：作 Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
则 A′B′2=_______+________ 。
∵a2+b2=c2，∴A′B′=_______.
在△ABC 和△A′B′C′中，
A′C′=AC，
B′C′=BC， ∴△ABC____△A′B′C′(________) .
______=_______,
∴∠C____∠C′_____90° ， 即△ABC 是__________三角形.
要点归纳：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a 、b 、c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小
边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
典例精析
例 1(教材 P32 例 1 变式题)若△ABC 的三边 a,b,c 满足 a:b: c=3:4:5，是判断△ABC 的形状.
方法总结:已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆
定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.
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例 2(1)若△ABC 的三边 a,b,c，且 a+b=4,ab=1,c= 14 ，试说明△ABC 是直角三角形.
(2) 若△ABC 的三边 a,b,c 满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC 的形状.
例 3 如图，在正方形 ABCD 中，F 是 CD 的中点，E 为 BC 上一点，且 CE＝ 1
4
CB，试判断 AF 与 EF 的位置关
系，并说明理由.
针对训练
1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6
C．5，12，13 D．4，6，7
2.一个三角形的三边的长分别是 3，4，5，则该三角形最长边上的高是 ( ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
3.若△ABC 的三边 a、b、c 满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC 是_______________________.
探究点 2：勾股数
要点归纳：勾股数：
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足 a2+b2=c2 的三个正整数，称为
勾股数.
常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26 等等.
勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数 k(k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
典例精析
例 4 下列各组数是勾股数的是 ( )
A.6，8，10 B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
方法总结:根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的
平方和即可.
探究点 3：互逆命题与互逆定理
想一想 1.前面我们学习了两个命题，分别为：命题 1，如果直角三角形的两条直角边长分别为 a,b,斜边为 c,
那么 a2+b2=c2；命题 2，如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.两个命
题的条件和结论分别是什么？
2.两个命题的条件和结论有何联系？
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要点归纳：
原命题、逆命题与互逆命题：题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个
叫做原命题的逆命题.
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.
勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
针对训练
1 说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等；
(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
二、课堂小结
内 容
勾股定理
的逆定理
如果三角形的三边长 a 、b 、c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角
形是直角三角形.
勾股定理
的逆定理的作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形.
注 意 1. 最长边不一定是 c， ∠C 也不一定是直角.
2. 勾股数一定是正整数.
当堂检测
1.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.3，4，7 B.5，12，13
C.1.5，2，2.5 D.1，3，5
2. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
3.在△ABC 中，∠A, ∠B, ∠C 的对边分别 a,b,c.
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC 是直角三角形；
②若 c2=b2-a2,则△ABC 是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC 是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC 是直角三角形.
以上命题中的假命题个数是（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
4.已知 a、b、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式 2 2 2 0c a b c a+ - + - = ，则△ABC 的形状是____________
____．
5.(1)一个三角形的三边长分别为 15cm,20cm,25cm，则该三角形最长边上的高是______cm;
(2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为_______________________________________．
6.已知△ABC,AB=n2-1,BC=2n,AC=n2+1(n 为大于 1 的正整数).问△ABC 是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的
角是直角？请说明理由.
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7.如图，在四边形 ABCD 中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD=5 2 ,求四边形 ABCD 的面积.
第 2 课时 勾股定理的逆定理的应用
学习目标：1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题；
2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.
重点：灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
难点：将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.
一、知识回顾
1.你能说出勾股定理及其逆定理的内容吗？
2. 快速填一填：(1)已知△ ABC 中，BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为_______三角形，_________是最大角;
(2)等腰△ABC 中，AB=AC=10cm,BC=12cm,则 BC 边上的高是__________cm.
五、要点探究
探究点 1：勾股定理的逆定理的应用
典例精析
例 1 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方
向航行,“远航”号每小时航行 16 海里,“海天”号每小时航行 12 海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点
Q,R 处，且相距 30 海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
分析：题目已知“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离，实质是要求出两艘船航向所成角，
由此容易联想到勾股定理的逆定理.
方法总结:解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知
识求解.
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变式题 如图，南北方向 PQ 以东为我国领海，以西为公海，晚上 10 时 28 分，我边防反偷渡巡逻 101 号艇在
A 处发现其正西方向的 C 处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在 PQ 上 B 处巡逻的 103 号艇注意
其动向，经检测，AC=10 海里，BC=8 海里，AB=6 海里，若该船只的速度为 12.8 海里/时，则可疑船只最早
何时进入我领海？
分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC 是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式
可求 PD，然后再利用勾股定理便可求 CD.
例 2 一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺
寸如图所示,这个零件符合要求吗？
针对训练
1.A、B、C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东方向，C 在 B 地的什么方向？
2.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现 AB＝DC＝8m，
AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？
探究点 2：勾股定理及其逆定理的综合应用
典例精析
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例 3 如图，四边形 ABCD 中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形 ABCD 的面积.
分析：连接 AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出 AC 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△
ACD 是直角三角形.
方法总结:四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆
定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用.
变式题 1 如图，四边形 ABCD 中，AB⊥AD，已知 AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形 ABCD 的面积.
变式题 2 如图，在四边形 ABCD 中，AC⊥DC，△ADC 的面积为 30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3cm，BC＝4cm，
求△ABC 的面积.
针对训练
1.如图，△ABC 中，AB=AC，D 是 AC 边上的一点，CD=1，BC＝ 5 ，BD=2．
（1）求证：△BCD 是直角三角形；
（2）求△ABC 的面积．
二、课堂小结
勾股定理的逆
定理的应用
应用
认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用
勾股定理及其逆定理来解决问题
航海问题
与勾股定理结合解决不规则图形等问题
方法
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当堂检测
1.医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏 东 25°的方向，且
到医院的距离为 300m,公园到医院的距离为 400m.若公园到超市 的距离为 500m,则公
园在医院的北偏东______的方向.
2.五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将他们摆成两个 直角三角形，其中摆放
方法正确的是 （ ）
A B C D
3. 如图，某探险队的 A 组由驻地 O 点出发，以 12km/h 的速度前进，同时，B 组也由驻地 O 出发，以 9km/h 的
速度向另一个方向前进，2h 后同时停下来，这时 A，B 两组相距 30km．此时，A，B 两组行进的方向成直角吗？
请说明理由.
4. 如图，在△ABC 中，AB=17，BC=16，BC 边上的中线 AD=15，试说明：AB=AC.
5. 在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标 A、B．于是，一艘搜救艇以
16 海里/时的速度离开港口 O（如图）沿北偏东 40°的方向向目标 A 的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口 O
出发，以 12 海里/时的速度向着目标 B 出发，1.5 小时后，他们同时分别到达目标 A、B．此时，他们相距 30
海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？
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6.如图，在△ABC 中，AB：BC：CA=3：4：5 且周长为 36cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点以每秒 2cm 的速度移
动，点 Q 从点 C 沿 CB 边向点 B 以每秒 1cm 的速度移动，如果同时出发，则过 3 秒时，求 PQ 的长．
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