高考数学考前冲刺复习资料总汇
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高考数学考前冲刺复习资料总汇

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资料简介
最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 1 高考数学考前冲刺 复习资料总汇 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 2 高考冲刺: 分类讨论思想 分类讨论是一种重要的逻辑方法,也是中学数学中经 常使用的数学思想方法之一.突出考查学生思维的严 谨性和周密性,以及认识问题的全面性和深刻性,提 高学生分析问题,解决问题的能力,能体现“着重考 查数学能力”的要求.因此分类讨论是历年数学高考的 重点与热点.而且也是高考的一个难点. 数学中的分类讨论贯穿教材的各个部分,它不仅 形式多样,而且具有很强的综合性和逻辑性. 知识升华 1.分类讨论的常见情形 (1)由数学概念引起的分类讨论:主要是指有的 概念本身是分类的,在不同条件下有不同结论,则必 须进行分类讨论求解,如绝对值、直线斜率、 指数函数、对数函数等. (2)由性质、定理、公式引起的分类讨论:有的 数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同条件下 结论不一致,如二次函数 y=ax2+bx+c(a≠ 0),由 a 的正负而导致开口方向不确定,等比数列前 n 项 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 3 和公式因公比q是否为1而导致公式的表达 式不确定等. (3)由某些数学式子变形引起的分类讨论:有的 数学式子本身是分类给出的,如 ax2+bx+c>0,a=0, a<0,a>0 解法是不同的. (4)由图形引起的分类讨论:有的图形的类型、 位置也要分类,如角的终边所在象限,点、线、面的 位置关系等. (5)由实际意义引起的讨论:此类问题在应用题 中常见. (6)由参数变化引起的讨论:所解问题含有参数 时,必须对参数的不同取值进行分类讨论;含有参数 的数学问题中,参变量的不同取值,使得变 形受限导致不同的结果. 2.分类的原则 (1)每次分类的对象是确定的,标准是同一的; 分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论,即 认识为什么要分类讨论,又从几方面开始讨论,只有 明确了讨论原因,才能准确、恰当地进行分类与讨论. 这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义,考 虑问题要全面.函数问题中的定义域,方程问题中根之 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 4 间的大小,直线与二次曲线位置关系中的判别式等等, 常常是分类讨论划分的依据. (2)每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、 不越级讨论. 当问题中出现多个不确定因素时,要以起主导作 用的因素进行划分,做到不重不漏,然后对划分的每 一类分别求解,再整合后得到一个完整的答案.数形结 合是简化分类讨论的重要方法. 3.分类讨论的一般步骤 第一,明确讨论对象,确定对象的范围; 第二,确定分类标准,进行合理分类,做到不重 不漏; 第三,逐类讨论,获得阶段性结果; 第四,归纳总结,得出结论. 4.分类讨论应注意的问题 第一,按主元分类的结果应求并集. 第二,按参数分类的结果要分类给出. 第三,分类讨论是一种重要的解题策略,但这种 分类讨论的方法有时比较繁杂,若有可能,应尽量避 免分类. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 5 经典例题透析 类型一:不等式中的字母讨论 1、解关于 的不等式: . 思路点拨:依据式子的特点,此题应先按对最高 次项的系数 是否为 0 来分类,然后对式子分解因式, 并按两个根之间的大小关系来分类讨论.而对于 与 时,先写简单好作的 . 解析: (1)当 时,原不等式化为一次不等式: , ∴ ; (2)当 时,原不等式变为: , ①若 ,则原不等式化为 ∵ ,∴ ,∴不等式解为 或 , ②若 ,则原不等式化为 , (ⅰ)当 时, ,不等式解为 , (ⅱ)当 时, ,不等式解为 ; (ⅲ)当 时, ,不等式解为 , 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 6 综上所述,原不等式的解集为: 当 时,解集为 ; 当 时,解集为{x|x>1}; 当 时,解集为 ; 当 时,解集为 ; 当 时,解集为 . 总结升华: 1. 对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几 个步骤: (1)明确讨论的对象,确定对象的全体,确定分 类标准,正确分类,不重不漏; (2)逐步进行讨论,获得结段性结论; (3)归纳总结,综合结论. 2.一般分类讨论问题的原则为: 按谁碍事就分谁. 不等式中的字母讨论标准有:最高次项的系数能否为 0,不等式对应的根的大小关系,有没有根(判别式) 等. 3.字母讨论一般按从易到难,从等到不等的顺序 进行. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 7 举一反三: 【变式 1】解关于 的不等式: ( ). 解析:原不等式可分解因式为: , (下面按两个根 与 的大小关系分类) (1)当 ,即 或 时,不等式为 或 ,不等式的解集为: ; (2)当 ,即 时,不等式的解集为: ; (3)当 ,即 或 时,不等式的解集为: ; 综上所述,原不等式的解集为: 当 或 时, ; 当 时, ; 当 或 时, . 【变式 2】解关于 的不等式: . 解析: (1)当 时,不等式为 , 解集为 ; (2)当 时,需要对方程 的根的情况 进行讨论: ① 即 时,方程 有两根 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 8 . 则 原 不 等 式 的 解 为 . ② 即 时,方程 没有实根, 此时为开口向上的抛物线,故原不等式的解 为 . ③ 即 时,方程 有两相等实根为 , 则原不等式的解为 . (3)当 时, 恒成立, 即 时,方程 有两根 . 此时,为开口向下的抛物线, 故原不等式的解集为 . 综上所述,原不等式的解集为: 当 时,解集为 ; 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 9 当 时,解集为 ; 当 时,解集为 ; 当 时,解集为 . 类型二:函数中的分类讨论 2、设 为实数,记函数 的 最大值为 , (Ⅰ)设 ,求 的取值范围,并把 表 示为 的函数 ; (Ⅱ)求 ; (Ⅲ)试求满足 的所有实数. 解析: (I)∵ , ∴要使 有意义,必须 且 ,即 ∵ ,且 ……① ∴ 的取值范围是 , 由①得: , ∴ , , 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 10 (II)由题意知 即为函数 , 的最大值, ∵ 时,直线 是抛物线 的对称轴, ∴可分以下几种情况进行讨论: (1)当 时,函数 , 的图象 是开口向上的抛物线的一段, 由 知 在 上单调递 增,故 ; (2)当 时, , ,有 =2; (3)当 时,,函数 , 的图 象是开口向下的抛物线的一段, 若 即 时 , , 若 即 时 , , 若 即 时 , , 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 11 综上所述,有 = (III)当 时, ; 当 时, , , ∴ , ∴ , 故当 时, ; 当 时, ,由 知: , 故 ; 当 时, ,故 或 ,从而有 或 , 要使 ,必须有 , ,即 , 此时, , 综 上 所 述 , 满 足 的 所 有 实 数 为 : 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 12 或 . 举一反三: 【变式 1】函数 的图象经过点(-1, 3),且 f(x)在(-1,+∞)上恒有 f(x)<3,求函数 f(x). 解 析 : f(x) 图 象 经 过 点 (-1 , 3) , 则 , 整理得: ,解得 或 (1)当 时,则 ,此时 x∈(-1, +∞)时,f(x)>3,不满足题意; (2)当 ,则 ,此时,x∈(-1, +∞)时, 即 f(x)<3,满足题意为所求. 综上, . 【变式 2】已知函数 有最大 值 2,求实数 的取值. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 13 解 析 : 令 ,则 ( ). (1)当 即 时, , 解得: 或 (舍); (2) 当 即 时 , , 解得: 或 (舍); (3)当 即 时, , 解得 (全都舍去). 综上,当 或 时,能使函数 的 最大值为 2. 3、已知函数 ( ). (1)讨论 的单调性; (2)求 在区间 上的最小值. 解析: 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 14 (1)函数 的定义域为(0,+∞) 对 求导数,得 解不等式 ,得 0<x<e 解不等式 ,得 x>e 故 在(0,e)上单调递增,在(e,+∞) 上单调递减 (2)①当 2a≤e 时,即 时,由(1)知 在 (0,e)上单调递增, 所以 ②当 a≥e 时,由(1)知 在(e,+∞) 上单调递减, 所以 ③当 时,需比较 与 的大小 因 为 所以,若 ,则 ,此时 若 2 < a < e , 则 , 此 时 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 15 综上,当 0<a≤2 时, ;当 a>2 时 总结升华:对于函数问题,定义域要首先考虑, 而(2)中③比较大小时,作差应该是非常有效的方 法. 举一反三: 【变式 1】设 , (1)利用函数单调性的意义,判断 f(x)在(0,+ ∞)上的单调性; (2)记 f(x)在 0<x≤1 上的最小值为 g(a),求 y=g(a) 的解析式. 解析: (1)设 0<x1<x2<+∞ 则 f(x2)-f(x1)= 由题设 x2-x1>0,ax1·x2>0 ∴当 0<x1<x2≤ 时, ,∴f(x2)-f(x1) 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 16 <0, 即 f(x2)<f(x1),则 f(x)在区间[0, ]单调递 减, 当 <x1<x2<+∞时, ,∴f(x2)-f(x1) >0, 即 f(x2)>f(x1),则 f(x)在区间( ,+∞)单 调递增. (2)因为 0<x≤1,由(1)的结论, 当 0< ≤1 即 a≥1 时,g(a)=f( )=2- ; 当 >1,即 0<a<1 时,g(a)=f(1)=a 综上,所求的函数 y=g(a)= . 【变式 2】求函数 在 上的值域. 解析: 令 ,则 (1)当 0<a≤1 时, ∵0≤x≤a,∴f′(x)≥0(只有 a=1 且 x=1 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 17 时 f′(x)=0) ∴f(x)在[0,a]上单增,从而 ,值 域为 ; (2)当 a>1 时, ∵0≤x≤a,∴f(x)在 单增,在 上单 减, 并且 ,∴ ,值 域为 ; (3)当-1≤a<0 时, ∵0≤x≤|a|,∴f(x)在[0,|a|]上递减 从而 即 ,值域为 (4)当 a<-1 时, ∵0≤x≤|a|,∴f(x)在 单减,在 上 单增, ∴ ,又 , ∴ ,值域为 . 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 18 类型三:数列 4、数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知{Sn}是各 项均为正数的等比数列,试比较 与 的大小, 并证明你的结论. 解析:设等比数列{Sn}的公比为 q,则 q>0 ①q=1 时,Sn=S1=a1 当 n=1 时, ,a2=0,∴ , 即 当 n ≥ 2 时 , an=Sn-Sn-1=a1-a1=0 , ,即 ②q≠1 时,Sn=S1·qn-1=a1·qn-1 当 n=1 时, ∴ ,即 . 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=a1·qn-1-a1·qn-2=a1·qn-2(q-1) 此时 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 19 ∴q>1 时, , 0<q<1 时, . 总结升华:等比数列前 n 项和公式分 q=1 或 q≠1 两种情况进行讨论. 举一反三: 【变式 1】求数列:1,a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,…… (其中 a≠0)的前 n 项和 Sn. 解析:数列的通项 an=an-1+an+…+a2n-2 讨论: (1)当 a=1 时,an=n,Sn=1+2+…+n= (2)当 a=-1 时, ,∴ , (3)当 a≠±1 且 a≠0 时, , ∴ . 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 20 【变式 2】设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 是其前 n 项和, 证明: . 解析: ( 1 ) 当 q=1 时 , Sn=na1 , 从 而 , (2)当 q≠1 时, , 从而 由(1)(2)得: . ∵ 函数 为单调递减函数. ∴ ∴ . 【变式 3】已知{an}是公比为 q 的等比数列,且 a1,a3,a2 成等差数列. (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)设{bn}是以 2 为首项,q 为公差的等差数列, 其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比较 Sn 与 bn 的大小, 并说 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 21 明理由. 解析: (Ⅰ)由题设 2a3=a1+a2,即 2a1q2=a1+a1q, ∵a1≠0,∴2q2-q-1=0, ∴ 或 , (Ⅱ)若 q=1,则 当 n≥2 时, 若 当 n≥2 时, 故对于 n∈N+,当 2≤n≤9 时,Sn>bn;当 n=10 时,Sn=bn;当 n≥11 时,Sn<bn. 【变式 4】对于数列 ,规定数列 为数列 的 一阶差分数列,其中 ;一般地,规定 为 的 k 阶差分数列,其中 且 k∈N*, k≥2。 (1)已知数列 的通项公式 。试 证明 是等差数列; ( 2 ) 若 数 列 的 首 项 a1= ― 13 , 且 满 足 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 22 ,求数列 及 的通项公式; (3)在(2)的条件下,判断 是否存在最小值; 若存在,求出其最小值,若不存在,说明理由。 解析: (1)依题意: , ∴ ∴ , ∴数列 是首项为 1,公差为 5 的等差数 列。 (2) , (3)令 , 则当 时,函数 单调递减; 当 时,函数 单调递增; 又因 , 而 , 所以当 n=2 时,数列 an 存在最小值,其最 小值为-18。 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 23 类型四:解析几何 5、已知椭圆 C 的方程为 ,点 P(a,b) 的坐标满足 ,过点 P 的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点,点 Q 为线段 AB 的中点,求: (1)点 Q 的轨迹方程. (2)点 Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数. 思路点拨:本题求点的轨迹方程,点与椭圆的位 置关系,直线与椭圆相交等知识. 解析: (1)设点 A,B 的坐标为(x1,y1),(x2,y2), 点 Q 的坐标为 Q(x,y). 当 x1≠x2 时,可设直线 l:y=k(x-a)+b 由已知 , ……① y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b…② 由①得(x1+x2)(x1-x2)+ (y1+y2)(y1-y2)=0…③ 由②得 y1+y2=k(x1+x2)-2ak+2b…④ 由③、④及 , ,得 点 Q 的坐标满足方程 2x2+y2-2ax-by=0…… 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 24 ⑤ 当 x1=x2 时,l 平行于 y 轴, 因此 AB 的中点 Q 一定落在 x 轴上,即 Q 的坐标为(a,0), 显然 Q 点的坐标满足方程⑤. 综 上 所 述 , 点 Q 的 坐 标 满 足 方 程 : 2x2+y2-2ax-by=0. 设方程⑤所表示的曲线为 L, 则 由 , 得 ( 2a2+b2 ) x2-4ax+2-b2=0 由于Δ=8b2(a2+ -1),由已知 a2+ ≤1 所以当 a2+ =1 时,Δ=0, 曲线 L 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P (a,b). 当 a2+ <1 时Δ<0,曲线 L 与椭圆无交点, 而因为(0,0)在椭圆 C 内,又在曲线 L 上, 所以曲线 L 在椭圆 C 内. 故点 Q 的轨迹方程为 2x2+y2-2ax-by=0. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 25 (2)由 ,解得 或 , 又由 ,解得 或 , 则①当 a=0,b=0,即点 P(a,b)为原点. 曲线 L 与坐标轴只有一个交点(0,0) ②当 a=0 且 0<|b|≤ 时, 即点 P(a,b)不在椭圆 C 外且在除去原点的 y 轴上时, 点(a,0)与(0,0)重合,曲线 L 与坐标轴有两个 交点(0,b)与(0,0) ③当 b=0 且 0<|a|≤1 时, 即点 P(a,b)不在椭圆 C 外且在除去原点的 x 轴上时, 曲线 L 与坐标轴有两个交点(a,0)与(0,0). ④当 0<|a|<1 且 0<|b|< 时, 即点 P(a,b)在椭圆 C 内且不在坐标轴上时, 曲线 L 与坐标轴有三个交点(a,0),(0,b)与 (0,0). 总结升华:本题充分运用了分类讨论的思想方法, 以及综合运用知识解题的能力,此题运算量大,涉及知 识点较多,需要较高的运算能力和逻辑推理能力,做为 考题区分度好,特别是分类讨论时易出错. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 26 举一反三: 【变式 1】讨论 k 的取值,说明方程 表示的曲线. 解析:方程中 x、y 的平方项系数是否为 0,是否 相等决定着方程表示的曲线, 故需要对 k 值就以上情况分类讨论. 当 k2=0 即 k=0 时,方程化为 ,表示 顶点在原点,x 轴为对称轴,开口向左的抛物线. 当 2k-1=0 即 时,方程化为 x(x-8)=0 ∴x=0 或 x=8,表示 y 轴和过点(8,0) 斜 率不存在的两平行直线. 当 k2=2k-1,即 k=1 时,方程化为 , 表示以(1,0)为圆心,半径为 1 的圆 当 k≠0, ,k≠1 时 方程可化为 当 方程表示焦点在平行 y 轴直线上,中心在 的椭圆 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 27 当 时,方程表示以 为中心,焦点在 x 轴上的双曲线. 【变式 2】已知圆 x2+y2=1 和双曲线(x-1)2-y2=1, 直线 l 与双曲线交于不同两点 A、B,且线段 AB 的中 点恰是 l 与圆相切的切点,求直线 l 的方程. 解析:当 l 斜率不存在时,由对称性可知:l 方程 为 x=-1 当 l 斜率存在时设 l 方程为 y=kx+b 由 l 与圆相切 l 方 程 代 入 双 曲 线 整 理 得 (1-k2)x2-2(kb+1)x-b2=0 (1-k2≠0),△>0 设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点为 M , 由 AB ⊥ OM , , 整 理 得 k2+1+2kb=0 将 k2+1=b2 代入 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 28 ∴b2+2bk=0,b(b+2k)=0 ∵b≠0,否则 l 过原点与圆不相切 ∴b=-2k,解方程组 得 经检验△>0 ∴l 的方程为 x=-1 或 . 高考冲刺:数形结合 编稿:林景飞 审稿: 张扬 责编:严春梅 热点分析 高考动向 数形结合应用广泛,不仅在解答选择题、填空题 中显示出它的优越性,而且在解决一些抽象数学问题 中常起到事半功倍的效果。高考中利用数形结合的思 想在解决选、填题中十分方便,而在解答题中书写应 以代数推理论证为主,几何方法可作为思考的方法。 数形结合的重点是研究“以形助数”,但“以数解形” 在近年高考试题中也得到了加强,其发展趋势不容忽 视。历年的高考都有关于数形结合思想方法的考查, 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 29 且占比例较大。 知识升华 数形结合是通过“以形助数”(将所研究的代数问 题转化为研究其对应的几何图形)或“以数助形”(借 助数的精确性来阐明形的某种属性),把抽象的数学语 言与直观的图形结合起来思考,也就是将抽象思维与 形象思维有机地结合起来,是解决问题的一种数学思 想方法。它能使抽象问题具体化,复杂问题简单化, 在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。 具体地说,数形结合的基本思路是:根据数的结 构特征,构造出与之相应的几何图形,并利用图形的 特性和规律,解决数的问题;或将图形信息全部转化 成代数信息,使解决形的问题转化为数量关系的讨论。 选择题,填空题等客观性题型,由于不要求解答 过程,就某些题目而言,这给学生创造了灵活运用数 形结合思想,寻找快速思路的空间。但在解答题中, 运用数形结合思想时,要注意辅之以严格的逻辑推理, “形”上的直观是不够严密的。 1.高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面: (1)集合问题中 Venn 图(韦恩图)的运用; 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 30 (2)数轴及直角坐标系的广泛应用; (3)函数图象的应用; (4)数学概念及数学表达式几何意义的应用; (5)解析几何、立体几何中的数形结合。 2.运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个 原则: (1)等价性原则。要注意由于图象不能精确刻画 数量关系所带来的负面效应; (2)双方性原则。既要进行几何直观分析,又要 进行相应的代数抽象探求,仅对代数问题进行几何分 析容易出错; (3)简单性原则。不要为了“数形结合”而数形 结合,具体运用时,一要考虑是否可行和是否有利; 二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立 关系,做好转化;三要挖掘隐含条件,准确界定参变 量的取值范围,特别是运用函数图象时应设 法选择动直线与定二次曲线为佳。 3.进行数形结合的信息转换,主要有三个途径: (1)建立坐标系,引入参变数,化静为动,以动 求解,如解析几何; 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 31 (2)构造成转化为熟悉的函数模型,利用函数图 象求解; (3)构造成转化为熟悉的几何模型,利用图形特 征求解。 4.常见的“以形助数”的方法有: (1)借助于数轴、文氏图,树状图,单位圆; (2)借助于函数图象、区域(如线性规划)、向量本 身的几何背景; (3)借助于方程的曲线,由方程代数式,联想其几 何背景,并用几何知识解决问题,如点,直线,斜 率,距离,圆及其他曲线,直线和曲线的位置 关系等,对解决代数问题都有重要作用,应充分予以 重视。 5.常见的把数作为手段的数形结合: 主要体现在解析几何中,历年高考的解答题都有 这方面的考查. 经典例题透析 类型一:利用数形结合思想解决函数问题 1.已知 , ,若 的最小值 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 32 记为 ,写出 的表达式。 思路点拨:依据函数 的对称轴与区间 的位置关系,结合函数图象确定 在 上的增减 情况,进而可以明确在何处取最小值。 解析:由于 , 所以抛物线 的对称轴为 ,开口向 上, ①当 ,即 时, 在[t,t+1]上单 调递增(如图①所示), ∴ 当 x=t 时 , 最 小 , 即 。 ②当 ,即 时, 在 上递减,在 上递增(如 图②)。 ∴ 当 时 , 最 小 , 即 。 ③当 ,即 时, 在[t,t+1]上单 调递减(如图③)。 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 33 ∴ 当 x=t+1 时 , 最 小 , 即 , 图 ① 图② 图③ 综合①②③得 。 总结升华:通过二次函数的图象确定解题思路, 直观、清晰,体现了数形结合的优越性。应特别注意, 对于二次函数在闭区间上的最值问题,应抓住对称轴 与所给区间的相对位置关系进行讨论解决。首先确定 其对称轴与区间的位置关系,结合函数图象确定在闭 区间上的增减情况,然后再确定在何处取最值。 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 34 举一反三: 【变式 1】已知函数 在 0≤x≤1 时 有最大值 2,求 a 的值。 解析:∵ , ∴抛物线 的开口向下,对称轴是 ,如图所示: ( 1 ) ( 2 ) (3) (1)当 a<0 时,如图(1)所示, 当 x=0 时 , y 有 最 大 值 , 即 。 ∴1―a=2。即 a=―1,适合 a<0。 (2)当 0≤a≤1 时,如图(2)所示, 当 x=a 时 , y 有 最 大 值 , 即 。 ∴a2―a+1=2,解得 。 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 35 ∵0≤a≤1,∴ 不合题意。 (3)当 a>1 时,如图(3)所示。 当 x=1 时,y 有最大值,即 。 ∴a=2。 综合(1)(2)(3)可知,a 的值是―1 或 2 【变式 2】已知函数 。 (Ⅰ)写出 的单调区间; (Ⅱ)设 ,求 在[0,a]上的最大值。 解析: 如图: (1) 的单调增区间: , ;单 调减区间:(1,2) (2)当 a≤1 时, 当 时, 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 36 当 , 。 【变式 3】已知 ( ) (1)若 , 在 上的最大值为 ,最小值 为 ,求证: ; (2)当 , 时,对于给定的负数 ,有一个最 大的正数 ,使得 x∈[0, ]时,都有 |f(x)|≤5,问 a 为何值时,M(a)最大?并求出 这个最大值。 解析: (1)若 a=0,则 c=0,∴f(x)=2bx 当-2≤x≤2 时,f(x)的最大值与最小值一定互 为相反数,与题意不符合,∴a≠0; 若 a≠0,假设 , ∴区间[-2,2]在对称轴 的左外侧或右外 侧, ∴f(x)在[-2,2]上是单调函数, (这是不可能的) 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 37 (2)当 , 时, , ∵ ,所以 , ( 图 1 ) (图 2) (1)当 即 , 时(如图 1), 则 所以 是方程 的较小根,即 (2)当 即 , 时(如图 2),则 所以 是方程 的较大根,即 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 38 (当且 仅当 时,等号成立), 由于 , 因此当且仅当 时, 取最大值 类型二:利用数形结合思想解决方程中的参数问题 2.若关于 x 的方程 有两个不同的实 数根,求实数 m 的取值范围。 思路点拨:将方程的左右两边分别看作两个函数, 画出函数的图象,借助图象间的关系后求解,可简化 运算。 解析:画出 和 的图象, 当直线 过点 ,即 时,两图 象有两个交点。 又由当曲线 与曲线 相切时,二 者只有一个交点, 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 39 设切点 ,则 ,即 ,解得 切点 , 又直线 过切点 ,得 , ∴当 时,两函数图象有两个交点, 即方程有两个不等实根。 误区警示:作图时,图形的相对位置关系 不准确,易造成结果错误。 总结升华: 1.解决这类问题时要准确画出函数图象,注意函 数的定义域。 2.用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)解 的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先把 方程两边的代数式看作是两个函数的表达式 (有时可能先作适当调整,以便于作图),然后作出两 个函数的图象,由图求解。 3.在运用数形结合思想分析问题和解决问题时, 需做到以下四点: ①要准确理解一些概念和运算的几何意义以 及曲线的代数特征; ②要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转 化; 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 40 ③要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗 漏; ④精心联想“数”与“形”,使一些较难解决 的代数问题几何化,几何问题代数化,便于问题求解。 举一反三: 【变式 1】若关于 x 的方程 在(-1,1) 内有 1 个实根,则 k 的取值范围是 。 解析:把方程左、右两侧看作两个函数,利用函 数图象公共点的个数来确定方程根的个数。 设 (x∈-1, 1) 如图:当 或 时,关于 x 的方 程 在(-1,1)内有 1 个实根。 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 41 【变式 2】若 0<θ<2π,且方程 有 两个不同的实数根,求实数 m 的取值范围及这两个实 根的和。 解 析 : 将 原 方 程 转 化 为 三角 函 数 的图象与直线 有两个不同的 交点时,求 a 的范围及α+β的值。 设 , ,在同一坐标中作出这 两个函数的图象 由图可知,当 或 时,y1 与 y2 的图象有两个不同交点, 即对应方程 有两个不同的实数 根, 若 ,设原方程的一个根为 , 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 42 则另一个根为 . ∴ . 若 ,设原方程的一个根为 , 则另一个根为 , ∴ . 所以这两个实根的和为 或 . 且由对称性可知,这两个实根的和为 或 。 类型三:依据式子的结构,赋予式子恰当的几何意义, 数形结合解答 3.求函数 的最大值和最小值 思路点拨: 可变形为 ,故 可看作 是两点 和 的连线斜率的 倍,只需求出 范围即可;也可以利用三角函数的有界性,反解求 解。 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 43 方法一:数形结合 可看作是单位圆 上的动 点, 为圆外一点,如图, 由图可知: ,显然 , 设直线 的方程: , ,解得 , ∴ 方法二:令 , , , 总结升华:一些代数式所表示的几何意义往往是 解题的关键,故要熟练掌握一些代数式的几何意义: (1) 表示动点(x,y)与定点(a, 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 44 b)两点间的距离; (2) 表示动点(x,y)与定点(a,b)两点 连线的斜率; (3)求 ax+by 的最值,就是求直线 ax+by=t 在 y 轴上的截距的最值。 举一反三: 【变式 1】已知圆 C:(x+2)2+y2=1,P(x,y)为 圆 C 上任一点。 (1)求 的最大、最小值; (2)求 的最大、最小值; (3)求 x―2y 的最大、最小值。 解析:联想所求代数式的几何意义,再画出草图, 结合图象求解。 (1) 表示点(x,y)与原点的距离, 由题意知 P(x,y)在圆 C 上,又 C (―2,0),半径 r=1。 ∴|OC|=2。 的最大值为 2+r=2+1=3, 的最小值为 2―r=2―1=1。 (2) 表示点(x,y)与定点(1,2) 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 45 两点连线的斜率, 设 Q(1,2), ,过 Q 点作圆 C 的两条切线,如图: 将 整理得 kx―y+2―k=0。 ∴ ,解得 , 所以 的最大值为 ,最小值为 。 (3)令 x―2y=u,则可视为一组平行线系, 当直线与圆 C 有公共点时,可求得 u 的范围, 最值必在直线与圆 C 相切时取得。 这时 , ∴ 。 ∴x―2y 的最大值为 ,最小值为 。 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 46 【变式 2】求函数 的最小值。 解 析 : 则 y 看作点 P(x,0)到点 A(1,1)与 B (3,2)距离之和 如图,点 A(1,1)关于 x 轴的对称点 A' (1,-1), 则 即为 P 到 A,B 距离之和的最小值, ∴ 【变式 3】若方程 x2+(1+a)x+1+a+b=0 的两根分别 为椭圆、双曲线的离心率,则 的取值范围是( ) A . B . 或 C. D. 或 解析:如图 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 47 由题知方程的根,一个在(0,1)之间, 一个在(1,2)之间, 则 ,即 下面利用线性规划的知识,则 可看作可 行域内的点与原点 O(0,0)连线的斜率 则 ,选 C。 高考冲刺:转化与化归思想 编稿:林景飞 审 稿:张扬 责编:严春梅 热点分析 高考动向 转化与化归思想在高考中占有相当重要的地位, 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 48 可以说比比皆是,如未知向已知的转化、新知识向旧 知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学 问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等等. 各种变换、具体解题方法都是转化的手段,转化的思 想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. 知识升华 转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数 学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进 而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过 变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化 为容易求解的问题,将未解决的问题变换转化为已解 决的问题.解题的过程就是“化归”的过程,不断地改 变待解决的问题,重新叙述它,变换它,直到最后成 功地找到某些有用的东西为止. 1.转化与化归应遵循的原则 (1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问 题,以利于我们运用熟知的知识、经验和方法来解决. (2)简单化原则:将复杂问题化归为简单问题, 通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的, 或获得某种解题的启示和依据. (3)和谐化原则:化归问题的条件或结论,使其 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 49 表现形式更符合数与形内部所呈现的和谐统一的形 式,或者转化命题,使其有利于运用某种数 学方法或符合人们的思维规律. (4)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较 直观的问题来解决. (5)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时, 可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使 问题获解. 2.转化与化归的基本类型 (1)正与反、一般与特殊的转化,即正难则反, 特殊化原则. (2)常量与变量的变化,即在处理多元问题时, 选取其中的变量(或参数)当“主元”,其他的变量 看作常量. (3)数与形的转化,即利用对数量关系的讨论来 研究图形性质,也可利用图形直观提供思路,直观地 反映函数或方程中的变量之间的关系. (4)数学各分支之间的转化,如利用向量方法解 立体几何问题,用解析几何方法处理平面几何、代 数、三角问题等. (5)相等与不等之间的转化,如利用均值不等式、 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 50 判别式等. (6)实际问题与数学模型的转化. 3.常见的转化方法 (1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、 基本公式或基本图形问题. (2)换元法:运用“换元”把超越式转化为有理 式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式 问题转化为易于解决的基本问题. (3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解析 式)与空间形式(图形)关系,通过互相变换、获得 转化途径. (4)参数法:引进参数,使原问题的变换具有灵 活性,易于转化. (5)构造法:“构造”一个合适的数学模型,把 问题变为易于解决的问题. (6)坐标法:以坐标系为工具,用计算方法解决 几何问题. (7)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论. (8)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式 转化,并证明特殊化后的结论适合原问题. (9)一般化方法:当原问题是某个一般化形式问 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 51 题的特殊形式且又较难解决时,可将问题通过一般化 的途径进行转化. (10)等价问题法:把原问题转化为一个易于解 决的等价命题,达到转化目的. (11)加强命题法:在证明不等式时,原命题难 以得证,往往把命题的结论加强,即把命题的结论加 强 为原命题的充分条件,反而能将原命题转 化为一个较易证明的命题,加强命题法是非等价转化 方 法. (12)补集法:如果正面解决原问题有困难,可 把原问题结果看作集合 A,而把包含该问题的整体问 题 的结果类比为全集 U,通过解决全集 U 及 补集 获得原问题的解决. 以上所列的一些方法是互相交叉的,不能截然分 割. 经典例题透析 类型一:常量与变量的转化问题 1.已知二次方程 ax2+2(2a―1)x+4a―7=0 中的 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 52 a 为正整数,问 a 取何值时此方程至少有一个整数根. 思路点拨:本题可以将原方程变为关于 a 的式子, 根据 a 为正整数,得出 x 的取值,再代回去,求出 a 的值. 解析:原方程即是(x2+4x+4)a=2x+7, ∵x=―2 不是原方程的解,∴ , 又∵a 为正整数, ∴ , 解得-3≤x≤1, 又∵x 是整数且 x≠-2,∴x=―3,―1,0, 1, 把它们分别代入原方程得 , , , , 故当 a=1 或 a=5 时,原方程至少有一个整 数根. 知识升华:解决本题易按求根公式,讨论方程至 少有一个整数根的条件,而无法进行下去.将变量与参 数变更关系,视 a 为主元,转换思考的角度,使解法 变得简易. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 53 举一反三: 【变式 1】已知 a>0 且 a≠1,若关于 x 的方程 loga(x-3)-loga(x+2)-loga(x-1)=1 有实根,求实数 a 的取 值范围. 解析:要使原方程有意义,需 ,解得 x>3. 原方程化为: . ∴x-3=a(x-1)(x+2)在区间(3, +∞)上有解, ∴ . 问题转化为求右端在(3, +∞)上的值域, 即将 a 看作 x 的函数 a(x). 由 , ∵x>3, ∴x-3>0, ∴ . 当且仅当 ,即 时取等号. ∴ . 又∵x>3 时,a>0, ∴ , 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 54 故 a 的取值范围是 . 【变式 2】设 ,若 t∈[―2, 2]时,y>0 恒成立,求 x 的取值范围. 答案: 类型二:等价转化 2.已知函数 的值域为[―1,4],求实 数 a、b 的值. 思路点拨:设 ,将所给函数看作关于 x 的方 程.则由题意可知当 y∈[―1,4]时,关于 x 的方程有 实数解. 解析:∵ 的定义域为 R, 故可等价转化为 yx2―ax+y―b=0. 令Δ=a2―4y(y―b)≥0,即 4y2―4by―a2 ≤0, 则由题意可知,不等式 4y2―4by―a2≤0 的解集为[―1,4]. 也就是―1,4 是关于 y 的方程 4y2―4by― a2=0 的两根. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 55 ∴ ,∴a=±4,b=3. 所以所求实数 a=±4,b=3. 总结升华:本题是利用函数、不等式与方程的关 系一步一步地等价转化使问题得以解决,常见的转化 类型有高次向低次的转化,多元向一元的转化,分式 向整式的转化,无理向有理的转化,空间向平面的转 化等. 举一反三: 【变式 1】已知奇函数 在定义域(-1,1)上 是减函数,且 ,求实数 的取值范围. 答案: 【变式 2】若 的图象在(0,1)内与 x 轴恰好有一个交点,则 a 的取值范围为_______. 解析: 的图象是直线, 在(0,1)内与 x 轴恰有一个交点, 则 , 则 a>3(当 a=0 时不合题意). 【变式 3】已知函数 ,满足 , 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 56 ,求 的最大值、最小值及取得最大值和最 小值时对应 a,c 的值. 答案: ,此时 ; ,此时 类型三:正面与反面的转化问题 3.已知非空集合 A={x|x2―Amx+2m+6=0,x ∈R},若 A∩R-≠ ,求实数 m 的取值范围(R―表示 负实数集,R+表示正实数集). 思路点拨:本题可以根据 A∩R-≠ 的反面—— A∩R―= 时的取值范围进行求解. 解 析 : 设 全 集 U={m| Δ =16m2 ― 8m ― 24 ≥ 0}={m|m≤―1 或 }. 方程 x2―4mx+2m+6=0 的两根均非负的充 要条件是 ,可得 . ∴A∩R -= 时,实数 m 的取值范围为 ; ∴A∩R-≠ 时,实数 m 的取值范围为 {m|m≤―1}. 知识升华:正面难以解决的问题,可采用补集的 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 57 思想,转化为反面问题来解决.一个题目若出现多种成 立的情况,则不成立的情况一般较少,易从反而考虑, 比如题目中出现“至多”,“至少”等字眼时. 举一反三: 【变式 1】试求常数 m 的范围,使曲线 y=x2 的所 有弦都不能被直线 y=m(x-3)垂直平分. 解析:问题可以转化为: 为使曲线y=x2有两个对称于直线y=m(x-3) 的点,求 m 的取值范围. 易得 ,因此原问题的解是 . 【变式 2】已知二次函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1, 若区间[-1,1]内至少存在一个实数 c,使 f(c)>0, 则 实数 p 的取值范围是( ). A、 B、 C、 D、 解析:问题转化为先求在[-1,1]内没有一个实数 C 使 f(c)>0, 即对任意 x∈[-1,1],f(x)≤0 的 P 的取值范 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 58 围. 由二次函数 f(x)在[-1,1]的图形易知: f(1)≤0 且 f(-1)≤0, 解得: 或 P≥3. ∴满足已知条件的 P 的取值范围为 . 【变式 3】已知三条抛物线: , , 中至少有一条与 x 轴相交, 求实 a 的取值范围. 答案: 或 . 类型四:换元转化问题 4.求函数 的最大值. 思路点拨:令 t=sin x,将函数转化为关于 t 的二 次函数,再求二次函数在区间[―1,1]上的最大值. 解析: . 设 sin x=t,则―1≤t≤1, 令 . 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 59 如图所示,当 a<0 时,有 . 同理,当 a≥0 时,有 . 所以,当 a<0 时函数 的最大值为 3― 4a. 当 a≥0 时函数 的最大值为 3+4a. 总结升华:通过换元将三角问题转化为较熟悉的 一元二次函数在闭区间上的最值问题,特别注意:① 换元后所得 t 的函数的定义域为[―1,1];②应该讨论 二次函数对应的抛物线的对称轴相对于区间[―1,1] 的位置,才能确定其最值. 举一反三: 【变式 1】已知 x2+y2=1,则 z=x―2y 的取值范围 是________. 解 析 : 令 x=cos θ , y=sin θ , 则 , ∴ , . ∴ 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 60 【变式 2】已知 a∈R,求函数 y=(a―sin x)(a―cos x)的最小值. 解析:设 t=sin x+cos x, 则 ,故 . 而 , 于是, . 原 问 题 化 归 为 求 二 次 函 数 在 上的最值问题. ①当 时,若 t=a, ; ②当 时, 在 上单调递减, ; ③当 时, 在 上单调递增, . 【变式 3】已知 , ,t∈R. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 61 (1)当 t=―1 时,解不等式 ; (2)如果 x∈[0,1]时, 恒成立,求参数 t 的取值范围. 答案:(1) (2)t≥1 类型五:命题的转化 5.关于 x 的方程 x3―3x2―a=0 只有一个实数 根,求 a 的取值范围. 思路点拨:本题是一个高次方程的问题,无法用 判别式去判定根的个数,故可以转化命题,转化为曲 线 y=x3―3x2 与直线 y=a 有一个交点,求实数 a 的取 值范围. 解析:由 x3―3x2―a=0 得 a=x3―3x2, 令 ∴ , 令 ,得 x=0 或 x=2. 当 x∈(-∞,0)时, ; 当 x∈(0,2)时, ; 当 x∈(2,+∞)时, . 所以 在(-∞,0)和(2,+∞)上是 增函数,在(0,2)上为减函数. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 62 又 , . 如图所示,画出 的草图. 结合图象,直线 y=a 与曲线 y=x3―3x2 有 一个公共点时,则 a<―4 或 a>0. 所以关于 x 的方程 x3―3x2―a=0 只有一个 实数根时, 实数 a 的取值范围为 a<―4 或 a>0. 总结升华:在解题的过程中,直接考虑思维受阻 时,要学会变换解决问题的角度,转化命题的形式, 使问题变得直观、简洁,进而使问题得以解决,有些 问题可以考虑其反面,通过解决反面使问题得以解决, 有些空间中的问题转化为平面问题则变得简洁.这就 是转化与化归思想的真谛. 举一反三: 【变式】设 0<θ<2π,且方程 有两 个不同的实数根,求实数 m 的取值范围及这两个实根 的和. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 63 解 析 : 将 原 方 程 转 化 为 三角 函 数 的图象与直线 有两个不同的 交点时,求 a 的范围及α+β的值. 如图,在同一坐标系中,作出 及 y=m 的图象, 由图可知:当 或 时,直线 与曲线有两个交点, 即原方程 有两个不同实根. 若 ,设原方程的一个根为 , 则另一个根为 . ∴ . 若 ,设原方程的一个根为 , 则另一个根为 ,∴ . 且由对称性可知,这两个实根的和为 或 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 64 . 高考冲刺:怎样解数学选择题 编稿:林景飞 审 稿:张扬 责编:严春梅 热点分析 高考动向 数学选择题在当今高考试卷中,不但题目数量多, 且占分比例高。考生能否迅速、准确、全面、简捷地 解好选择题,成为得分的关键,并且直接影响到解答 题的答题时间及答题的情绪状态. 高考中数学选择题属小题,具有概括性强、知识 覆盖面宽、小巧灵活,有一定的综合性和深度的特点。 解题的基本原则是:“小题不能大做.”因而答题方法 很有技巧性,如果题题都严格论证,个个都详细演算, 耗时太多,以致于很多学生没时间做后面会做的题而 造成隐性失分,留下终生遗憾。 夺取高考数学试卷高分的关键就是:“准”“快” “稳”地求解选择题。准确是解答选择题的先决条件。 选择题不设中间分,一步失误,造成错选,全题无分, 所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏; 初选后认真检验,确保准确。迅速是赢得时间获取高 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 65 分的必要条件.高考中考生不适应能力型的考试,致使 “超时失分”(也叫“隐形失分”)是造成低分的一 大因素.对于选择题的答题时间,应该控制在不超过 40 分钟左右,速度越快越好,高考要求每道选择题在 1~3 分钟内解完. 知识升华 选择题的结构特点 选择题有题干和4个可供挑选的选择项(其中一 个正确答案,三个诱误项)。选择题的结构中包含着 我们解题的信息源(特别注意4个选择支也是已知条 件) 选择题的求解策略 充分利用题设和选择项两方面所提供的信息作出 判断,一般来说,能定性判定的,就不再使用复杂的 定量计算;能使用特殊值判定的,也不必采用常规解 法;能使用间接解法的,也不必采用直接解法;对于 明显可以否定的选择项,应及早排除,以缩小选择的 范围;对于具有多种解题思路的,宜于选择最简解法 等等.一般有两种思路:一是从题干出发考虑,探求结 果;二是从题干和选择项联合考虑或从选项出发探求 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 66 是否满足题干条件。 选择题的常用方法 由于选择题提供了备选答案,又不要求写出解题 过程,因此出现了一些特有的解法,在选择题求解中 很适用,结合数学选择题的结构特点及近几年的高考 题,有以下几种常用解法: ①直接法; ②排除法; ③特例法; ④图解法(数形结合法); ⑤代入法。 经典例题透析 类型一:直接法 直接从题设条件出发,运用有关,运用有关的概 念、定义、公理、定理、性质、公式等,使用正确的 解题方法,经过严密的推理和准确的运算,得出正确 的结论,然后对照题目中给出的选择项“对号入座”, 作出相应的选择,这种方法称之为直接法。是一种基 础的、重要的、常用的方法,一般涉及概念、性质的 辨析或运算较简单的题目常用直接法。 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 67 1.设 是(-∞,+∞)上的奇函数, ,当 0≤x≤1 时, ,则 等于( ) A.0.5 B.―0.5 C.1.5 D.― 1.5 思路点拨:认真分析题目已知,若能发现 的周 期性,即能看出 ,对解题将会带 来极大的方便。 解析:∵ , ∴ 是以 4 为周期的函数。 又∵ 为奇函数,且有当 0≤x≤1 时, , ∴ 。 ∴选 B。 总结升华:直接法解选择题,它和解解答题的思 路、程序方法是一致的,不同之处在于解选择题不需 要书写过程,这就给我们创造灵活解答选择题的空间, 即在推理严谨、计算准确的前提下,可以简化解题的 步骤,简化计算。再就是在考查问题的已知条件和选 择项的前提下,洞察问题的实质,找寻到最佳的解题 方法,这样才会使问题解得真正的简洁、准确、迅速。 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 68 举一反三: 【变式 1】设 F1、F2 为双曲线 的两个焦点, 点 P 在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2 的 面积为( ) A.1 B. C.2 D. 解析: 。 ∴选 A。 【变式 2】设函数 f(x)=Asin(ωx+j)(其中 A>0, ω>0,x∈R),则 f(0)=0 是 f(x)为奇函数的( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要 条件 解析:若 f(0)=0,即 sinj=0, j=kπ(k∈Z). ∴f(x)=Asinωx 或 f(x)=-Asinωx, ∴f(x)为奇函数,则充分性成立. 若 f(x)为奇函数,则 f(-x)+f(x)=0 恒成 立, ∴f(0)+f(0)=0, ∴f(0)=0,则必要性成立. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 69 ∴选 C. 类型二:排法除 从已知条件出发,通过观察分析或推理运算各选 项提供的信息,对于错误的选项,逐一剔除,从而获 得正确的结论,这种方法称为排除法。排除法常常应 用于条件多于一个时,先根据一些已知条件,在选择 项中找出与其相矛盾的选项,予以排除,然后再根据 另一些已知条件,在余下的选项中,再找出与其矛盾 的选项,再予以排除,直到得出正确的选项为止。 2.双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍, 则 m=( ) A. B.-4 C.4 D. 解析:∵曲线 mx2+y2=1 是双曲线,∴m<0,排除 C、D; 将 代入,方程变为 ,虚轴长为 4,而实轴长为 2,满足题意, ∴应选 A。 总结升华:排除法一般是适用于不易用直接法求 解的问题。排除法的主要特点就是能较快的限制选择 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 70 的范围,从而目标更加明确,这样就可以避免小题大 做,小题铸错。认真而又全面的观察,深刻而又恰当 的分析,是解好选择题的前提,用排除法解题尤其注 意,不然的话就有可能将正确选项排除在外,导致错 误。当题目中的条件多于一个时,先根据某些条件在 选择支中找出明显与之矛盾的,予以否定,再根据另 一些条件在缩小的选择支的范围内找出矛盾,这样逐 步排除,直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等 结合使用是解选择题的常用方法, 举一反三: 【变式 1】如图是周期为 2π的三角函数 的 图象,那么 可以写成( ) A. =sin(1+x) B. =sin(―1―x) C. =sin(x―1) D. =sin(1―x) 解析:选图象上的特殊点(1,0),易排除 A、B, 又 x=0 时,y>0,排除 C。 ∴应选 D。 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 71 【变式 2】钝角三角形的三边分别为 a,a+1,a+2, 其最大角不超过 120°,则 a 的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析:令 a=1,则三边为 1,2,3,不能构成三角 形。排除 A、D。 令 a=3,则三边为 3,4,5,三角形应为直 角三角形,排除 C, 故选 B。 如果该题用直接法解,设最大角为 C, 则 ,这样解起来 较麻烦。 【变式 3】设集合 A={ }, , 则 等于( ) A. B. C. D. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 72 解析:因为 ,显然 x>0,排除 C,D, 取 x=1,不属于集合 ,排除 B, 故选 A。 【变式 4】不等式 ax2+ax+b>0(a,b∈Z 且 a≠0)的 解集是区间(-2,1),满足这个条件的绝对值最小的 a 和绝对值最小的 b 值分别是( ) A、a=1,b=-2 B、a=-1,b=2 C、 a=1,b=2 D、a=-1,b=-2 解析:首先,二次不等式 ax2+ax+b>0 的解集为(-2, 1), 由二次函数的图象易知,必有 a<0,可排 除 A、C. 其次,将选择项 D 的结论,a=-1,b=-2 代 入不等式, 则不等式化为-x2-x-2>0 即 x2+x+2<0,此 不等式无解,故 D 也被排除, 故选 B. 类型三:特例法 根据题设和各选项的具体情况和特点,选取满足 条件的特殊的数值、特殊的集合、特殊的点、特殊的 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 73 图形或者特殊的位置状态,代替题设普遍条件,得出 特殊结论,对各个选项进行检验,从而得到正确的判 断的方法称为特例法。常用的特例有特殊数值、特殊 数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等. 3.若 ,则 ( ) A. B. C. D. 解析:取 ,满足不等式 , 即 ,否定 A、C、D。 ∴应选 B。 总结升华:本题是采用设特殊值的方法进行检验 得解的。用特例法解决问题时要注意以下两点: (1)所选取的特殊值或特殊点一定要简单,且符 合题设条件; (2)有时因问题需要或选取数值或点不当可能会 出现两个或两个以上的选择项都正确,这时应根据问 题的题设再恰当地选取一个特殊值或点进 行检验,以达到选择正确选项的目的。 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 74 举一反三: 【变式 1】函数 的定义 域为( ) A. B. C. D. 解析:取 x=1,代入 ,无意 义,否定 C 取 x=2,代入 ,无意 义,否定 A 取 x=-4,代入 ,有 意义,否定 B ∴应选 D. 【变式 2】如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于 直线 对称,则 a 等于( ) A. B. C.1 D.-1 解析:找满足题意的两个特殊位置: 和 时 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 75 的函数值相等, 故有 ,解得 a=― 1。 ∴应选 D。 【变式 3】如图,过抛物线 y=ax2(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的 长别是 p、q,则 等于( ) A.2a B. C.4a D. 解析:由 y=ax2,得 ,于是抛物线的焦点 , 取过 F 且平行于 x 轴的直线交于 P、Q 两点, 根据抛物线的对称性,得 PF=QF,即 p=q, 且 2p 等于抛物线的通径 , 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 76 故 。 ∴应选 C。 【变式 4】函数 (ω>0),在区间 [a,b]上是增函数,且 , ,则函数 在[a,b]上( ) A.是增函数 B.是减函数 C.可以取得最大值 M D.可以取得最 小值―M 解析:设 , ,则 M=1,ω=1,φ =0, 从而 在 上不是单调函数且最 小值为 0 而非―1。 ∴应选 C。 类型四:数形结合法 数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结 合起来思考,也就是使抽象思维和形象思维有机结合, 通过“以形助数”或“以数解形”,达到使复杂问题 简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 77 目的。 4.如果关于 x 的方程 有唯一的实数 解,那么实 k 的值是( ) A. B.―2<k<2 C.k<―2 或 k>2 D.k<―2 或 k>2 或 解析:令 ① y=kx+2 ② 在同一直角坐标内作出它们的图象。 ①的图象是位于 x 轴上方的半圆(包括轴 上的两点), ②是过定点(0,2)的直线, 要使①、②有唯一的公共点,有相交和相 切两种情况,如图所示, 故 k 值应为 k<―2 或 k>2 或 。 ∴应选 D。 总结升华:用数形结合法解题,图示鲜明直观, 形象一目了然,从而便于判定选项,因此用其来解某 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 78 些问题能起到事半功倍的效果。对于所给出的问题, 利用它们所反映的函数图象或者方程的图形以及其他 相关的图形直观地表示出来,然后借助图形的直观性 和有关概念、定理、性质作出正确的判断,这是数形 结合法解选择题的一般规律。 举一反三: 【变式 1】如果实数 x、y 满足(x―2)2+y2=3,那 么 的最大值是( ) A. B. C. D. 解析:圆(x―2)2+y2=3 的圆心为(2,0),半径 , 如图: 设 ,则 k 为直线 y=kx 的斜率, 显然k的最大值在直线y=kx与圆相切时得 到, 即直线 OM 的斜率 k 为最大值, 又 ,|OA|=2,则∠MOA=60°, 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 79 于是 。 ∴应选 D。 【变式 2】在圆 x +y =4 上与直线 4x+3y-12=0 距离最小的点的坐标是( ) A.( , ) B.( ,- ) C.(- , ) D.(- ,- ) 解析:在同一直角坐标系中作出圆 x +y =4 和 直线 4x+3y-12=0 后, 由图可知距离最小的点在第一象限内, ∴应选 A. 类型五:代入法 将各个选择项逐一代入题设进行检验,从而获得 正确的判断.即将各选择支分别作为条件,去验证命 题,能使命题成立的选择支就是应选的答案. 5.已知 在[0,1]上是 x 的减函数, 是 a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(0, 2) D.[2,+∞) 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 80 解析:由题设知函数为在[0,1]上的 x 的减函数, 故有 a>1,可排除 A、C。 再将 a=2 代入函数式有 ,其定义 域为(-∞,1),其不满足题设条件, ∴D 被排除。 ∴应选 B。 总结升华:代入检验法,适用于题设复杂,选项 中的数值较小,结论比较简单的选择题. 检验时,若 能据题意,从整体出发,确定代入先后顺序,则能较 大提高解题速度.但要注意当选择项中含有关系“或” 时,应对关系式中的所有情况代入验证之后,方能确 定。 举一反三: 【变式 1】若不等式 0≤ ≤1 的解集是单元 素集,则 a 的值等于( ) A.0 B.2 C.4 D.6 解析:当 a=0 时,不等式 0≤ ≤1 的解集 显然不是单元素集,排除 A, 当 a=2 时,不等式 0≤ ≤1 的解集 为{1},是单元素集, ∴应选 B。 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 81 【变式 2】设集合 A=B=N,映射 f:A→B 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素 2n+n,则在映射 f 下,象 20 的原象是( ) A.4 B.3 C.2 D.5 解析:令 2n+n=20,把选项逐一代入检验,求得 n=4 满足, ∴选 A。 类型六:极限法 6.椭圆 的焦点为 F1,F2,点 P 为其上 的动点,当∠F1PF2 为钝角时,点 P 的横坐标的取值范 围是( ) A. B. C. D. 解析:先考虑极端情况:∠F1PF2=90° 由观察可得|PF1|=4,|PF2|=2 时,∠F1PF2 为直角。如图, 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 82 此时可算得 P 点的横坐标 。 又由对称性易得符合条件的 P 点横坐标的 取值范围是 。 ∴应选 B。 总结升华:用极限法是解选择题的一种有效方法. 它根据题干及选择支的特征,考虑极端情形,有助于 缩小选择面,迅速找到答案. 举一反三: 【变式 1】不等式组 的解集是( ) A.(0,2) B.(0,2.5) C.(0, ) D.(0,3) 解析:不等式的“极限”即方程, 则只需验证 x=2,2.5, 和 3 哪个为方程 的根即可, 逐一代入,得 为方程 的根, 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 83 ∴应选 C. 【变式 2】在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二 面角的取值范围是( ) A.( π,π) B.( π,π) C.(0, ) D.( π, π) 解析:当正 n 棱锥的顶点无限趋近底面正多边形 的中心时,则底面正多边形便为极限状态, 此时棱锥相邻的侧面所成的二面角 , 且 ; 当棱锥高无穷大且底面相对固定不变时, 或者底面无穷小而棱锥高相对固定不变时, 正 n 棱锥又是另一种极限状态,此时 ,且 , ∴应选 A. 类型七:一题多解,多角度思考问题 7.若 a,b 是任意实数,且 a>b,则( ) A.a2>b2 B. C.lg(a-b)>0 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 84 D. 解法一:直接法 ∵a>b, ,由指数函数的单调性可 知 。∴应选 D。 解法二:特殊值法 取 a=―1,b=―2 有 a2<b2, ,lg(a― b)=0。因此排除 A、B、C。∴应选 D。 解法三:排法除 ∵a>b,若使 a2>b2 需要增加条件 b≥0; 若 ,需增加条件 a>0;若 lg(a-b) >0,需增加条件 a-b>1。 ∴应排除 A、B、C。∴应选 D。 举一反三: 【变式 1】若 ,P= ,Q= ,R= , 则( ) A.R P Q B.P Q R C.Q P R D.P R Q 解法一:直接法 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 85 ∵ ,∴ ,∴ ,∴P0,则有 A. B. C. D. 【解答】 (淘汰法)令 a=1,b=2,m=3 淘汰 B,C,D,答案为 A. 【例 2】(变例 1 为解答题)若 b>a>0,m>0,试比较 和 的大小. 【解 1】 (比较法 作差—变形—判定符号) 因为 【解 2】 (综合法 由因推果 由整式推出分式) 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 137 a0 时,若对任意 x∈R 都有 f(x)≤1,证明 a≤ ; (Ⅱ)当 b>1 时,证明:对任意 x∈[0,1],|f(x)|≤1 的充要条件是 b-1≤a≤ ; (Ⅲ)当 00,b>0,∴a≤ . 【解Ⅱ】 先证必要性: 对任意 x∈[0,1],|f (x)|≤1 -1≤f(x),据此可以推出-1≤f (1),即 a-b≥-1,∴a≥b-1; 对任意 x∈[0,1],|f (x)|≤1 f (x)≤1,因为 b>1,可以推出 ≤1, 即 a· -1≤1,∴ a≤ ;∴ b-1≤a≤ . 再证充分性:因为 b>1,a≥b-1,对任意 x∈[0,1],可以推出 ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1. 即 ax-bx2≥1; 因为 b>1,a≤ ,对任意 x∈[0,1],可以推出 ax-bx2≤ ≤1,即 ax-bx2≤1. ∴-1≤f(x)≤1. 综上,当 b>1 时,对任意 x∈[0,1],|f(x)|≤1 的充要条件是 b-1≤a≤ . 【解Ⅲ】因为 a>0,00,0N 时,对任意 b>0,都有 【分析】 ①本题的第(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)小题之间成梯式结构,(Ⅰ)是(Ⅱ)和(Ⅲ)的 基础.从策略上看,如在(Ⅰ)上遇着困难,可承认(Ⅰ)的结论,并利用它迅速地解出(Ⅱ) 和(Ⅲ)来.此题恰恰是第(Ⅰ)难,而(Ⅱ)、(Ⅲ)容易. ②对于(Ⅰ),已知为两个不等式,而求证一个不等式.其基本思路是,对已知不等式用综合 法“下推”,对求证不等式用分析法“上追”. 如: 欲使 只须 = 此时,“综合下推”的方向就清楚了. 【解Ⅰ】 ∵当 n≥2 时, , ∴ ,即 , 于是有 , ,…, , 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知,当 n≥3 时有 ∵ ,∴ 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 143 ∴ 【解Ⅱ】 ≤ 又 an>0. 故有 =0. 【解Ⅲ】 (放大为了化简) 令 , 则有 , 故取 N=1024,可使当 n>N 时,都有 【说明】 本小题是条件不等式的证明,已知 2 个不等式,求证 1 个不等式.在分析——综合 ——放缩三法联合证明综合大题时,优先考虑分析法.随时思考待证的不等式需要什么,需 要的东西如何从已知的不等式中得到. 【练习】 对考题 3,已知条件不变,对设问作如下改写 (Ⅰ)设 ,利用数学归纳法证不等式 (Ⅱ)利用上述结果,证明不等式 二.函数最值的求解方法 一、二次函数最值寻根 初中生研究二次函数的最值,是从配方法开始的. 设 a>0,f(x)=ax2+bx+c= 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 144 初三学生已知,二次函数 f(x),在 a>0 时,有最小值 ;a0,探索二次函数 y = ax2+bx+c 的单调区间.并指出函数的最值点. 【解答】 任取 x10 ) 有减区间 和增区 间 . 显然,二次函数的最值点为 ,函数有最小值 . 【评说】 从这里看到,二次函数的最点,就是两个“异性”单调区间的交接点. 【练 1】 试研究一次函数 没有最点,从而没有最值. 【解】 任取 ,则有 (1) 时, ,函数在 R 上为增函数. 时, ; 时, . (2) 时, ,函数在 R 上为减函数. 时, ; 时, . 所以,一次函数在 R 上没有最点,从而一次函数 无最值(既无最大值,也无最小 值). 【说明】 一次函数定义在 R 上,定义域内找不到这样的“点”,使得该点两边邻域是异 性的两个单调区间.本例从反面看到:最点是单调区间的“变性”的“转折点”. 二、从 到 高中生将“最点” 变形为 ,并由此得到一个一次函数 . 精明的学生发现,这个一次函数 与对应的二次函数 有某 种“关系”,甚至有学生在偷偷地利用这种“关系”. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 146 这种“关系”到了高三才彻底解决:函数 正是函数 的 导函数,即 . 函数求“最根”的问题,正好是 的导函数 的“求根”问题. 导函数 的根,就是 的驻点.很清楚,二次函数的驻点就是二次函数的最点. 问题变得这么明朗:求 的最点,就是求 的根.俗说中“最根”,真的与“根”字 巧合了. 【例 2】 设 ,在同一坐标系中,分别作得 和 的 图象(如右). 试说明 的正负性与 单调性的对应关系. 【解析】 与 相交于 . (1) 时, , 递减; (2) 时, , 递增; (3) 时, , 得到最小值. 故对应关系为:(1) 负区与 的减区对应; 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 147 (2) 正区与 的增区对应; (3) 零点与 的最值对应. 【练 2】 已知二次函数 的导函数 图象如右图的直线,则有 (1) =( ),增区间为( ),减区间为( ); (2) 的最( )值为( ); (3)若 ,求 的解析式. 【解答】 从右图上看到 (1) 的根为 ,故有 =1; (2) 时, >0,故 的增区间为 ; 时, 0,函数递增; (2) 时, 0,函数递增. 故 在 有极大值 ,在 上有极小值 . 故 , 是 的 2 个极点,前者为极大点,后者为极小点. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 149 又 时, ,故函数 既无最大值,也 无最小值.从而 无最点. 【说明】 这是三次函数有 2 个驻点,且都为极点的例子.而三次函数无驻点或有驻点但 不是极点的例子如下(练 3). 【练 3】 研究下列三次函数的驻点、极点、最点和单调区间. (1) (2) 【解析】 (1) ,函数 无驻点,无极点,无最点. 是 上的增函数. (2) , 有 2 个重合的驻点 . (1)当 时, ,函数递增, (2)当 时, ,函数也递增. 因此,驻点 不能分出两个“相异”的单调区间,故 不是 的极点, 无 极点,当然也无最点. 是 R 上的增函数. 【说明】 函数 相重合的两驻点 不成为极点,可理解为它们消 去了“中间”的一个“相异”的单调区间后,将两边的“同性”的单调区进行了链接而成为 一个单调区间. 经过以上的讨论得知,定义在 R 上的三次函数,不管它有无驻点或极点,它是不会有最点的。 四、极点何时为最点 不重合的 2 个驻点可以分别成为极点.那么,在什么条件下极点成为最点呢? 驻点是极点的必要不充分条件,那么极点是最点的什么条件呢? 我们研究,极点何时成为最点. 【例 4】 已知 的导函数 ,试探究 的极点和最点. 【解析】 . 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 150 有 3 个相异的根: 它们都是 的极点. 易知原函数 ( R) 易知 为 的减区间, 为 的增区间, 为 的减区间, 为 的增区间. 的 4 个单调区间依次成“减——增——减——增”的顺序,使得首、尾两个区间的单 调性相异,从而使得 在“两次探底”中得到最(小)点. 比较三个极值的大小: 得 的最小值为 ,对应两个最小点 和 1. 【说明】 定义在一个开区间上的可导函数 如果有 n 个极点:x1

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